¡Descarga Polinomios de Taylor: Propiedades y Aplicaciones y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
Polinomis de Taylor
Definici´o 1 Donat un interval obert I ⊆ R, diem que f : I −→ R ´es una funci´o de classe Cn(I) si f ´es n cops derivable en I i la funci´o f (n)(x) ´es cont´ınua en I.
Definici´o 2 Donada una funci´o f : I ⊆ R −→ R de classe Cn(I) i un punt a ∈ I, el polinomi de Taylor de grau ≤ n de f , centrat en el punt a ´es:
∑^ n
k=
f (k)(a) k!
(x − a)k^ = f (a) +
f ′(a) 1!
(x − a) +
f ′′(a) 2!
(x − a)^2 + · · · +
f (n)(a) n!
(x − a)n
El denotarem per PT(f, n, a)(x), o b´e Pn(x) quan no hi hagi ambig¨uitat sobre la funci´o f i el punt a.
Propietat PT(f, n, a)(x) ´es l’´unic, d’entre tots els polinomis P (x) de grau ≤ n, amb la propietat P (a) = f (a) i P (k)(a) = f (k)(a), per tot k = 1, · · · , n.
Teorema de Taylor
lim x→a
f (x) − PT (f, n, a)(x) (x − a)n^
´Es a dir, f (x)−PT(f, n, a)(x) = o((x − a)n), si x ´es prop de a. Aix`o vol dir que f (x)−PT(f, n, a)(x) ´es
molt m´es petit que (x − a)n, quan x ´es prop de a.
Exemple 1 Polinomi de Taylor de grau n de f (x) = ex, centrat en a = 0.
Com que f (k)(x) = ex, llavors f (k)(0) = 1, per tot k ∈ N. Aix´ı doncs:
PT(f, n, a)(x) =
∑^ n
k=
f (k)(0) k!
(x − 0)k^ =
∑^ n
k=
xk k!
= 1 + x +
x^2 2!
x^3 3!
xn n!
Teorema del residu de Lagrange
Siguin f : I ⊆ R −→ R una funci´o de classe Cn+1(I) i Pn(x) el polinomi de Taylor de grau ≤ n de f centrat en el punt a ∈ I. Aleshores, per a tot x ∈ I,
f (x) = Pn(x) + Rn(x), on Rn(x) =
f (n+1)(c) (n + 1)!
(x − a)n+1, per a cert c ∈< a, x >
Rn(x) s’anomena Residu de Lagrange d’ordre n de f , centrat en a. Notaci´o: < a, x > ´es l’interval (a, x) quan a < x, o b´e l’interval (x, a) si a > x.
Exemple 2 Si f (x) = ex^ i a = 0, llavors Rn(x) =
f (n+1)(c) (n + 1)!
(x − 0)n+1^ =
ec (n + 1)!
xn+1, c ∈< 0 , x >.
Aplicaci´o: avaluaci´o aproximada de funcions elementals
Vegem com usar polinomis de Taylor per calcular el valor de 10
e. Com que 10
e = e^0.^1 , usarem f (x) = ex. Escollirem a de manera que sigui proper a 0.1 i que sapiguem avaluar exactament la funci´o f i les seves derivades en el punt a. Aix´ı doncs, a = 0.
A l’exemple 1 hem calculat el polinomi de Taylor de grau ≤ n de f centrat en a = 0: Pn(x) =
∑^ n
k=
xk k!
A l’exemple 2 n’hem calculat el residu de Lagrange, que ´es l’error com`es en aproximar f (x) per Pn(x), en el punt x. Com que estem interessats en el valor de f (0.1), volem trobar una fita de |Rn(0.1)| que nom´es depengui de n:
|Rn(0.1)| =
ec (n + 1)!
(0.1)n+
∣ =^
ec 10 n+1(n + 1)!
, c ∈ (0, 0 .1)
Com que la funci´o ex^ ´es creixent, aleshores ec^ < e^0.^1 , ja que c ∈ (0, 0 .1). D’altra banda, e^0.^1 < 2, donat que e < 210 = 1024. Per tant, la fita cercada ´es:
|Rn(0.1)| <
10 n+1(n + 1)!
Aproximacions de f (0.1) = 10
e usant polinomis de Taylor de diferents graus:
e: f (0.1) ≈ P 1 (0.1) = 1 + 0.1 = 1.1.
- Fita de l’error: |R 1 (0.1)| < (^1022) (2)! = 0.01.
- Conclusi´o: 10
e ∈ (1. 09 , 1 .11)
- n = 2: P 2 (x) = 1 + x + x^2 2!
- Valor aproximat de 10
e: f (0.1) ≈ P 2 (0.1) = 1 + 0.1 + (0.1)
2 2! = 1.105. Fita de l’error: |R 2 (0.1)| < (^1032) (3)! = 13 × 10 −^3.
e ∈ (1. 1046666 , 1 .1053334)
El valor real de 10
e ´es 1. 1051709 ...
Conclusi´o final: amb els polinomis de Taylor podem avaluar aproximadament funcions elementals (exponencials, logaritmes, trigonometriques, hiperboliques,...) mitjan¸cant nom´es sumes, restes, multi- plicacions i divisions. A m´es, amb el residu de Lagrange, podem obtenir una fita de l’error com`es en l’aproximaci´o.
