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Universidad Nacional Agraria La Molina Facultad de Ciencias Departamento AcadÈmico de Matem·tica
Ciclo 2023 - I Grupo: C
TERCERA PR¡CTICA DE C¡LCULO PARA CIENCIAS
Advertencias: No se pueden usar apuntes de clase, libros, calculadoras, tabletas o computadora personal Todo dispositivo electrÛnico deber· permanecer apagado durante la evaluaciÛn.
- Calcule el ·rea de la regiÛn R limitada por las gr·Öcas de las funciones
f (x) = 2 jxj
g (x) = 1
p 1 x^2 ; 1 x 1
SoluciÛn
f (x) =
2 x ; x 0 2 + x ; x < 0
Gr·Öca
Limites de integraciÛn: (C 1 \ C 2 )
2 jxj = 1
p 1 x^2
jxj 1 =
p 1 x^2
x = 1
Planteamiento del ·rea
A =
Z 1
1
2 jxj
p 1 x^2
dx
C·lculo de la integral
A =
Z 1
1
1 jxj +
p 1 x^2
dx
A =
Z 1
1
(1 jxj) dx +
Z 1
1
p 1 x^2 dx
A = 1 +
- Halle el ·rea de la regiÛn exterior a la curva r^2 = p^8 3 sen(2) e interior a la curva r =
4 cos(2):
SoluciÛn.
Intersecciones,
16 cos 2 (2) =
p 3
sen(2)
p 3 cos 2 (2) = sen(2)
2
p 3(1 sen 2 (2)) = sen(2)
2
p 3 sen 2 (2) + sen(2) 2
p 3 = 0
(2sen(2)
p 3)(
p 3 sen(2) + 2) = 0
sen(2) =
p 3
2
_ sen(2) =
p 3
(no existe ·ngulo)
Gr·Öca
Planteamiento del ·rea
A = A 1 + A 2
A =
Z = 2
= 3
(4 cos(2)) 2 (
p 3
sen(2))
d +
Z 3 = 4
= 2
((4 cos(2)) 2 d
Calculo de la integral
A 1 =
1 2
R = 2
= 3
h (4 cos(2))^2 ( p^8 3 sen(2))
i d
A 1 = 1
2
R = 2
= 3
h 8 + 8 cos(4) ( p^8 3
sen(2))
i d
A 1 =
1 2
h 8 + 2sen(4) + p^4 3 cos(2)
i= 2
= 3
A 1 = 2 3 +^
1 2
p 3 Hallando el ·rea A 2 :
A 2 = 1 2
R 3 = 4
= 2 ((4 cos(2))
(^2) d
A 2 = 12
R 3 = 4
= 2 (8 + 8 cos(4))d
V 2 =
Z 2
0
( 2 x + 7)
2
p x + 1
dx
V 2 =
Z 2
0
4 x^2 29 x + 48
dx
V 2 =
x 3
x 2
0
V 2 =
u 3
Por lo tanto
V =
u 3
u 3 =
u 3
- Calcule el volumen del sÛlido de revoluciÛn generado al rotar la regiÛn < limitada por las
curvas
<
x = y^2 3 y; x = y^3 + 5y^2 6 y;
alrededor del eje de abscisas: SoluciÛn.
Gr·Öca
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
x
y
Limites de integraciÛn:(\ de curvas)
y 2 3 y = y 3
y 3 4 y 2
y
y 2 4 y + 3
y = 0 _ y = 1 _ y = 3
- Planteamiento: Usando el mÈtodo de l·minas o corteza cilÌndrica
V = V 1 + V 2
V = 2
Z 1
0
y
y 2 3 y
y 3
dy + 2
Z 3
1
y
y 3
y 2 3 y
dy
C·lculo de la integral
V 1 = 2
Z 1
0
y
y 2 3 y
y 3
dy = 2
y 5 5 y 4
0
u 3
V 2 = 2
Z 3
1
y
y 3
y 2 3 y
dy = 2
y 5
1
u 3
Por tanto el volumen es:
V = V 1 + V 2 = 6 u 3
(5 puntos c/p)
- La Molina, 3 de mayo del 2023
