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PERPENDICULARIDAD Prof: Sergio Weinberger L15 2021
Recta ⊥ Plano :
Definición: “Una recta r es perpendicular a un plano α si lo es a toda recta s del plano que pase por el punto de intersección de r y α”
En símbolos:
r ⊥ α ↔ r ∩α={I } y r ⊥ s, ∀ s / I∈ s, s ⊂ α..
Rectas ortogonales :
r
Definición: “ Dos rectas son ortogonales si una de ellas se encuentra incluida en un plano perpendicular a la otra”
α s
s ╨ r ↔ ∃ α / s ⊂ α , α ⊥ r
OBSERVACIÓN 1: Puede demostrarse que esta relación es recíproca, también en este caso existirá un plano β que contenga a r y sea perpendicular a la recta s. OBSERVACIÓN 2: Dos rectas perpendiculares son también ortogonales, cumplen con la definición de
ortogonalidad. Por lo tanto podríamos considerar la ⊥ como un caso particular de ╨.
Rectas ortogonales (Condición Necesaria y Suficiente) r
s ╨ r ↔ ∃ s’ / s’ // s , s’ ⊥ r
Con otras palabras, si al trasladar s hasta que corte a r, s s’
queda perpendicular a dicha recta, en ese caso s y r son ortogonales.
Recta ⊥^ Pano (Condiciones Necesarias y Suficientes): r
“Una recta es perpendicular a un plano si y sólo si existen dos rectas del a plano perpendiculares a la recta considerada.” I
α b
r ⊥ α ↔ r ∩α={I} y ∃ a y b / r ⊥ a, I∈ a, a ⊂ α
r ⊥ b, I∈ b, b ⊂ α
α
Una generalización de lo anterior pero con dos rectas ortogonales, sería:
“ Una recta es perpendicular a un plano si y sólo si existen dos rectas secantes del plano, ortogonales
con la recta considerada” r
r ⊥ α ↔ ∃ a y b / a y b secantes r ╨ a , a ⊂ α
r ╨ b, b ⊂ α α a b
EJEMPLO DEL TRABAJO CON PERPENDICULARIDAD:
Ejercicio 9 de la ficha1 (tetraedro regular):
Vamos a investigar la relación entre la recta AB y el plano (CDM). Serán perpendiculares? Una mirada al GEOGEBRA indicaría que si, vamos a probarlo. Intentaremos encontrar dos rectas del plano que sean perpendiculares a la recta AB.
Como el triángulo ABD es equilátero, DM no sólo es mediana del triángulo, es también altura. Lo mismo con el triángulo ABC, CM es mediana y altura del triángulo. Entonces: DM ⊥ AB, DM⊂(CDM) → AB ⊥ (CDM) CM ⊥ AB, CM⊂(CDM)
Tenemos entonces dos rectas del plano (CDM), que a su vez son perpendiculares con AB, y eso de acuerdo a la condición necesaria y suficiente de recta ⊥ plano (final de página anterior), nos asegura que AB ⊥ (CDM) Por qué me interesó ver esta relación? Porque ahora sabemos que, según la definición de recta ⊥ plano, toda recta del plano que pase por el punto de intersección (M) será ⊥ AB, en particular MN. (incluida en el plano (CDM) y pasa por M) O sea: Demostramos que : AB ⊥ (CDM), AB ∩ (CDM)={M} → MN ⊥ AB, lo primero MN⊂(CDM), M∈MN def. r⊥α que había para demostrar. También al ser AB ⊥ (CDM), según la definición de rectas ortogonales, toda recta del plano (CDM) es ortogonal con AB, y CD es una de ellas. Lo escribimos con símbolos:
AB ⊥ (CDM) → AB CD
CD ⊂ (CDM) def.s r
Se considera un tetraedro regular ABCD, poliedro regular de cuatro caras, triángulos equiláteros iguales. M,N,P,Q,R y S son puntos medios de aristas según figura.
MN ⊥ AB, MN ⊥ CD y AB CD.
Para demostrar que MN ⊥ CD podríamos hacer lo mismo que con MN y AB, demostrando previamente que CD ⊥ (ABN).
4) “Si dos rectas son perpendiculares a un mismo plano, son paralelas entre si”.
EJERCICIO: VERDADERO O FALSO? JUSTIFICAR.
a) Si dos rectas se encuentran incluidas respectivamente en dos planos perpendiculares entre si, entonces dichas rectas son perpendiculares entre si
b) Si dos rectas son perpendiculares a una tercera, entonces son paralelas entre si.
c) Dados: un punto P y una recta r, existe una única recta s que pasa por P y es perpendicular a r.
ALGUNOS LUGARES GEOMÉTRICOS:
Algunos lugares geométricos en el espacio, son especialmente útiles para el trabajo con perpendicularidad. Veremos dos de ellos.
- PLANO MEDIATOR: Es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de dos puntos fijos A y B. Lo expresamos : mt(AB) (plano mediator del segmento)
3) “Si dos planos son perpendiculares,
cualquier recta incluida en uno de los dos planos, que sea perpendicular a la intersección de ellos, es perpendicular al otro” α⊥β, α∩β=i r⊂β , r⊥ i → r⊥α
Propiedad característica:
Este plano, al contener todas las mediatrices del segmento AB, cumple:
a_ mt(AB) ⊥ AB (el plano mediator es ⊥ a la recta AB)
b_ M∈mt(AB) ( pasa por el punto M, medio de AB)
- CIRCUNCENTRIZ: Es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de tres puntos no alineados A,B y C. Es una recta que llamaremos “ circuncentriz” del triángulo ABC
3) EJEMPLO DEL TRABAJO CON PERPENDICULARIDAD:
Ejercicio 10 de la ficha 1:
i) Veremos la utilidad de los lugares geométricos vistos:
I es centro de ABC → I equidista de A, B, y C → I∈cz(ABC) → DI=cz(ABC) ^ = ^ = ^ = → D equidista de A, B, y C D∈cz(ABC) por la propiedad (“medida de arista”) característica de la cz
DI ⊥(ABC)
De la misma forma se demuestra que: CJ ⊥(ABD)
ii) Esta parte es más complicada….haremos otra figura con lo necesario.
Propiedad característica:
Esta recta, al contener los puntos que equidistan de A, B, yC es la intersección de los planos mediatores de los lados del triángulo, cumple entonces:
a_ cz(ABC) ⊥ (ABC)
b_ D∈cz(ABC) ( pasa por el punto D, circuncentro de ABC)
Sean J e I los centros respectivos de las caras ABD y ABC. O = DI∩CJ∩MN
Justifica que: i) DI⊥(ABC), CJ⊥(ABD) ii) IO^ = ID^ iii) ^ = iv) (MNP) es plano mediator de RS v) MNPQ es un cuadrado.
Consideramos el segmento NE, con NE//DI, E∈CM En el triángulo DCI: Al ser N punto medio de DC, y NE//DI → → NE es paralela media → E es punto medio de CI, y además: ^ = 2^ (a)
En el triángulo MEN: I es punto medio de ME , OI//NE → OI es paralela Media → O es punto medio de MN y ^ = 2(b) → ^ = 4 (a)y(b) Las partes iv) y v) las intenta cada uno.
