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TEMA 2
POLINOMIOS
Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de un número finito de monomios donde, es un número natural y Coeficientes: Variable o indeterminada: Coeficiente principal: Término independiente: Ejemplo Coeficientes: Variable o indeterminada: Coeficiente principal: Término independiente: Grado de un Polinomio El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x Según su grado los polinomios pueden ser: TIPO EJEMPLO Grado cero Primer grado Segundo grado Tercer grado Cuarto grado Quinto grado
Tipos de polinomios Polinomio nulo Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos. Polinomio homogéneo Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado. Polinomio heterogéneo Es aquel polinomio en el que no todos sus términos no son del mismo grado. Polinomio completo Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado. Polinomio incompleto Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado. Polinomio ordenado Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado. Polinomios iguales Dos polinomios son iguales si verifican: Los dos polinomios tienen el mismo grado. Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
Sustituimos el valor de X=-1 en P(x) Polinomio de varias variables : Un polinomio puede tener varias variables. En este caso, los monomios, de manera análoga, cuentan con un coeficiente y varias variables cada una con un respectivo exponente. Por ejemplo: Ejemplos: También se puede obtener el valor numérico de estos Operaciones con polinomios Suma y resta de polinomios La suma de polinomios es una operación en la que partiendo de dos polinomios P(x) y Q(x) , obtenemos un tercero R(x), que es la suma de los dos anteriores(x) tiene por coeficiente de cada monomio el de la suma de los coeficientes de los monomios de P(x) y Q(x) del mismo grado.
R(X)=P(X)+Q(X)
Sea P(x)= 3x+2y-4z y Q(X)= 45X-Y+75Z, Hallar la suma Cuando no hay términos semejantes para cada polinomio, habrá espacios vacíos en el arreglo vertical de los polinomios. Este arreglo hace más fácil comprobar que estas combinando solo términos semejantes Ejemplos:
Propiedad fundamental de la división Ejemplo : D(x)=2x2+x–2 d(x)=x Comprobamos ahora que se verifica la propiedad fundamental de la división: D(x)=d(x)⋅c(x)+R(x D(x)=2x^2 +x–2 d(x)⋅c(x)+R(x)=x⋅(2x+1)–2=(2x^2 +x)–2=2x^2 +x– El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor: Grado del cociente En nuestro ejemplo: D(x) = 2x² + x – 2 ⇒ Grado de D(x) = 2 d(x) = x ⇒ Grado de d(x) = 1 c(x) = 2x + 1 ⇒ Grado de c(x) = 2 – 1 = 1
División de un polinomio por otro polinomio Consideremos estos dos polinomios: D(x)=x^4 –2x^3 –11x^2 +30x–20⇒Dividendo d(x)=x^2 +3x–2⇒Divisor Para realizar la división de D(x) entre d(x) se procede del modo siguiente:
- Se colocan los polinomios igual que en la división de números y ordenados de forma decreciente.
- Se divide el primer monomio del dividendo por el primer monomio del divisor. El resultado se pone en el cociente.
- Se multiplica el cociente por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo: (x^2 +3x–2)⋅x^2 =x^4 +3x^3 –2x^2 Como hay que restar x^4 +3x^3 +2x^2 del dividendo, le sumamos el opuesto: –(x^4 +3x^3 –2x^2 )=–x^4 –3x^3 +2x^2
- Se baja el término siguiente, 30x , y se divide, como en el apartado 2, el primer monomio del dividendo (-5x³) por el primer monomio del divisor (x²) −5x^3 ÷x^2 =−5x y se coloca -5x en el cociente
6 Sumamos los dos coeficientes.
7 Repetimos el proceso anterior et ).
Volvemos a repetir el proceso et (.
Volvemos a repetir et.
8 El último número obtenido, , es el resto.
9 El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos
coeficientes son los que hemos obtenido.
Cociente:
Resto:
Segundo ejemplo de la regla de Ruffini
Dividir por la regla de Ruffini:
1 Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con
ceros.
6 Sumamos los dos coeficientes.
7 Repetimos los pasos y hasta el final.
8 El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos
coeficientes son los que hemos obtenido.
Cociente:
Resto:
- Se multiplica -5x por el divisor (x² + 3x – 2) y el producto obtenido se resta del dividendo: (x^2 +3x–2)⋅(−5x)=−5x^3 –15x^2 +10x Como hay que restar -5x³ – 15x² + 10x del dividendo, le sumamos el opuesto: –(−5x^3 –15x^2 +10x)=5x^3 +15x^2 –10x
- Se baja el último término, -20, y se divide, como los apartados 2 y 4, el primer monomio del dividendo (6x²) por el primer monomio del divisor (x²) 6x² ÷ x² = 6, y se coloca 6 en el cociente
- Se multiplica 6 por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo: (x^2 +3x–2)⋅6=6x^2 +18x– Como hay que restar este polinomio del dividendo, le sumamos el opuesto: −(6x^2 +18x–12)=–6x^2 –18x+
