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Tema 4 – Sistemas con entradas senoidales

Circuitos Eléctricos – Alfredo Ursúa

TEMA 4 – SISTEMAS CON ENTRADAS SENOIDALES

4.6. Potencia en sistemas con

excitación senoidal

Tema 4 – Sistemas con entradas senoidales

Circuitos Eléctricos – Alfredo Ursúa^ •

Consideramos un circuito eléctrico (concretamente un dipolo) con referencias de polaridad pasivas (convenio receptor, motor o carga). El circuito contiene exclusivamente elementoslineales para garantizar que la corriente y la tensión sean sinusoidales y de la mismafrecuencia.

Potencia instantánea en corriente alterna

v^

(t

i^ + ) (t )

CIRCUITO LINEAL(DIPOLO)

Se toma la tensión como origen de fases y la corriente con una fase

φ

(<0). La i

corriente estará retrasada respecto de latensión un ángulo de

φ

grados (>0).

Circuitos de naturaleza inductiva (losmás habituales).

φ

=

φ

v^

-^

φ

= - i

φ

i

φ

i φ

v = 0

r V

r I

Los fasores (en valor eficaz) y los valores instantáneos de la tensión y corriente se pueden representar de la siguiente manera:

t V t V t v

v

ω

ϕ

ω

cos

2

cos

2

(^

cos 2

cos 2

ϕ

ω

ϕ

ω

t

I

t

I

t i^

i º 0 ∠ = ∠ =

V

V

V

v ϕ

r

I

I

I^

i

r

Por definición:

Tema 4 – Sistemas con entradas senoidales

Circuitos Eléctricos – Alfredo Ursúa 0

ω

t v^

t ( ) i^ (

t ) p ( t )

p(t)

< v(

t)< i(t

)>

p(t)

v(

t)> i(t

)>

p(t)

v(

t)< i(t

)<

p(t)

< v(

t)> i(t

)<

p(t)

v(

t)> i(t

)>

p(t)

< v(

t)< i(t

)>

p(t)

v(

t)< i( t)<

La potencia instantánea toma valores positivos en los intervalos enlos que

v

( t

) e

i ( t

) tienen el mismo

signo, y valores negativos cuando v ( t

) e

i ( t

) tienen signos opuestos.

Si

p

( t

)>0: el dipolo absorbe

potencia (absorbe y/o consumeenergía).

Si

p

( t

)<0: el dipolo cede

potencia (devuelve y/o generaenergía).

Por definición, la

potencia eléctrica instantánea

absorbida por el dipolo es igual a:

cos

cos

cos 2

cos

2 ) ( ) ( ) (

ϕ ω ω ϕ ω ω −

t t I V t I t V t i t v t p

teniendo en cuenta la identidad trigonométrica:

[^

])

( cos )

( cos 1 2

cos

cos

b a b a b a −

=

la potencia instantánea queda:

cos

cos

ϕ

ω

ϕ

t I V I V t p

Tema 4 – Sistemas con entradas senoidales

Circuitos Eléctricos – Alfredo Ursúa 0

ω

t v^

t ( ) i^ (

t ) p ( t )

Si se obtiene el valor medio de

p

( t

)

se observa que es “no nulo”. Porconsiguiente, el dipolo se encuentraconsumiendo netamente una energíaequivalente al valor medio de

p

( t

)

(potencia

P

) por el tiempo:

W

=

P t

La potencia

P

es conocida

como potencia activa (tambiénmedia o real).

p

MEDIA

=

P

Por definición, la

potencia eléctrica instantánea

absorbida por el dipolo es igual a:

cos

cos

cos 2

cos

2 ) ( ) ( ) (

ϕ ω ω ϕ ω ω −

t t I V t I t V t i t v t p

teniendo en cuenta la identidad trigonométrica:

[^

])

( cos )

( cos 1 2

cos

cos

b a b a b a −

=

la potencia instantánea queda:

cos

cos

ϕ

ω

ϕ

t I V I V t p

Tema 4 – Sistemas con entradas senoidales

Circuitos Eléctricos – Alfredo Ursúa^ •

De acuerdo con los términos de

P

y

Q

, la potencia instantánea

p

( t

) se puede expresar como:

(^

)^

(^

)^

(^

)^

t I V t I V I V t p ω

ϕ

ω

ϕ

ϕ

sen

sen

cos

cos

cos

(^

(^

)^

t Q t P t p

sen

cos

1

(^

Potencia activa instantánea

:

Valor medio igual a

P

(potencia activa).

Su componente de alterna oscila entre 0 y 2

P

con una pulsación 2

ω

.

P

es la potencia neta (constante) que

absorbe o genera un dipolo. Por tanto, laenergía aumenta continuamente a lo largodel tiempo para ser convertida en sutotalidad en trabajo u otro tipo de energía.

Potencia reactiva instantánea

:

Valor medio nulo.

Es una componente de alterna que oscila entre –

Q

y

Q

con una pulsación 2

ω

. El valor

pico es la potencia reactiva (

Q

).

La potencia reactiva instantánea es absorbida y cedida por un dipolo a razón dosveces por ciclo (

ω

). Por tanto, la energía se

intercambia constantemente entre el dipolo yel circuito exterior, sin convertirse en trabajo uotro tipo de energía.

Tema 4 – Sistemas con entradas senoidales

Circuitos Eléctricos – Alfredo Ursúa^ •

El producto de

VI

, que es igual a la amplitud de la potencia fluctuante, recibe el nombre de

potencia aparente (

S

). En temas anteriores (corriente continua) solo existía un tipo de

potencia que era el producto de tensión por corriente, es decir,

VI

. Sin embargo, ahora, en

circuitos de corriente alterna sinusoidal,

VI

es la potencia que

aparentemente

se consume,

aunque como ya se ha visto, es la

potencia activa

la que

realmente se consume

.

]

W

vatios,[

cos

cos

ϕ

ϕ

S

I

V

P

Las potencias

P

,^

Q

y

S

están relacionadas de la siguiente manera:

]

VAr

reactivos,

amperios

voltio[

sen

sen

ϕ

ϕ

S

I

V

Q

Potencia activa

:

]

VA

amperios,

voltio [

2

2

Q P I V S

Potencia reactiva

:

Potencia aparente

:

Especificaciones de potencia en máquinas y equipos eléctricos:

Alternadores de Centrales Eléctricas y transformadores:

S

(VA, kVA, MVA)

Motores de corriente alterna (c.a.):

P

(W, kW, caballos de vapor CV “736W”)

Reactancias inductivas y capacitivas:

Q

(VAr, kVAr)

Resistencias eléctricas (plancha, radiador, etc.):

P

(W, kW)

Tema 4 – Sistemas con entradas senoidales

Circuitos Eléctricos – Alfredo Ursúa^ •

Dibujando las componentes de la potencia compleja en un diagrama complejo, se obtiene el triángulo de potencias

. Se realiza la representación de todas las opciones en función del

desfase entre la tensión y la corriente (

φ

=

φ

v^

φ

), utilizando el i

convenio receptor

:

Q

Q

0 > P 0 < P

º 90

0

≤

≤

ϕ

º 180

º 90

≤

≤

ϕ

0

90

≤

≤

−

ϕ

º 90

º 180

− ≤

≤

−

ϕ

Re

ϕ cos I V

P

=

ϕ sen I V

Q

=

ϕ

Im

I V S^

=

ϕ cos I V P

=

Re

ϕ sen I V

Q

=

ϕ

Im I V S =

Re

ϕ cos I V P

=

ϕ sen I V

Q

=

ϕ

Im I V S =

Re

ϕ cos I V

P

=

ϕ sen I V

Q

=

ϕ

Im

I V S^

=

φ

i

φ

v

= 0

V

r

r I

φ

i

φ

v

= 0

V

r

r I

φ

i

φ

v

= 0

V

r

r I

φ

i

φ

v = 0

V

r

r I

(ABSORBE) (CEDE)

(CONSUME)

(GENERA)

INDUCTIVO

INDUCTIVO CAPACITIVO

CAPACITIVO

Tema 4 – Sistemas con entradas senoidales

Circuitos Eléctricos – Alfredo Ursúa^ •

Ahora, se realiza la representación de todas las opciones del

triángulo de potencias

en

función del desfase entre la tensión y la corriente (

φ

=

φ

v^

φ

), utilizando en este caso el i

convenio generador

:

Q

Q

0 > P 0 < P

º 90

0

≤

≤

ϕ

º 180

º 90

≤

≤

ϕ

0

90

≤

≤

−

ϕ

º 90

º 180

− ≤

≤

−

ϕ

Re

ϕ cos I V

P

=

ϕ sen I V

Q

=

ϕ

Im

I V S^

=

ϕ cos I V P

=

Re

ϕ sen I V

Q

=

ϕ

Im I V S =

Re

ϕ cos I V P

=

ϕ sen I V

Q

=

ϕ

Im I V S =

Re

ϕ cos I V

P

=

ϕ sen I V

Q

=

ϕ

Im

I V S^

=

φ

i

φ

v

= 0

V

r

r I

φ

i

φ

v

= 0

V

r

r I

φ

i

φ

v

= 0

V

r

r I

φ

i

φ

v = 0

V

r

r I

(CEDE) (ABSORBE)

(GENERA)

(CONSUME)

INDUCTIVO

INDUCTIVO CAPACITIVO

CAPACITIVO

Tema 4 – Sistemas con entradas senoidales

Circuitos Eléctricos – Alfredo Ursúa^ •

La tensión y la corriente quedan:

La potencia instantánea

p

( t

) queda:

t

V

t v

ω

cos

2

(^

(^

)º

90

cos 2

(^

t

I

t i

ω

V

r V

I

r I

b) Inductancia: v^

(t

i^ + ) (t )

-^

i

v

ϕ ϕ ϕ L X L Z

j

j^

ω

r

j^

v

L

L v

V X

X

V

V Z

I

ϕ

ϕ

r r

Ley de Ohm generalizada: r

p

( t

) es una potencia fluctuante de pulsación 2

ω

:

o

Cuando

p

( t

)>0: el generador entrega energía a la

inductancia y se almacena en forma de campo magnético. o

Cuando

p

( t

)<0: la energía almacenada en la inductancia

es devuelta al generador.

]

[W

cos

ϕ

I

V

P

L

]

VAr[

sen

2

2

L

L

L^

V X

I X I V I V Q

]

VA[

I

V

S

L^

L

φ

=i

-90º

φ

v = 0

r V

r I

(^

)^

t I V t I V t p ω

ω

sen

cos

(^

Los fasores:

(^

)^

2

2

max,

I

L

I

L

W

L^

max,

2

L

L^

W

I

L

Q

ω

ω

L

L^

S

Q

L P

L Q

0

ω

t

v^ (

t ) i^ ( t ) p^ ( t )

VI

Tema 4 – Sistemas con entradas senoidales

Circuitos Eléctricos – Alfredo Ursúa^ •

La tensión y la corriente quedan:

La potencia instantánea

p

( t

) queda:

t

V

t v

ω

cos

2

(^

(^

)º

90

cos 2

(^

t

I

t i

ω

V

r V

I

r I

c) Condensador: v^

(t

i^ + ) (t )

i

v

ϕ ϕ ϕ C X C Z

j

j^

ω

r

j

-^

v

C

v C

V X

X

V

V Z

I

ϕ

ϕ

r r

Ley de Ohm generalizada: r

p

( t

) es una potencia fluctuante de pulsación 2

ω

:

o

Cuando

p

( t

)>0: el generador entrega energía al

condensador y se almacena en forma de campo eléctrico. o

Cuando

p

( t

)<0: la energía almacenada en el condensador

es devuelta al generador.

]

[W

cos

ϕ

I

V

P

C

]

VAr[

sen

2

2

C

C

C

V X

I X I V I V Q

]

VA[

I

V

S

C^

C

C

S

Q

C

φ

=i

+90º

φ

v

= 0

r V

r I

(^

)^

t I V t I V t p ω

ω

sen

cos

(^

Los fasores:

(^

)^

2

2

max,

V

C

V

C

W

C

max,

2

C

C^

W

V

C

Q

ω

ω

C P

C Q

0

ω t

v^ (

t ) i^ ( t ) p^ ( t )

VI

14

Tema 4 – Sistemas con entradas senoidales

Circuitos Eléctricos – Alfredo Ursúa

Potencia instantánea en corriente alterna.

Potencias activa, reactiva y aparente.

Potencia compleja.

Potencia en una impedancia.

Resumen

Tema 4 – Sistemas con entradas senoidales

Circuitos Eléctricos – Alfredo Ursúa

Contenidos próxima clase

Asociación de cargas y principio de

conservación de la potencia (balance de potencias). 

Factor de potencia y su importancia práctica.

Corrección del factor de potencia.

Medida de potencia en c.a. El vatímetro.