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TEMA 9: POTENCIAL ELÉCTRICO Y ENERGÍA ELECTROSTÁTICA
Energía potencial electrostática y potencial eléctrico
Relación entre el Trabajo interno y externo y la variación de la energía potencial
Energía potencial de un conjunto de cargas
Definición del Potencial en relación con las líneas de campo eléctrico
Cálculos del potencial electrostático para distribuciones de carga
Determinación del campo eléctrico a partir del potencial: Relación entre campo
y potencial
Superficies equipotenciales y ruptura dieléctrica
Equipotenciales y conductores
Condensadores. Capacidad
Almacenamiento de energía eléctrica
Dieléctricos
Figuras sacadas de los libros: YOUNG, FREEDMAN, SEARS AND ZEMANSKY P. A. TIPPLER J. AGUILAR PERRIS
𝐅𝐞𝐱𝐭
+qo
+q
P
r
ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA Y POTENCIAL ELÉCTRICO
(^) r
o
o
int P
r r ext ext
ext P r
qq U W (F ) F .d F.d F.d W (F) 4
1
Energía potencial electrostática de dos cargas puntuales, U
U
r
U>
r
- r -
0
U
r
U<
r
-
0
q qo
q qo
Potencial eléctrica debido a una carga puntual, V
r
q
q
W (F ) V
o o
ext
ext P
4
1
Unidad V en SI JC-1^ = V (Voltio)
Alessandro Volta (1745-1827)
Unidad U en SI J
r Equivale a un
muelle alargado
P
x
(F : fuerza eléctrica)
Fext = - F
Fext
+qo
+q^ +qo
+q
V1/r
V()=
q+ V>
q- V<
Energía potencial asociada a la configuración o constitución de un sistema de
cargas puntuales
n
i j
i j ij
i j
r
qq U k
Si q 1 , q 2 ,….qn están en el y se las acerca de
manera que la distancia entre qi y qj sea rij, Utotal
del sistema es la suma de las U de interacción
para cada par de cargas:
13
1 3
12
1 2 1 r
qq k r
qq U k
12 13 23 1 3 3 23
2 3
13
1 3
12
1 2 U U U U U U r
qq
r
qq
r
qq U k
32
3 2
31
3 1 3 r
qq k r
qq U k
23
2 3
21
2 1 2 r
qq k r
qq U k
Ejemplo
ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA DE UN CONJUNTO DE CARGAS
Energía potencial eléctrica de una carga puntual en el campo producido por varias
cargas puntuales
r 1 r 5
r 4 r 3
r 2 q 1
q 2
q 3 q 4
q 5
qo
n
i (^1) i
i
o
o
n
n
2
2
1
1
o
o
r
q
q
r
q
r
q
r
q
q
U
Suma algebraica (con signo de las qi)
Ejercicios clase: 8, 9
DEFINICIÓN DE POTENCIAL Y LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO
Wab =q(Va-Vb)>
a (mayor V)
b (menor V)
- (^) Wba = -q(Vb-Va)>
- +q “cae” espontáneamente desde puntos de (Va>Vb)
mayor V a puntos de menor V
- q “sube” espontáneamente desde puntos de
menor V a puntos de mayor V
Bajo la acción de la fuerzas de campo 𝐄 :
V
q
W
E.d q
U
V V
o
b a b a o
a b
Def La diferencia de potencial entre dos puntos :
Unidad S.I. de E V.m-1=N.C-
En forma diferencial :
E.d q
dU dV
o
( Si V y la U de qo se hacen cero en
el mismo punto de referencia)
Def El potencial eléctrico en un punto:
Unidad de energía Electrón-voltio (1 eV= 1,6 10-19^ J)
o
ext
ext P
o q
W (F )
q
U
V
V aumenta
V disminuye V aumenta
V disminuye
𝐄 (^) 𝐄
d
dV Et
Las líneas de 𝑬 señalan en la dirección en la que V
disminuye más rápidamente con la distancia:
Discontinuidad
en r=R de o
V continuo
2 (^4) or
Q E
2 (^4) oR
Q E
4 R
Q V o
4 r
Q V o
+Q rR:
r<R: E 0
dV E.d
(^)
r r (^) r 2 dr r
KQ V V
r
Q
r
KQ
V
o
Vr VR 0 Vr VR R
Q
4
1
R
KQ V o
Mover una carga de un punto a otro en el interior de una
esfera conductora no lleva asociado W Vinterior = cte
Potencial debido a una esfera o corteza esférica conductora con +Q
¿Cuánto es el W r para colocar +qo en r>R, r=R y r<R?
POTENCIAL ELECTROSTÁTICO: CÁLCULO EN DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA
Potencial entre dos placas paralelas con cargas opuestas
d
V
E
ab
d
oVab
V V V E.d ( E).dy d
o
a b
a ab a b b
( *Aplicación: Medida de )
y(+)
E
yb
a ya
b
d
Potencial en el eje de un anillo cargado uniformemente
r
Q
k
r
dq
V k
Q 0 2 2 x a
Q
V k
Si x >>>a
x
Q
V k
V de una q puntual
Potencial debido a un plano infinito de carga
x 2
dx 2
V E.d V V
o
x 0 o
o
x 2
V V o
o
para x>
para x< x 2
V V o
o
x 2
V V o
o
V=Vo en x=0 (punto de referencia elegido)
+ P
i 2
E o
y
x
Ejercicios clase: 1, 2, 3, 4
POTENCIAL ELECTROSTÁTICO: CÁLCULO EN DISTRIBUCIONES DISCRETAS Y CONTINUAS
Potencial debido a un cilindro conductor indefinido de radio R
En Rref = R , VR=
r o
u 2 r
E
r
R
ln r
dr V V
ref
o
r R o
ref (^) ref
2 2 r
R
V ln
o
SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
Campo uniforme
E
- En ellas:
- Son a las líneas de E:
- No se cruzan
- Se trazan con una V fija entre ellas
- La distancia entre ellas ~ E
W (^) c dqo VcVd 0
(^) W 0 qoE .d Ed
c
d
d
d
dV Et
𝐄 =0; V 0
V=0; 𝐄 0
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/campo_electrico/linea/linea.htm
Superficies equipotenciales
V=cte
𝐄
EQUIPOTENCIALES Y CONDUCTORES. RUPTURA DIELÉCTRICA
Einterior = 0 Vinterior = cte
𝑬𝒆𝒙𝒕 y son mayores
en las regiones de
mayor curvatura (menor
R) del conductor
Vsuperf = EsuperfR
Equipotenciales y conductores en equilibrio electrostático
dV Ed
1 o
1
o
1 E 1 V r
1
2
2
1
r
r
1
2
2
1
r
r
E
E
2
1
2
1
r
r
q
q
2 o
2
o
2 E 2 V r
Efecto corona
Ruptura dieléctrica del
aire: Emax=3.10^6 V/m
𝐞𝐱𝐭
y en conductores no esféricos
r 1 r 2
q
𝐄
V=cte
El volumen y la superficie de un conductor es
equipotencial independientemente de su forma y 𝑬𝒆𝒙𝒕
es a su superficie
(^2)
i
i
o
i r
q
4
1 E
q 1
r 1 r 2
q 2
i
i
o
i r
q
4
1 V
Ej.: Si r 1 =5r 2
A 1 =25A 2
q 1 =5q 2
1
5
2 E 1 =
1
5
E 2
Ejercicios clase: 10
b a +
CÁLCULO DE LA CAPACIDAD
Condensador de placas paralelas
d A
Q V E.d
o
ab
d
A
C
o
E i
o
d <<
A
a (^) b
+Q -Q
*Aplicación : micrófono condensador
Condensador esférico
rˆ 4 r
Q
E
2 o
a b
b a
o
a b
rr
r r
Q
V V
b a
o ab
ab r r
4 rr
V
Q
C
Cuando A o d C
Dentro del condensador:
Dentro del condensador:
Ejercicios clase: 14
1
COMBINACIÓN DE CONDENSADORES
Consideraciones previas
2- En el equilibrio electrostático , conductores conectados por hilos metálicos están al mismo V
1- Def Voltaje característico de la batería es la ddp entre sus
bornes (+) y (-) E
E
Los diferentes colores
son distintas superficies
equipotenciales
Símbolo de una batería: ++ - -
2
c
d
e
c
d
e
d
e
fff
c
Figura 1: Va - Vb = Vc - Vd = Ve - Vf
Figura 2: Va - Vb = Vc - Vf = (Vc - Vd ) + (Ve – Vf)
ccc (^) eee
ddd fff
ALMACENAMIENTO DE ENERGÍA ELÉCTRICA
16
dq C
q W dU Vdq (^)
U Q dq C
q U dU 0 0
2
2
CV 2
1 QV 2
1
C
Q
2
1 U
Energía potencial almacenada en el condensador
Densidad de energía del campo electrostático, u
• U(Q=0) = 0
• W 1/C
- Analogía eléctrica con Uelas = ½kx^2
Para un condensador de placas paralelas (C = oA d ; V=Ed):
EVol 2
1 U
2 o
2
2
E
volumen
energía u o
Densidad de energía de un campo
electrostático
(Expresiones válidas para cualquier configuración de E siempre que sea cte en el volumen)
2 u E
¡¡El espacio vacío no está vacío¡¡: Si hay un 𝑬 en él , habrá una densidad de energía
espacio
U o E .dVol
2
Si E no es constante
en todo el volumen
Energía potencial de un condensador
con carga Q
+dq (^) 𝐄 dl
Ejercicios clase: 11, 13, 18
Energía de un campo
electrostático
El material dieléctrico:
Vo
Clibre C
V
+Qlibre -Qlibre +Qlibre -Qlibre
Dieléctrico
𝐄 libre 𝐄
DIELÉCTRICOS (I): EFECTO EN LOS CONDENSADORES
Vlibre V C^ Clibre
Faraday (1791-1867 ): mete un dieléctrico entre las placas de un condensador y observa:
¿Por qué?
Elibre
E
1. Medio que separa los dos conductores
2. C W almacenamiento
3. Eleva el valor umbral para la ruptura dieléctrica
es adimensional
=f(material)
El factor de cambio es : “ Constante dieléctrica
o Permitividad relativa, r ”:
Proporciona el factor de reducción de E o V
Con Qlibre = cte:
- V < Vlibre
- E < E (^) libre
C > Clibre
DIELÉCTRICOS (III): CONSTANTE DIELÉCTRICA
d
A
d
A
C C
o libre o
: Permitividad
del dieléctrico
En un condensador de placas paralelas:
d
A
C
o libre
libre libre o
E u
E
volumen
energía
u
2
2
La densidad de energía almacenada en el
condensador es menor si tiene dieléctrico
Densidad de energía con dieléctrico
Unidad de : F.m
(pero hace falta un V menor para almacenar la misma Q)
Resumen:
libre o
libre libre libre
C
C
u
u
V
V
E
E
aire
Expresión con validez general
o
r^ r: Permitividad relativa del dieléctrico o Cte dieléctrica
DIELÉCTRICOS (IV): MODIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
2 ur
4 r
q
E
4 r
q
V
2
u libre oE
E S
q
E. dS
d
A
C
E i
2 r
1 2 u r
qq
F
Ecuaciones en el vacío Ecuaciones con dieléctrico,
2 r o
u
4 r
q
E
4 r
q
V
o
^ 𝐄^ y V de una carga puntual
Ley de Gauss para 𝐄
S
o
E
q
E. dS
𝐄 y C de una condensador
de placas plano paralelas
2 r
1 2
o
u r
qq
F
d
A
C
o E i
o
Densidad de energía
ulibre
u E
2
Ley de Coulomb
q=qlibre
Como > o , la presencia del dieléctrico produce una
reducción efectiva de la interacción eléctrica
Ejercicios clase: 12, 15, 16, 17
