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TAREA 3
1. Determine el valor de k para el que la ecuación diferencial es exacta:
A) ( y
3
4
− 2 x
) dx +
( 3 xy
2
2
y
3
) dy
Es exacta si
M
y =¿ N x
¿
:
M
y
( y
3
4
− 2 x
) '
M
y
= 3 y
2
3
N
x
( 3 xy
2
2
y
3
) '
N
x
= 3 y
2
3
3 y
2
3
= 3 y
2
3
k = 10
B) ( 6 xy
3
+cos y ) dx +( 2 k x
2
y
2
− x sin y ) dy
Es exacta si
M
y =¿ N
x
¿
:
M
y
( 6 xy
3
+cos y
) '
M
y
= 18 xy
2
−sin y
N
x
( 2 k x
2
y
2
− x sin y
) '
N
x
= 4 kxy
2
−sin y
18 xy
2
−sin y = 4 kxy
2
−sin y
k =4.
2. Resuelva:
( e
2 y
- y cos ( xy ) ) dx +( 2 x e
2 y
− x cos ( xy )+ 2 y ) dy = 0
Integrando el primer término:
∫
( e
2 y
xy
) dx = x e
2 y
x y
F
( x , y )
= x e
2 y
+sin
x y
Derivando respecto a “y”:
F
( y )
= 2 x e
2 y
x y
y
Igualando la función con el segundo término:
F
( y )
= 2 x e
2 y
x y
y
= 2 x e
2 y
− x cos
xy
g ´
y
= 2 y → g
y
= y
2
F
( x , y )
= x e
2 y
+sin
x y
2
x e
2 y
+sin
x y
2
= C
3. En el estudio de la población dinámica uno de los más famosos modelos para un crecimiento poblacional
limitado es la ecuación logística:
dP
dt
= P ( a − bP ) donde a y b son constantes positivas, resuelva la ecuación
diferencial usando el hecho que es una ecuación de Bernoulli.
4. Verificar que la función yln ( y )= x + ∫
0
x
e
t
2
dt , satisface la ecuación diferencial:
y ( 1 + lny ) y
' '
+( y
'
2
= 2 xy e
x
2
5. Calcule la solución general de la E.D :
A. ( 3 e
x
tan y
) dx +
( 2 − e
x
) ( sec x
2
dy = 0
B. ( y
2
2
)
dy
dx
2
6. Calcule el siguiente problema de valor inicial:
{
( y
2
cos x − 3 x
2
y − 2 x
) dx +
( 2 y sin x − x
3
) dy = 0
¿ y ( 0 )= e
( y
2
cos x − 3 x
2
y − 2 x
) dx +
( 2 y sin x − x
3
+ln y
) dy = 0
Evaluando si es E.D.O.
M
y
( y
2
cos x − 3 x
2
y − 2 x
) '
M
y
= 2 y cos x − 3 x
2
N
x
( 2 y sin x − x
3
+ln y
) '
N
x
= 2 y cos x − 3 x
2
Integrando el primer término:
∫
( y
2
cos x − 3 x
2
y − 2 x ) dx = y
2
sin x − x
3
y − x
2
- Calcular la integral ∫∫
D
( x + 2 y ) dydx
donde D es la región acotada por las parábolas
y = 2 x
2
e
y = 1 + x
2
.
y = 2 x
2
y = 1 + x
2
2 x
2
= 1 + x
2
x
2
x = 1 ∧ x =− 1
A =
∫
− 1
1
∫
2 x
2
1 + x
2
( x + 2 y ) dydx
A =
∫
− 1
1
( xy + y
2
) |
2 x
2
1 + x
2
dx
A =
∫
− 1
1
[
x ( 1 + x
2
)+( 1 + x
2
2
− 2 x
3
− 4 x
4
]
dx
A =
∫
− 1
1
[ x + x
3
2
4
− 2 x
3
− 4 x
4
] dx
A =
∫
− 1
1
[ 1 + x + 2 x
2
− x
3
− 3 x
4
] dx
A =
(
x +
x
2
2 x
3
x
4
3 x
5
) |
A =
(
2
3
4
5
)
(
2
3
4
5
)
A =
- Calcular la integral ∫∫
R
( 2 y − 4 x ) dydx donde D es la región acotada por las parábolas y = x
2
e y = x.
y = x
2
y = x
x
2
= x
x
2
− x = 0
x ( x − 1 )= 0
x = 0 ∧ x = 1
A =
∫
0
1
∫
x
2
x
( 2 y − 4 x ) dydx
A =
∫
0
1
( y
2
− 4 xy
) |
x
2
x
dx
A =
∫
0
1
[
( x
2
− 4 x
2
) −
( x
4
− 4 x
3
) ] dx
A =
∫
0
1
( 4 x
3
− 3 x
2
− x
4
) dx
A =
(
x
4
− x
3
x
5
) |
A =
(
4
3
5
)
|
A =
∫
0
1
(
x
3
)
|
1 − y
dy
∫
0
1
(
x
3
)
|
1 − y
dy
∫
0
1
( 1 − y )
3
dy
(
(− 1 )( 1 − y )
4
)|
C)
∫
− 2
2
∫
x
2
4
∫
0
4 − y
dz dy dx
∫
− 2
2
(
∫
x
2
4
(
∫
0
4 − y
dz
)
dy
)
dx
∫
− 2
2
(
∫
x
2
4
(
z |
4 − y
)
dy
)
dx
∫
− 2
2
(
∫
x
2
4
( 4 − y ) dy
)
dx
∫
− 2
2
(
(
4 y −
y
2
) |
x
2
)
dx
∫
− 2
2
(
(
2
)
(
4 ( x
2
( x
2
2
)
)
dx
∫
− 2
2
(
8 − 4 x
2
x
4
)
dx
(
8 x −
4 x
3
x
5
)
|
(
3
5
)
(
3
5
)
- Si 𝐷 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, −1 ≤ 𝑦 ≤ 0, 0 ≤ 𝑧 ≤ 2}, calcula
∫∫∫
D
( x + zy + x
2
yz ) dx dy dz
∫
0
2
∫
− 1
0
∫
0
1
( x + zy + x
2
yz ) dx
dy
dz
∫
0
2
∫
− 1
0
x
2
x
3
yz
dy
dz
∫
0
2
∫
− 1
0
x
2
x
3
yz
dy
dz
∫
0
2
∫
− 1
0
4 y z
dy
dz
∫
0
2
2 y
2
z
y
dz
∫
0
2
− 2 z
dz
− z
2
z
- Si 𝑅 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, − 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 2𝑥, 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 2𝑥 + 𝑦}, calcula
∫∫∫
D
( xyz ) dx dy dz
∫
x + y
2 x + y
∫
− x
2 x
∫
0
1
( xyz ) dx
dy
dz
∫
x + y
2 x + y
∫
− x
2 x
x
2
yz
dy
dz
∫
x + y
2 x + y
∫
− x
2 x
yz
dy
dz
∫
x + y
2 x + y
y
2
z
2 x
− x
dz
∫
x + y
2 x + y
( 2 x )
2
z
(− x )
2
z
dz
∫
x + y
2 x + y
x
2
z −
x
2
z
dz
