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POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini.
Recuerda:
Un monomio en x es una expresión algebraica de la forma a ⋅ xn tal que a es un número real y n es un número natural. El real a se llama coeficiente y n se lama grado del monomio. Ejemplo: 4 x 3 es un monomio en la variable x de grado 3 y coeficiente 4. Un polinomio es la suma de dos o más monomios. Los binomios son suma de dos monomios y los trinomios son suma de tres monomios. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman. Ejemplo: − 2 x 4 + 3 x^2 +x− 4 es un polinomio de grado 4 y de coeficientes ( − 2 , 0 , 3 , 1 ,− 4 )el coeficiente principal es –2 y el término independiente es − 4 Monomios semejantes son los que tienen la misma parte literal.
Operaciones de polinomios: Sumamos polinomios sumando los monomios semejantes.
Multiplicamos polinomios multiplicando cada monomio de uno de los factores por todos los monomios del otro factor y después sumamos los monomios semejantes.
Dividir dos polinomios A( x):B(x)es determinar dos polinomios Q( x)cociente y R( x)resto tales que cumplan: a) A( x)= B(x)⋅Q(x)+R(x)dividendo es igual a divisor por cociente más el resto. b) grau R(x)< grauB(x)grado del resto es menor que el grado del divisor. Grado(cociente)=grado(dividendo)−grado(divisor) Una división es exacta si el resto es cero R(x)=
Valor de un polinomio A( x)para x = aes sustituir el valor x del polinomio por el número real a. Se representa por A(a) Ejemplo: A( x)= 3 x^3 + 2 x^2 − 4 x+ 1 A( − 2 )= 3 ⋅(− 2 )^3 + 2 ⋅(− 2 )^2 − 4 ⋅(− 2 )+ 1 =− 24 + 8 + 8 + 1 =− 7
Teorema del Resto: El resto de dividir el polinomio P(x) entre el monomio x − aes igual al valor numérico del polinomio para x = a, es decir P(a).
Teorema del factor. Un polinomio P(x) es divisible por el monomio x − asi y sólo si el valor numérico del polinomio para x = a, es cero P( a)= 0
Método para dividir polinomios con una variable.
Se ordena el dividendo y el divisor según las potencias decrecientes de la variable. Dividimos el término primero del dividendo entre el término primero del divisor, para obtener el primer término del cociente. Multiplicamos el divisor por el primer término del cociente y le restamos al dividendo el resultado anterior para conseguir el primer resto parcial. Repetimos el procedimiento haciendo ahora de dividendo el primer resto parcial. La división finaliza cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor.
Ejercicios de autoaprendizaje.
Ejercicio 1:
Divide ( 6 x 5 +x^4 + 4 x^2 − 7 x+ 1 ) :( 2 x^2 +x− 3 )
6 x 5 + x^4 + 4 x^2 −^7 x +^12 x 2 +^ x −^3 − 6 x^5 − 3 x^4 + 9 x^33 x 3 − x^2 +^5 x −^2 − 2 x^4 + 9 x^3 + 4 x^2 −^7 x +^1 2 x 4 + x^3 − 3 x^2 10 x^3 + x^2 −^7 x +^1 − 10 x^3 − 5 x^2 +^15 x − 4 x^2 +^8 x +^1 4 x^2 +^2 x −^6 10 x − 5
El cociente es: 3 x 3 −x^2 + 5 x− 2 El resto es: 10 x − 5 Comprobación: Notemos que grau( 10 x− 5 )<grau( 2 x^2 +x− 3 )
Podemos probar que ( 2 x 2 +x− 3 ) ⋅( 3 x^3 −x^2 + 5 x− 2 ) +( 10 x− 5 )= 6 x^5 +x^4 + 4 x^2 − 7 x+ 1
Efectuemos la multiplicación: 3 x 3 − x^2 +^5 x −^2 2 x 2 +^ x −^3 − 9 x^3 + 3 x^2 −^15 x +^6
- 3 x^4 − x^3 + 5 x^2 −^2 x 6 x 5 − 2 x^4 + 10 x^3 − 4 x^2 6 x 5 + x^4 + 4 x^2 −^17 x +^6
Efectuemos la suma: 6 x 5 + x^4 + 4 x^2 −^17 x +^6 10 x − 5 6 x 5 + x^4 + 4 x^2 −^7 x +^1
Ejercicio 3:
Calcula el resto de la división (x 5 + 7 ) :(x+ 2 )por dos métodos distintos:
Efectuando la división por la regla de Ruffini: 1 0 0 0 0 7 − 2 − 2 4 − 8 16 − 32 1 − 2 4 − 8 16 − 25 El resto de la división es R =− 25
Utilizando el teorema del resto, el resto de dividir (x 5 + 7 ) :(x+ 2 )es p( − 2 )
Por tanto, R =p(− 2 )=( − 2 ) 5 + 7 =− 25
Factorización de un polinomio aplicando el teorema del resto.
Si dividimos p( x):(x− a)y la división es exacta: p( x) x −a 0 q(x) Entonces, p( x)=(x−a)⋅q(x) Diremos que x = aes una raíz o cero del polinomio p(x)
Teorema: Siga p( x)es un polinomio con coeficientes enteros y x = aes un cero entero del polinomio x = a, entonces x = adivide al término independiente del polinomio p( x).
Ejercicio 4: Factoriza el polinomio p( x)= x^4 +x^3 − 6 x^2 − 4 x+ 8. Solución: Por el teorema anterior, si el polinomio tiene ceros enteros, estos son divisores del término independiente 8. Los divisores enteros de 8 son 1 , − 1 , 2 ,− 2 , 4 ,− 4 , 8 ,− 8
x = 1 , es un cero ya que p( 1 )= 14 + 13 − 6 ⋅ 12 − 4 ⋅ 1 + 8 = 0 Entonces podemos efectuar la división: (^1 1) − 6 − 4 8 (^1 1 2) − 4 − 8 1 2 − 4 − 8 0
Por tanto, p( x)=x^4 +x^3 − 6 x^2 − 4 x+ 8 =(x− 1 )⋅(x^3 + 2 x^2 − 4 x− 8 )
Repetiremos el procedimiento con el polinomio cociente x 3 + 2 x^2 − 4 x− 8 1 2 − 4 − 8 2 2 8 8 1 4 4 0 − 2 − 2 − 4 1 2 0 − 2 − 2 1 0
Entonces,
2
3 2 2
(x 2 )(x 2 )
(x 2 )(x ( 2 )) (x ( 2 ))
x 2 x 4 x 8 (x 2 ) x 4 x 4
Por tanto, p( x)=x^4 +x^3 − 6 x^2 − 4 x+ 8 =(x− 1 )⋅(x− 2 )⋅(x+ 2 )^2 Los ceros o raíces del polinomio p( x)son x = 1 , 2 ,− 2 ,− 2
Ejercicios propuestos.
- Sean los polinomios p( x)= 2 x^4 + 3 x^2 − 5 x+ 7 , q( x)= − 2 x^2 + 4 x− 3. Calcula: a) p( x)+ q(x) b) p( x)− q(x) c) p( x)⋅q(x)
d) 2 ⋅ p(x) e) 3 ⋅ p(x)+ 4 ⋅q(x) f) (p (x))^2
- Efectúa las siguientes divisiones de monomios:
a) ( 6 x 5 ) :( 2 x^3 ) b) (− 9 x^3 ) :( 3 x^2 ) c) ( 4 x 5 ) :(− 2 x^5 )
d) ( 4 x^5 ) :( 5 x^4 ) e) ( 7 x^7 ) :( 3 x^4 ) f) ( 5 x 6 ) :(− 2 x^3 )
g) (− 2 x^6 ) :( 5 x^2 ) h) (− 3 x 4 ) :( − 2 x) y) ( 7 x^4 ) :( 14 x^3 )
- Efectúa las siguientes divisiones de polinomios:
a) ( 2 x 5 − 4 x^4 + 2 x^3 +x^2 − 5 x+ 2 ) :( x^3 − 2 x^2 +x− 3 )
b) ( 3 x 4 − 3 x^2 +x− 5 ) :( x^2 + 3 )
c) (− 2 x 3 + 4 x^2 +x) :( 2 x+ 1 )
d) ( 8 x 5 + 1 ) :( 2 x^3 − 1 )
e) (x 3 − 3 x^2 + 6 x− 1 ) :(x 2 − 4 x+ 5 )
f) ( 3 x 4 − 2 x^3 + 4 x− 7 ) :(x+ 3 )
g) ( 4 x^4 − 2 x^2 + 3 x− 2 ) :( 2 x^2 +x− 3 )
- Efectúa las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini.
a) ( 2 x 5 − 3 x^4 + 4 x^3 − 5 x^2 + 3 x+ 1 ) :(x+ 2 )
b) (− 2 x^4 + 3 x^2 − 5 ) :(x− 3 )
c) ( x 5 + 4 x^4 − 5 x+ 1 ) :(x+ 1 )
d) (x 4 − 3 x^3 + 4 x^2 + 3 x− 5 ) :(x− 5 )
e) ( 3 x 5 + 2 ) :(x− 1 )
f) (− 3 x^4 + 2 x^3 − 7 x) :(x− 2 )
g) (x 5 + 4 x^2 ) :(x+ 3 )
h) ( 2 x 4 + 3 x^3 − 5 ) :(x+ 4 )
y) ( ) ⎟
− + ⎛^ +
4 x^42 x 1 : x^1
j) ( ) ⎟
− + − ⎛^ −
x 3 4 x^23 x 1 : x^1
