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PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 2 2024-
(Solucionada)
- Determinar los circuitos lógicos que representan los siguientes esquemas moleculares. (2 Puntos C/U) a) ( p v q ) → [ (∼p v q ) → ( p Λ q ) ] Solución ( p v q )→[ ( ~p v q ) → ( p Λ q ) Ξ ∼ (p v q ) v [∼ (∼p v q ) v ( p Λ q ) ]
Ξ ∼ ( p v q ) v[ ( p Λ ∼q ) v ( p Λ q ) ]
Ξ (∼p Λ ∼q) v p
Ξ (p v ∼q)
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- Simplificar por la ley de Morgan y construir la tabla de verdad de la siguiente proposición: (3 puntos)
~{ ~[ p v (~q→p) ] v ~[ (p ↔~q)→(q Λ ~p) ]} Solución
Primero simplificaremos la proposición por la ley de Morgan: ~ ~{[ p v (~q → p) ] ˄ [ (p ↔~q) → (q ˄ ~p) ]} de donde se tiene [p v (~q →p)] ˄ [(p ↔~q) → (q ˄ ~p)]
p q [p v (~q →p)] ˄ [(p ↔~q) → (q ˄ ~p)]
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MATEMÁTICA DISCRETA
Pocos Atletas de la tercera edad han llegado a la meta
⇔ (∃ x) Lx
Ninguno ha nacido en la selva ⇔ (∀x) ¬Nx
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- Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones, siendo el conjunto: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. ( puntos) a. ∀ x ∈ A / x 2 - 4x + 5 = 0. b. ∃ x ∈ A / x 3 + x 2 - 2x = 0. c. ∀ x∈ A,∃ y ∈ A / x + y ≤ 4
Solución: a. Es falsa, pues x 2 -4x + 5 = 0 se cumple sólo para x = 1, y x = 5 y no para todos los demás elementos de A. b. Es verdadera, puesto que la ecuación x 3 + x^2 - 2x = 0 tiene dos soluciones x = 0, y x = 1 en el conjunto A; bastaba que hubiera una. c. Es falsa, pues para 5 ∈ A no existe ningún valor y ∈ A / 5 + y ≤ 4.
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- Demostrar que: A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
Equivale a demostrar: (I) [ A ∩ ( B ∪ C ) ] ⊂ [ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ] y
(II) [ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ] ⊂ [ A ∩ ( B ∪ C ) ].
(I) ∀ x ∈ A ∩ ( B ∪ C ) / x ∈ A ∩ ( B ∪ C) ⇒ x ∈ ( A ∩ B) ∪ (A ∩C)
Pero x ∈ A ∩ ( B ∪ C ) ⇒ x ∈ A ∧ ( x ∈ B ∪ C ) Def. Intersec ⇒ x ∈ A ∧ [ x ∈ B ∨ x ∈ C] Def. Unión ⇒ ( x ∈ A ∧ x ∈ B ) ∨ ( x ∈ A ∧ x ∈ C ) Propiedad distributiva de ∧ con respecto a ∨: [p ∧ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )]. ⇒ ( x ∈ A ∩ B ) ∨ ( x ∈ A ∩ C ) Def. Intersec ⇒ x ∈ [ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ] Def. Unión Entonces x ∈ [ A ∩ ( B ∪ C ) ] ⇒ x ∈ [ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ] [ A ∩ ( B ∪ C) ] ⊂ [ ( A ∩ B ) ∪( A ∩ C )] Def. de ⊂. Análogamente se demuestra (II). En efecto, ∀ x ∈ [ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ] / x ∈ [ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) ] ⇒ x ∈ (A ∩ B ) ∨ x ∈( A ∩ C) Def. de Intersección ⇒ [ x ∈ A ∧ x ∈ B ] ∨ [ x ∈ A ∧ x ∈ C ]
∀ x ∈ A ∃ y ∈ A / x + y ≤ 4 0 2 0 + 2 ≤ 4 1 3 1 + 3 ≤ 4 2 0 2 + 0 ≤ 4 3 1 3 + 1 ≤ 4 4 0 4 + 0 ≤ 4 5 No existe No se cumple
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- Halla la suma de los 16 primeros términos de una progresión aritmética donde a 4 =7 y a 7 =
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- En una progresión geométrica, a 1 = 3 y a 4 = 24. Calcula la razón y la suma de los ocho primeros términos. x = 0, y x = 1 en el conjunto A; bastaba que hubiera una
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- ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ?
m = 6 n = 3 m ≥ n Tenemos que separar el número en dos bloques: El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares), m = 5 n = 1
El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito menos el inicial. m = 5 n = 2
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- ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas. Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.
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- En una bodega hay cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?
No entran todos los elementos. Sólo elije 4.. No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y
2 de anís.
Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.
