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ALGEBRA LINEAL
Taller unidad I
MATRICES-SISTEMAS
Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Matem´aticas
Martha C. Moreno
- Considere las siguientes matrices:
A =
B =
C =
D 3 × 3 = (dij ) con dij = i + 2j
E 3 × 3 = (eij ) con eij =
1 i = j ij^ i 6 = j
F −^1 =
G−^1 =
En caso de ser posible efectuar las siguientes operaciones:
a) 2ABC − Et b) tr(D − 3 E) c) 2At^ + C d ) (2Et^ − 3 Dt)t e) AB + C
f ) tr(CtAt^ + 2Et)
g) D − 2 I 3
h) F G^2
i) (2F )−^1 (Gt)−^1
** tr(M) representa la traza de la matriz cuadrada M, si M = (mij )n×n,entonces: tr(M) =
∑n i=1 mii
- Multiplicaci´on de matrices
a) Encontrar k de tal manera que las matrices:
y
5 k
conmuten.
b) Si A =
encontrar B 2 × 2 6 = ⊘ y B 2 × 2 6 = I talque A y B conmuten.
c) Si A =
encontrar B 2 × 2 6 = ⊘ talque AB = ⊘.
d ) Sean p(x) = 2x^3 − x^2 + 5x − 3 y A =
, determinar p(A).
e) Considere las matrices: A =
, B =
y
C =
Calcule AB y AC compare y analice. f ) Encontrar una matriz A 2 × 2 , con A 6 = I y A 6 = ⊘ tal que A^2 = A g) Encontrar una matriz A 2 × 2 , con A 6 = I tal que A^2 = I h) Determinar condiciones para w, x, y, z tales que MN = NM con
M =
w x y z
y N =
i) Sea M =
x y −x −y −x −x −x z z
Encontrar todas las matrices M que satisfagan las condiciones:
i. tr(M) = 3
ii.
M
M
- Clases de matrices Clasifique las proposiciones como verdaderas o falsas. JUSTIFIQUE (si es verdadero demuestre si es falsa encuentre un contraejemplo)
a) Si A y B son matrices sim´etricas del mismo tama˜no y conmutan, entonces AB es sim´etrica.
A =
2 a − 2 b + c 2 a + b + c 3 5 a + c 0 − 2 7
b) Encontrar todos los valores de x, y, z para los cuales se satisfaga: [ x − 3 y + 9 y − z 0 2 x + y + z + 2
]
[
−x − 5 z z − x − y + 7 0 − 3 x + 3y − 2 z
]
c) Expresar la matriz
como combinaci´on lineal de las ma- trices:( 1 0 1 0
d ) Determine todas las soluciones del sistema lineal dado en cada caso.
i.
2 x − y = 3 − z x + z − 4 = 3y − 5 x − 2 z = − 5
ii.
x + y + z + w = 6 2 x + y − z = 3 y + 3x + 2w = 6
iii.
2 x − y + z + w − t = 0 3 x + y − 2 z + 2t = 0 x − y + z + 2w = t
iv.
x + 2y − z = 0 2 x + y + z = 0 5 x + 7y + z = 0
v.
2 x − 5 y = 1 −x + 2y = − 1 3 x + y = 10 2 x − 3 y = 3 e) Determinar los valores de las constantes dadas(a y/o b y/o c seg´un el caso) para los cuales los sistemas de ecuaciones:
i.
x + y − z = 4 x + 2y + z = 7 3 x + 6y + (a^2 − 5 a + 9)z = a + 18
ii.
x + 2y + 3z = a − 2 x + y − z = b 3 x − y + 2z = c
iii.
x + y + 3z = 2 x + 2y + 4z = 3 x + 3y + az = b
iv.
(b − 1)x − 2 y + 2z = 0 −x + by − 2 z = 0 −x − y + (b − 1)z = 0 A. Tienen soluci´on ´unica.
B. Tienen infinitas soluciones. C. Son inconsistentes.
f ) Plantear y resolver los siguientes problemas: i. Un mueblero fabrica sillas, mesas para caf´e y mesas para come- dor.Se necesitan 10 minutos para lijar una silla, 6 para pintarla y 12 para barnizarla. Se necesitan 12 minutos para lijar una mesa para caf´e, ocho para pintarla y 12 para barnizarla. Se necesitan 15 minutos para lijar una mesa para comedor, 12 para pintarla y 18 para barnizarla. La mesa de lijado est´a disponible 16 horas a la semana, la mesa de pintura 11 horas a la semana y la mesa de barnizado 18 horas. ¿Cu´antas unidades de cada mueble de- ben fabricarse por semana de modo que las mesas de trabajo se ocupen todo el tiempo disponible? ii. Un editor publica un posible ´exito de librer´ıa en tres presenta- ciones distintas: libro de bolsillo, club de lectores y edici´on de lujo. Cada libro de bolsillo necesita un minuto para el cosido y 2 para el pegado. Cada libro para el club de lectores necesita 2 minutos para el cosido y 4 para el pegado. Cada libro en edici´on de lujo necesita 3 minutos para el cosido y 5 para el pegado. Si la planta de cosido est´a disponible 6 horas diarias y la planta de pegado 11 horas, ¿cu´antos libros de cada presentaci´on se pueden producir por d´ıa de modo que las plantas se aprovechen toda su capacidad? iii. Tres recipientes contienen agua. Si se vierte 13 del contenido del primer recipiente en el segundo, y a continuacion 14 del contenido del segundo en el tercero, y porultimo 101 del contenido del tercero en el primero, entonces cada recipiente queda con 9 litros de agua. ¿Que cantidad de agua habıa originalmente en cada recipiente?
- Miscelanea
a) Completar:
i. La matriz D =
3 x − 2 − 3
es involutiva si x =
e) En las siguientes preguntas indique si el enuciado es verdadero o falso
i. Si A, B ∈ Mn×n con entradas reales y si α ∈ R, entonces tr(αA+ B) = αtr(A) + tr(B). ii. Todo sistema de ecuaciones lineales con igual n´umero de inc´ogni- tas y de ecuaciones es consistente. iii. Todo sistema de ecuaciones lineales con m´as inc´ognitas que ecua- ciones tiene infinitas soluciones.
En las siguientes preguntas A, B ∈ Mn×n. iv. Si A^2 = A entonces (At)^2 = At. v. Si AB = 0 , entonces A = 0 ´o B = 0. vi. Si A y B son matrices invertibles, entonces A + B es invertible.
f ) ¿ Bajo qu´e condiciones sobre a ∈ R ex´ıste una matriz X 2 × 2 tal que ( X +
[
1 a 1 a^2
] ) 2
= X^2 +
([
a a^2
]
Xt^ + I 2
)t
