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Práctica de cálculo 1, Ejercicios de Cálculo

Universidad Mayor de San AndrésCálculo

Funciones, límites, derivadas y integrales

Tipo: Ejercicios

2021/2022

Subido el 03/09/2023

katy-mayte-mendoza
katy-mayte-mendoza 🇧🇴

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Universidad Mayor de San Andr´
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Facultad de Ciencias Puras y Naturales
Carrera de Matem´
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( Mat- 115, Mat-132)
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Universidad Mayor de San Andr´es

Facultad de Ciencias Puras y Naturales

Carrera de Matem´atica

N U E

V I E^ R

S^ I

T^ A

S

M^ A

J^ O

R^ P^ AC E N S I S D I V I (^) A D^ N E^ R A

Gu´ıa de Ejercicios

An´alisis Matem´atico I

( Mat- 115, Mat-132)

La Paz - Bolivia

Gu´ıa de Ejercicios Nro 1 C´alculo I - Gesti´on 2022 N´umeros Reales - Funciones y Gr´aficas - L´ımites y Continuidad

  1. N´umeros Reales
  2. Aplicando los axiomas de los n´umeros reales, demuestre cada teorema.

a) −a − b = −(a + b) b) a − (b − c) = (a − b) + c c) Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0 d ) Si ab ̸= 0, entonces (ab)−^1 = a−^1 · b−^1 e) Si a ̸= 0, entonces (a−^1 )−^1 = a f ) Si ab = ac y a ̸= 0, entonces b = c.

  1. Aplicando los axiomas de orden, demuestre los siguientes teoremas.

a) a < b si y s´olo si existe un n´umero positivo c tal que a + c = b b) a−^1 tiene el mismo signo de a. c) Si a y b tienen el mismo signo y a < b, entonces a−^1 > b−^1 d ) Si a ≥ 0 y b ≥ 0, entonces a^2 > b^2 si y s´olo si a > b. e) Si a, b, c, d > 0 son n´umeros reales tales que

a b

c d

. Demuestre que

a b

a + c b + d

c d

  1. Halla el conjunto soluci´on de las siguientes inecuaciones

a) 7 x + 1 ≥

x −

x − 1 3

b) 2(x − 4) + 3x < 5 x − 7

c) − 2 ≤ 3 x − 5 < 8 d)

x

x e) x^3 + 4x^2 + x − 6 > 0 f ) − 1 ≤ x^3 − 2 x^2 < x

g) 1 − 2 x − 3 x^2 ≤ 0 h)

2 x + 6 5 − x

i)

x − 2 x − 4

x + 2 x j)

5 x x + 4

  1. Problemas de aplicaci´on

a) La suma de tres n´umeros pares consecutivos es inferior a 48 pero superior a 36. ¿Cu´al es el mayor de los tres n´umeros? b) Un padre decide ir a un concierto con sus hijos y tiene Bs. 150. Si compra entradas de Bs. 30 le falta dinero, pero si compra entradas de Bs. 22 le sobra. ¿Cu´antos hijos tiene? c) Un arquitecto desea delimitar un terreno rectangular y tiene 450 metros de cerca disponible. Encuentra las dimensiones del terreno si el ´area deli- mitada debe ser al menos 3150 m^2. d ) Se tiene un presupuesto de Bs. 300 para comprar dos tipos de cuadernos. El cuaderno A cuesta Bs. 7 la unidad, el cuaderno B cuesta Bs. 4. ¿Cu´antos cuadernos como m´aximo hay que comprar del tipo A para no exceder el presupuesto, si adem´as se impone la condici´on que la cantidad a comprar del cuaderno del tipo B sea el doble que la cantidad a comprar del tipo A?

  1. Funciones y Gr´aficas
  2. Determina el dominio de las siguientes funciones:

a) f (x) = x √ x^2 − 4

b) g(x) = ln(x − x^3 ) √ x^2 − 4 x − 12

c) h(x) =

1 − | 3 − x|

d) f (x) =

x − 1 √ 4 − x^2

e) g(x) =

|x − 1 | − 1 √ (^49) − (x − 1) 2 f ) h(x) = log

( (^2) − x x^2 − 4 x − 21

g) f (x) =

x^2 − 4

h) g(x) =

9 − |x| i) h(x) = 6 − 2 x − x^2

  1. Si f (3x − 5) = 6x + 1, calcula f (x), f (0)
  2. Si f (3x + 1) = 36x^2 − 6 x + 2, calcula f (2x + 5), f (2)
  3. Sea f una funci´on tal que 3f (2 − x) + 2f (x) = x^2 , donde x ∈ R. Calcula f (0), f (1) y f (2).
  4. Sea f una funci´on tal que f (1) = 7 y f (x + y) = f (x) + f (y) + 3 para todo x, y ∈ R. Determina f (0), f (2) y f (3).
  5. Sea f (x) = x^2. Demostrar que

a) 2f

(a + b 2

≤ f (a) + f (b)

b) 3f

(a + b + c 3

≤ f (a) + f (b) + f (c)

  1. Sea f (x) =

x. Demostrar que

a) f (a) + f (b) ≤ 2 f

(a + b 2

b) f (a) + f (b) + f (c) ≤ 3 f

(a + b + c 3

  1. Encuentra los valores de a y b tal que el dominio de la funci´on

f (x) =

a^2 − (x − b)^2

sea el intervalo [2, 6].

  1. Encuentra a y b tal que f (x) = ax + b pasa por los puntos (− 1 , 1) y (4, 2).
  2. Encuentra a y b tal que f (x) = x^2 + 2ax + b pasa por el punto (− 1 , 1) y tiene como m´ınimo −7.
  3. Si f (2x − 3) =

x + 2 x − 3

y g(x + 1) = f (3x − 2), halla g(x 3 ).

  1. Encuentra f + g, f − g f g y f /g, donde

f (x) =

x, si; x ≤ 0 −x + 1, si; x ≥ 2 g(x) =

−x + 1, si; − 1 ≤ x ≤ 1 1 , si; x > 1

  1. Si f (x) = 5x^2 − 7 x + 3, g(x) = x^2 + 2, calcula f + g, f − g, f · g, f /g, f ◦ g, g ◦ f, (f + g) ◦ f, (g ◦ g)(1), (g ◦ f )(0)
  2. Determina si los n´umeros 5 y −5 est´an en el rango de la funci´on f (x) = x^2 − 4 x.
  3. Encuentra la composici´on f ◦ g ◦ h.

a) f (x) = x^2 + 6, g(x) = 2x + 1, h(x) = 3x − 2 b) f (x) =

x − 5 , g(x) = x^2 + 2, h(x) =

2 x + 1

c) f (x) = 3x^2 − 1 , g(x) =

9 − x, h(x) =

3 − x x + 1

  1. Expresa cada funci´on F como una composici´on de dos o tres funciones.

a) F (x) = sin^2 (

x) b) F (x) =

e^5 x^ c) F (x) =

x^2 + 9

  1. Si f (x − 2) = x^2 − 4 x + 6 y g(x) = x + a, determina el valor de a de modo que (f ◦ g)(x) = (g ◦ g)(a − 1).
  1. Si f (x − 2) =

x − 2 x − 1 y g−^1 (x−^1 ) =

x + 2 x − 1 , determina (f ◦ g ◦ f −^1 )(x).

  1. Si f (x) = 2x − 3 y g(x) =

2 x − 1

. Halla el valor de a (si es posible) de modo que (g ◦ f )(2) = (f ◦ g)−^1 (a − 1)

  1. Problemas de aplicaci´on.

a) El ancho de una caja rectangular es tres veces su longitud, y su altura es dos veces su longitud.

  1. Exprese el volumen V de la caja como una funci´on de su longitud l.
  2. Como una funci´on de su ancho w.
  3. Como una funci´on de su altura h. b) Para proteger un terreno rectangular se precisan 120 m de alambrada. Expresa el ´area en funci´on de uno de sus lados. Determina dominio y rango. c) Con una barra de acero se construye un rect´angulo de ´area 12 cm^2. Expresa su per´ımetro en funci´on de un lado. Determina dominio y rango. d ) Los bi´ologos has determinado que, en condiciones ideales, la cantidad de bacterias en un cultivo crece exponencialmente. Suponga que inicialmente hay 2000 bacterias presentes en un determinado cultivo y que 6000 est´an presentes 20 minutos despu´es. ¿Cu´antas bacterias estar´an presentes al cabo de 1 hora? e) Para proteger un terreno rectangular se precisan 120 m de alambrada. Expresa el ´area en funci´on de uno de sus lados. Determina dominio y rango. f ) Con una barra de acero se construye un rect´angulo de ´area 12 cm^2. Expresa su per´ımetro en funci´on de un lado. Determina dominio y rango. g) En cada uno de los vertices de una lamina de carton de 12 cm de lado, se cortan peque˜nos cuadrados de x cm de lado, dobl´andose a continuaci´on los bordes hacia arriba para formar una caja sin tapa de altura x. Expresar el volumen V en funci´on de x. Determina dominio y rango. h) (Crecimiento log´ıstico) Un estudiante contagiado con el virus de influenza vuelve a un campus aislado de una universidad donde hay 2 000 estudian- tes. El n´umero de estudiantes infectados despu´es de t d´ıas del regreso del estudiante se pronostica por medio de la funci´on log´ıstica.

P (t) =

1 + 1999e−^0 ,^8905 t

  1. Seg´un este modelo matem´atico, ¿Cu´antos estudiantes estar´an contagia- dos por la influenza despu´es de 5 d´ıas?
  2. ¿En cu´anto tiempo estar´a infectada la mitad de la poblaci´on de estu- diantes?
  3. ¿Cu´antos estudiantes pronostica el modelo que estar´an infectados al cabo de un muy largo periodo?
  4. Trace la gr´afica de P (t).
  1. L´ımites y Continuidad
  2. Aplicando la definici´on, verificar los siguientes l´ımites

a) l´ım x→− 3 5 − x − x^2 = − 1 b) l´ım x→ 2 x^2 + 2x − 1 = 7 c) l´ım x→ (^12)

3 + 2x 5 − x

d) l´ım x→ 6

x x − 3

= 2 e) l´ım x→ 1

5 − x

f ) l´ım x→ 4

x − 2 x − 4

  1. Dar un ejemplo en el que exista l´ımx→ 0 f (x^2 ), pero no l´ımx→ 0 f (x)
  2. Dada la funci´on f (x) = x + 3, calcule

a) l´ımh→ 0 f (3 + h) b) l´ımx→ 0 [f (x) − f (x + 2)] c) l´ımx→ 3 f (x)

  1. Encuentre todos los n´umeros reales a que verifica la desigualdad:

xl´ım→a

x − a √ x −

a ≤ a

  1. Para qu´e enteros A y B, existen l´ımx→ 0 f (x) y l´ımx→ 1 f (x), si

f (x) =

Ax^2 + B, si; x < 0 Bx + A, si; 0 ≤ x ≤ 1 Bx^3 + A, si; x > 1

  1. Calcula los siguientes l´ımites algebraicos

a) l´ım x→ 0

(3 + x)^3 − 33 x

b) l´ım x→ 8

x − 2 x − 8

c) l´ım x→ 0

x^3 − 3 x + 2 x^4 − 4 x + 3 d) l´ım x→ 1

xn^ − 1 xm^ − 1

e) l´ım x→ 1

x +

x − 1 − 1 √ x^2 − 1

f ) l´ım x→ 64

x − 8 √ (^3) x − 4

g) l´ım x→ 1

x^100 − 2 x + 1 x^50 − 2 x + 1

h) l´ım x→ 3

√ (^39) x − 3 √ 3 x − 3

i) l´ım x→ 1

√ (^3) x + √x − 2

x − 1

  1. Si l´ımx→ 2

f (x − 2) √ 2 x − 2

= 3 y l´ımx→ 2

g(x + 2) x^2 − 4

= 5, encuentre l´ımx→ 2

f (x) g(x)

  1. Si se sabe que l´ımx→ 1

f (x) 1 − x^3

= 4 y l´ımx→ 1

g(x) 1 − x^2

= −6. Calcula l´ımx→ 1

f (x) g(x)

  1. Traza la gr´afica de la funci´on, y determinar los valores de la variable indepen- diente en los cuales la funci´on no es continua.

a) h(x)

1 + x, x ≤ − 2 2 − x, − 2 < x ≤ 2 2 x − 1 , 2 < x

b) g(x) =

2 x + 3, x ≤ 1 8 − 3 x, 1 < x < 2 x + 3, x ≥ 2

a) f (x) =

| 2 x + 5|, x ̸= −^52 3 , x = −^52 b) g(x) =

x − 3 |x − 3 |

, x ̸= 3 0 , x = 3

  1. Determine los intervalos donde la funci´on f (x) =

x^2 − 16 x − 6 sea continua.

  1. Determine el intervalo donde la funci´on f (x) =

x − 3 sea continua.

  1. Si f (x) =

2 x − 3 si x ≤ 2 2 L si x > 2

. Halla el valor de L de tal forma que exista el

l´ım x→ 2 f (x)

  1. Si h es una funci´on tal que a) h es continua en cero y b) h(x + y) = h(x)h(y) Probar que h es continua en todo punto.
  2. Demostrar que la funci´on racional es continua en todo n´umero de su dominio.
  3. Demostrar que: Si f y g son funciones continuas en a, entonces

f g

es continua en a

  1. Demuestra que la funci´on coseno es continua en todo punto a.
  2. Sup´ongase que f es continua en a, con f (a) > 0. Encuentre l´ımx→a

f (x) −

f (a) f (x) − f (a)

  1. Dada la funci´on

f (x) =

ax^2 − 10 , si x < a −ax + x, si x ≥ a encuentre a tal que l´ımx→a− f (x) = l´ımx→a+ f (x)

  1. Determinar a y b para que la funci´on sea continua en todo punto.

a) f (x) =

x + 2a, si x < − 2 3 ax + b, si 2 ≤ x ≤ 1 3 x − 2 b, si 1 < x

b) f (x) =

x^2 + 1, si x < 1 ax + b, si 1 ≤ x ≤ 2 x − 5 , si x > 2

c) f (x) =

ax^2 + 2x, si x < 2 x^3 − ax, si x ≥ 2

d) f (x) =

x^2 − 4 x − 2

, si x < 2 ax^2 − bx + 3, si 2 ≤ x < 3 2 x − a + b, si x ≥ 3

  1. Encuentre dos funciones f (x) y g(x) tales que l´ımx→ 0 (f (x) + g(x)) existe, pero no existe l´ımx→ 0 f (x), ni l´ımx→ 0 g(x)
  2. En los siguientes ejercicios aplique el Teorema de Compresi´on.

a) Si x^2 − a^2 ≤ f (x) ≤ x^3 − a^3 , para todo x ̸= a. Determine el l´ımx→a

f (x) x − a

b) Si x^2 − 1 ≤ f (x) ≤ x^4 − x^3 + x − 1, para todo x ̸= 1. Determine el l´ımx→ 1

f (x) x − 1

c) Si 2x − 1 ≤ f (x) ≤ x^2 − 2 x + 3, para todo x ̸= 2. Determine el l´ımx→ 2 f (x). d ) Si |f (x) − 1 | ≤ x^2 , para todo x ̸= 0. Determine el l´ımx→ 0 f (x).

  1. Dada la funci´on continua f : [0, 1] → [0, 1]. Demostrar que existe un n´umero c ∈ [0, 1] tal que f (c) = c.
  2. Problemas de aplicaci´on.

a) La cantidad de cierta medicina en la corriente sangu´ınea t horas despu´es de inyectada intramuscularmente est´a dada por la funci´on f (t) =

10 t t^2 + 1

Al pasar el tiempo, ¿cu´al es la cantidad l´ımite de la medicina en le sangre? b) En un experimento biol´ogico, la poblaci´on de una colonia de bacterias (en millones) despu´es de x d´ıas est´a dada por: y =

2 + 8e−^2 x

  1. ¿Cu´al es la poblaci´on inicial de la colonia?
  2. Resolviendo l´ımx→+∞, se obtiene informaci´on acerca de si la poblaci´on crece indefinidamente o tiende a estabilizarse en alg´un valor fijo. Deter- mine cu´al de estas situaciones ocurre.