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ALGEBRA LINEAL
TALLER II DETERMINANTES
Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Matem´aticas
Martha C. Moreno
- Considere las siguientes matrices:
A =
B =
C =
D =
E =
F =
G 3 × 3 = (dij ) con gij = i + 2j
H 3 × 3 = (hij ) con hij =
1 i = j
i j i 6 = j
Calcular:
a. det(A
t B
2 ) b. det(C + 2D) c. det(E) d. det(F
− 3 )
e. det(C − 3 I 2 ) d. det(adj(A)) e. det(C
− 1 DC) g. det(G
2 H
3 )
h. det(G + adjH)
- Encontrar x ∈ R que satisfaga:
a.
x − 1
3 1 − x
2 x − 6
1 3 x − 5
b. det(A − xI) = 0 , con A =
c.
1 x x
2 x
3
3 x + 2 2 x + 1 3 x
3 2 x + 1 x
2
2
- Determinar si la proposic´on es verdadera o falsa (JUSTIFICAR)
A, B ∈ Mn×n.
a. det(AA
t ) = det(A
2 )
b. Si A es antisim´etrica, entonces det(A) = 0
c. Si A es ortogonal, entonces det(A) = 1
d. Si det(A) = 0 ,entonces A = 0
e. Si det(A) = 0, entonces tr(A) = 0
f. det(A + B) = det(A) + det(B)
g. Si A
k = On×n para alg´un k entero positivo, entonces A es singular.
h. Si det(A) = −2 ,entonces el sistema AX = 0 tiene solamente la soluci´on
trivial.
i. Si A es idempotente, entonces det(A) = 0
j. Si B = P AP
− 1 y P es no singular, entonces det(A) = det(B)
k. Si A y B son matrices no singulares, entonces A + B es no singular.
l. det(AB) = det(BA)
m. M y N son matrices 3 × 3 tales que det(2M − 1 N ) = 12 y det(N ) = 3,
entonces det(M ) =
1 2
n.
a b c
x y z
s t u
y b t
x a s
z c u
˜n. Si
a b c
p q r
x y z
= 6, entonces
a + x b + y c + z
3 x 3 y 3 z
−p −q −r
- Completar:
a. El sistema:
αx + y + z = 1
x + αy + z = 1
x + y + αz = 1
Tiene ´unica soluci´on si α ∈ { }
b. Si det(A) =
3 5 y AB = O, entonces B =
c. A =
2 c c
c c c
8 7 6
(^) es singular si c=
d. Si
a b c
p q r
u v w
= 3, y si B =
4 u 2 a −p
4 v 2 b −q
4 w 2 c −r
, entonces: det(2B−^1 ) =
e. Si A
k = O (nilpotente) entonces
∣A
f. A 5 × 5 es antisim´etrica entonces
∣A
g. si A y B son matrices 3 × 3 tal que
∣ 2 A−^1
∣ (^) = 6 y
∣At(2B)−^1
entonces
A
2 B
t
h. Si A ∈ Mn×n es no singular entonces |(adjA)| =
- Mensajes secretos:
Una forma muy sencilla de codificar un mensaje usando una matriz de codi-
ficaci´on no singular (Cn×n), y por ejemplo el c´odigo:
a b c d e f ............... z
1 2 3 4 5 6 ...............
consiste en escribir el mensaje en matrices columna (B) de n elementos (te-
niendo en cuenta que los espacios se representan con el n´umero 0) y hacer el
producto CB, el resultado obtenido corresponde la mensaje codificado.
Por ejemplo si usamos la matriz C =
el mensaje: HOLA lo podemos escribir con el c´odigo como:
y
y su respectiva codificacio´on ser´a: ( 1 3
1 4
) [
]
[
]
) [
]
[
]
Sorprendente que si recibe un mensaje como: 53 68 15 16, en realidad le estan
diciendo HOLA.
a. C´odifique el mensaje: EL HALCON HA ATERRIZADO
b. DECODIFIQUE el mensaje: 28 33 21 28 78 97 23 24 15 20 12 12 37 49 22
27 56 74 1 1 39 48 29 34 37 49
