Practica para calculo 2, Ejercicios de Cálculo

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FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CÁLCULO Il Geometría Analítica del Espacio La 'geometría analítica del espacio" es una rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma. La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la gcometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales. Llamamos cuerpos geométricos a las figuras que se han de representar en el espacio tridimensional. Los cuerpos geométricos ocupan siempre un espacio. Asimismo, los cuerpos que están huecos pueden albergar en su interior otros cuerpos (sólidos, líquidos o gaseosos) en una cantidad que recibe el nombre de capacidad. Existe una relación directa entre la capacidad de un cuerpo y el volumen que éste ocupa. 1.- Puntos. Vectores, Rectas y Planos.- En la aplicación de matemáticas a la fisica e ingeniería, frecuentemente estamos interesados en cantidades que posean magnitud, sentido y dirección; ejemplos de estas son fuerza, velocidad, aceleración, desplazamiento, etc., tales cantidades pueden ser representadas geométricamente por un segmento de recta dirigido. * La clase más simple de superficie es un plano, y veremos que la ecuación de un plano es una ecuación de primer grado en tres variables. 1. Se dan los puntos: A=(1, -2, -3), B=(2, -3, 0), C=(3, 1, -9) y D=(-1,1, -12), calcular la distancia entre: A y C;¡ByD;¡AyD;CyD : 2. Demostrar que los puntos Py = (-2,4,-3), Po = (4,-3,-2) y P3 = (-3,-2,4) son los vértices de un triángulo equilátero. 3. Demostrar que los puntos Py = (2,2,4), Pz = (10,2,-2) y P3 = (2,0,-4) son los vértices de un triángulo equilátero, + Demostrar que es isósceies el triángulo cuyos vértices son: A=(3, 1, 2): B=(0, +, 2) y C=1-3, 2,1). 3. Demostrar que los puntos P¡ = (3.-1,2), P2 = (0,-4,2) y Pz = (-3.2,1) son los vértices de un triángulo isósceles. 6. Demostrar que los puntos P, = (1,1,2), Pz = (5,8,5) y Pz = (2,4,12) son los vértices de un triángulo isósceles. M.Sc. Ing. Alex Bustillos 1 , Escaneado con Cam: /(24. Dados los vértices de un triángulo AL. - 1, -3), 7. Demostrar que los puntos P¡ = (1,-1,3), Pz = (2,1.7) y Py = (42,6) son los vértices de un iriángulo rectangulo. 8. Demostrar que los puntos Py = (3,-1.6). Pa = (-1,7.-2) y Py = (1.32) son los vértices de un triángulo rectángulo. 9. Hallare! valor de A si la distancia entre los puntos P, y Pz es 3 Y6. P= (1,2,3), P2=( 10. Hallar el perímetro del triángulo cuyos vértices son: A=(2, 3,2), Bú 3, 1,4)0= (11) Hallar la distancia del punto (3. -6, 5) a cada uno de los planos y ejes coordenados. 12 Hallar la distancia del punto (5. 4, -3) a cada uno de los planos y ejes coordenados. 3 Pa (1.7.4). 14. Uno de los extremos de un segmento de longitud 5 es el punto (3. 2. -1) si las coordenadas x. y. del otro 13. Hallar el punto medio entre P, (5, 2 extremo son 5, 3 respectivamente hallar la coordenada z. -3, 4, 8) sea igual a 12. 15. Hallar en el eje de abscisas un punto cuya distancia al punto + 16. Hallar en el eje de ordenadas un punto equidistante a los puntos A=(1; -3: 7); BA 5; 7; -5). 17. Dados los vértices de un triángulo A=(3,2, - 5), BA1, 4, 3) y CA(3, 0, 1). Hallar los puntos medios de sus lados. 18. Dividir el segmento que une los puntos P, (-3, 1, 4); Pz (5, - 2, +) en 3 partes iguales. Hallar los puntos. l, 19. Dividir el segmento que une los puntos Py (+4, 2); P2 (2, - 2, 1) en 4 partes iguales. Hallar ¡os puntos. 20. Dados los vértices de un triángulo A=(2. -1, 4), BA 3, 2, -6), C=(-5, 0. 2); calcular la longitud de la A. mediana trazada desde el vértice 21. Dados los puntos P, (5. -3. -1); P2 El, - 5,-2). Hallar la distancia entre Py y P, el punto medio entre P; y P», y la dirección del vector entre Py Pr 22. El centro de eravedad de una varilla homogénea está en el punto CI, - uno de sus extremos está en el punto A=(2, - 1, 7) averiguar las coordenadas del otro extremo de la varilla. n de sus 23. Dados dos vértices * -5), B El, 3, 2) del paralelogramo ABCD y el punto de intersece! diagonales E=(4, -1,, 7), calcular los otros dos vértices de este paralelogramo. 2. -6) calcular la lo bisectriz del ángulo externo del vértice ; Determinar las coordenadas de los extremos del segmento que es dividido en 3 partes suuales por ios 2.0. guntos: L 20:23) v D 26. El segmento de una recta limitada por los puntos A (-1. 8,3) y B (9, -7. -2) esia dividido en 3 partes jguales por los puntos €. D, E. E hallar las coordenadas de estos puntos. 27. Hallar los vértices del triángulo. cuyos puntos medios de sus lados son: (32,3% (1.1,5% (0,3.4). M.Sc. Ing. Alex Bustillos 2 Escaneado con Cam: sud 39.si a=(a,,a,,0,),b=(b,b,,b,))y O es el ángulo entre Gy bdemostrar que: 40. Hallar un vector D de módulo 3, de modo que sea colineal a 4 = (23,1) . h-4 41. Demostrar que: Á= » €s la fórmula para ballar el área de un triángulo. qu 9) p 42. Hallar los vectores Q y D tal que Pr 0y,a= (2,3,4) y Proy.b =(4,3,2), - qob- . Proy,a= b Sugerencia: B al E 1 43. Considere la siguiente grafica: € D Á B a) Si M es punto medio de BC, Mostrar que: AB+ 4C= 24M b) Si M y N son los puntos medios de AC y BD, mostrar que: AB+CD= 2MN 43. Considere el paralelogramo ABCD, con E a 2/3 del camino de A a F, y F el punto medio del segmento CD. Hallar EF en términos de AB y AC. M.Sc. Ing. Alex Bustillos Escaneado con Cam: 47. Una recta que pasa por dos puntos: Á=(-1. 6, 6), B=(3, - 6,). Hallar los puntos de intersección con los planos coordenados. 48. Hailar las Ecuaciones de la Recta (L) en el espacio, si L pasa por el punto P = (2, -3, 5) y es paralela al vector A = (Q,35,3) . 49. Hallar las ecuaciones de la Recta en el espacio, si L pasa por los punto: (-2,-3,5) y P(2,-3,-5). 50. Dadas las rectas: 2, :((1,-1,2)+1(22.0)/18R) y L, :(13,2)+(623)/4 € 5). hallar las ecuaciones de las bisectrices que forman L, y L,. 31. Hallar el ángulo formado por las rectas Li: (5. 2) +1(3,-6,9)/1 8 hy L (e, 1,7) +40.-3,4)/k e pl 52. Una recta pasa por el punto (1. 1, 1) y es paralela al vector 4 = (1,2,3) » Otra recta pasa por el punto (2, 1, 0) y es paralela al vector b= (6,81) - Si se intersectan hallar su punto de intersección. 33. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,1,-2) y es perpendicular y corta a la recta +1 Al Y _ -1 las dos rectas se corten en un punto. 54. - Hallar el valor de A para que 35. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1 >2,-3), es perpendicular al vector 4 = (6,2,3) y se corta con la recta L: 5 3 =5 36. Dadas las tros rectas: L, : (01,12) +(,2,0)/1 e M) La (22.0) +4(1, LIA eR] La (0,32) +5(5,0,2)/5 e) Hallar la ecuación de una recta gue corte a estas tres rectas £,. £,.£, en MN y P respectivamente de tal - MN = 37... allar el simétrico del punto (2.4,5) respecto a la recta: E: 57. Hallar la ccuación de una recta que pasa por el punto (7, 2, 9) y es perpendicular a las rectas: +4 L (20,3) +10,2,3) 11M) y L,: - M.Sc. Ing. Alex Bustillos ——_—_— Escaneado con Cam: e) Que pasa por las rectas £, (013,2) +1(3.-6,9)/1 e My Lo 2 .7)+40,3,4)/k ER] 4) Que pasa por el punto (3, 2, -7) y es paralelo al plano: 2x -3 y-53z+6=0 €) Que pasa por e! punto (l, -3,5) y es paralelo al plano: x+4z-3 =0 1) Que pasa por el origen y es paralelo al plano 5x-3y+2+6=0 2) Que pasa por el punto (3,-2.4) y es perpendicular a los planos 7x- 3y+2-3=0 , 4x—y -z+9=0 h) Que pasa por el punto (1,4, 2) y es perpendicular a los planos 2x+5y-2-12=0 y 4x-7y+3z+8 =0 1) Que pasa por los puntos (3,-5, 1D) (1.3.6) y (2.-7.8). 3) Que pasa por los puntos (-3,1,-1): (5,1,7) y (3,1,7). $8. Indicar la proposición falsa y justificar su respuesta: a) Dos planos perpendiculares a una misma recta son paralelos emtre sí. b) Sí una recta es paralela a una recta contenida en un plano. es paralela al plano. e) Si una recta es perpendicular a una recta contenida en un plano, todo plano que pasa por la primera es perpendicular al plano que contiene a la segunda. d) Si dos planos son perpendiculares, toda recta perpendicular a uno de ellos es paralela al otro. €) Dos rectas perpendiculares a un mismo plano, son perpendiculares entre sí. 69. Hallar la ecuación de un plano que pasa por el punto (5,1,7) y es perpendicular a la recta L:QA 1D +x(0,-3,4)/4 88). 70. Determinar cinco puntos que pertenezcan al plano P:—x+ y +22+15=0 71. Hallar el punto Q, que es simétrico a P=(1,-2.-8) respecto al plano que contiene a las rectas: » x=5+13 (x=2+13r Lily=ón VIER : Lidy=3+r VreR 3-4 2=-3-dr 72. Hallar la ecuación de un plano que pasa por dos rectas paralelas —L, Á(1,3.0) +4(3,1,2 ESA pen 2. LCD +A 73. Hallar la ecuación de un plano que pasa por el punto (4, 2-5) y por la recta Poix-y+22-2=0 M.Sc. Ing. Alex Bustillos 7 Escaneado con Cam: 76. Hailar la distancia del punto (-1.2,3) al plano piox+y +22 +15 0 77. Hallar la distancia del punto (3. -2,5) al plano P: sr+3y=4:+=0 78. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por la intersección de los planos 4, .20x+3+2=0 y P3x+sy+2+5=0 am=-a3. 31 79. Hallar la ecuación de un plane que pasa por dos rectas paralelas L, ¿(0,-3.0)+13.0.0)/1 5%; 2-3 —-3 80. Hallar la ecuación de un plano que pasa por dos rectas E: IS x). -1) y B=Q, 1. 3) y que además es 81. Hallar una ecuación del plano que pasa por los puntos A=(1. 0, air+yor+2=0 0 y los puntos AL3, 3.-1), B=(-5 uadrado en P, hallar los otros dos puntos. de un cuadrado en P, hallar los otros dos puntos. perpendicular al plano ,-5,-2) sobre este plano. =-1= 82. Considere el plano P: x-2y+2: a) SIA y B son puntos consecutivos de un € b) SIA y B son puntos extremos de la diagonal 33. Hallar el simétrico de (2. 1.3) respecto al plano 7:x+Y=2 +2=0 84. Hallar el ángulo entre los planos K :2+3y+42=11y 2 :3x-y+2:=13 .contrar la intersección de los planos: 85, En ?=((0,1,2)+1(11. 1) +r(2,1,0)/0,7 8) P ((1,1.2)+£(1,0,2)+2(0.1,1)/4,4 63 2) y (2,3,6) que además sea paralela a la recta que pasa por 86. Hallar la ecuación del plano que pasa por (1,0, (0.34) y 61,65. 37. Hallar la ecuación del plano que pasa por A=(1,1,1) y que contiene ala recta: pan qy=3-1 lla ¡1=4+2 33. Hailar un plano que pase por el punto: y la recta: LAO LD rl 1) 1) M.Sc. ing. Atex Bustillos Escaneado con Cam: )x+2y%-1=0 4, Hallar las ecuaciones de la esfera que cumplen las siguientes condiciones. 1) Diámetro entre: P, = (6,2,-5), Pz =(-4,0.7) b) Pasa por: P¡ = (1,3,2), Pa =(3, 2,-5), P3= 10.1,0), Py = (0,0.0) y3_z 6 7 d) Centro en (-4,2,3) y tangente al plano: 2x - y 22+7=0 £) Centro en (3,4,4) y tangente a: 5. Hallar el centro y el radio de las siguientes esferas: a) +y +22 —dx—6y-102+37=0 py +7 —8x-2y-47-15=0 d)iry+?—-2x-4y-62+15=0 6. Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera: x? + y? +2? =49 en el punto P= (6,-3,-2) 7. Hallar la ecuación de la esfera con centro en el punto (2,-1,3) y radio 4 y la ecuación de la esfera con centro enel punto (-12.4) y radio 3 $. Hailar la ecuación de la esfera con un diámetro determinado por los punto (6,-2,-5) y (4,0,7) 9. Hallar las coordenadas del centro y el radio de la esfera: +? +2 —-2r+4y-62+8=0 10. Hallar las coordenadas deí centro y el radio de la esfera: Y +17 +2*-6x+2y-22+18=0 11. Estudiar y representar el hiperboloide de una hoja: = e - yoz 12. Estudiar y representar el hiperboloide de dos hojas: E. =1 13. Hallar el vértice del paraboloide: 2x* +3y' -8x+12y+32+23=0 14. Estudiar y representar los conos siguientes: a+ by 0 +2y -Ux+3) =0 -¡Uv-4y =0 cx 13. estudiar y eraficar los siguientes cilindros: 16. Graficar las siguientes superficies: a) +y -43=0 | M.Sc. Ing. Alex Bustillos 10 Escaneado con Cam: b) iy 22% 42x=1 YA Elipsoide Hiperboloide de una hoja Hiperboloide de dos hojas Cono elíptico e) Ninguno El. Coordenadas Cilíndricas y Esféricas.- Junto a las ecordenadas cartesianas, es de gran importancia poder utilizar coordenadas que sean las más adecuadas para el problema que se desea estudiar. La conveniencia de un tipo de coordenadas sobre otro viene dictada, naturalmente, por la geometría del problema. Consideramos que nuestro sistema de coordenadas fundamental son las coordenadas cartesianas, por lo cual, cualquier otro sistema lo definiremos por sus relaciones con éste. Existen varios sistemas que son convenientes para distintas aplicaciones, siendo los sistemas esféricos y cilíndricos los más utilizados por nosotros (hay muchos otros, que no mencionaremos). ntes curvas en coordenadas polares Dr=-l-cosó 1D) +=1+2sendb m) r=2+sen0 n) r=4+3sen0 M.Sc. Ing. Alex Bustiños Escaneado con Cam: FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CÁLCULO UI Febrero, 2012 Funciones Vectoriales de una Variable Real.- L Graficar las siguientes curvas: HO =ei+ti+e"k 2 FO) =ti+ 2 j+5P k 3.- 110) =costi + coséj +tk de 170) =2costi+ 2sent j +tk 5. ZO) =costi+ sent j 6. /(0) = (£c08!,tsent,) 1. HO =(4,6) x+y-l+z=0 8-72 *+y=4 9. F()=e"(cos2xt,sen2t) 10. J(0)=(14+2,7 +1) 11. Calcular los siguientes límites si existen: A Za OM POSÓ 1.- Um f(1) donde M1) = TE a) 23 1-3 1-3 5 E sent cost—1 - lim f(t ==, 2 FC donde H(1) ; 2 cost—yl-1 P 7 1 "1-cos* 1 1-1 3.- lim A) donde F (1) =( M.Sc. Ing. Alex Bustillos 13 Escaneado con Cam: > e el sen3t-sent sent mf donas HO =( ; > +. lim ) donde F (1) Ven?! — sent ÍnQ—+) ? 1 A = e'—1 tcost—sent sen8t 5.- lim 7(0 donde FO= > E “5 ) 1+sent sen3t—sent sen2t i-sent” Int+1) 'ini+1) 6. lim 4(0) donde H)=( Pto, 1. lim (0) donde FU) = (e, oz =, 3 tanmht£ In(ser21), - lim f() (0 =( ES E Bo (0 donde Al NS t In(sent) oz - let lt Pase +11 9.- lim F(2) donde PO o > 10.- lim F (1) donde H(1)= E 11.- Hallar la derivada de las funciones vectoriales de variable real de yH TV. Hallar la longitud de arco de las curvas que se indican y en el dominio que se da. 1- A) =costi+sentj+ik; ; e [0,277] 2. 7 (0) =costi+sentj+Pk : re[02a] GF a 2: 3 MO =34 +1 j+5k ; re[Ls] 4. 1) =e cosri+esenjrek : ¡210.5 3 Hb) = Ecos íi ersenti+ te í 6. J(1) =3costi+3sentj+4tk 10502] 7.- /(1)= (sent, sen21,21n(cos£)) aer E M.Sc. Ing. Alex Bustillos Escaneado con Cam: IL Calcular los siguientes limites si existen: * Xx 1 lim RISA) Y . y 2- lim e (9)>0,1n 2) . e*senx 4 lim 42 a, x +4 y? s- $ Seny >= , x . 2 6- lim ==, 6541) 1 —= yO o yy - lim AZ ? Eso 174 y? s- lin - 12 , 00200) 1 + y +11 o. lim xy cos(x—2y) CADA) 31 1 4 19- 11m muay O Y 112. Mediante la definición, calcular la derivada de las sí > y) 2 =-Tx + l- Tr en (9.6.0) 3 May) =x y? —cosx. en (a,b) d- /(5y)=xy* +In(xp), en (x, y) 5 fx y)= Xy +Cos(xy). en (x, y) M.Sc. Ing. Alex Bustillos guientes funciones en el punto indicado. 16 Escaneado con Cam: 1V. Hallar la primera derivada parcial de las siguientes funciones: f(x, y)= e" 2.- f(x. y)= xÍny-yinx 3 (xy) = 1" + fr 7 3 +y +2 5.- f(x, y,2)= oz +1) 6- Fx, y)= xe"> 7 f(5y)= In + y? + 19) » Y evaluar en el punto (12) 8.- f(x, y)= seny+ yx nx? 9. (Ay) =e% 4 pá» 2 4 x+y FE 10. H y +4 y mn Fx, yp,2)=e 9" y put xy +2x+ yz D- /(y)=Inx+ In(e* +y*) 13.- fe y) = y)» 14. F(5,y,2)=xyz + xye” 15.- f(x, y, 2) = nt xy + cos(xyz) 16.- Hallar la primera diferencial de los enunciados 1 al 15, aicular la der ireccional en dirección del vector indicado. L- f(0y)=x y? —cosx. y= (3/5,4/5) 2.- f(x,y,2)=39* +In(x2), y =(0,1,1)/42 3.- /(%,y,2) =x2 +cos(xy), y = (1,1,0)//2 M.Sc. Ing. Alex Bustillos 7 nn Escaneado con Cam: VIKL Resolver: 1.- Hallar la derivada de la función f(x,y)=x*-—xy-2y? en el punto P = (1,2) y en la dirección que va desde este punto al punto N = (4.6) 2.- Sean los puntos A=(1,1) , B=(4,5) , C=(5,4). Hallar la derivada direccional de la función fOy= xs 2/2y+ 5 en la dirección de la bisectriz del ángulo BÁC en A. 3.- Sea f(x, y,2) =100(8” +1n2). haltar la derivada direccional de £ en la dirección a =(2,0,1) 412 xy 4.- Hallar la derivada direccional de la función y) = es => Dy €” en (0,1); y en la dirección (-1,3). 5.- Hallar la derivada direccional de la función f(x. y,2) = XV +2 +7 en el punto (1.1,1) y en la dirección del vector Y —= Q,L—D. 6.- Hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie: 4+y?-l6z=0 en el punto (2, 4, 2) 7.- Mallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie: 04 217 =0 enel punto (4, 4, 1). 8.- Encontrar la ecuación del plano tangente a la superficie definida por: X= U4COSV, y =Usenv, ñ 7 =2u,en el punto en que u=1, v= 9.- Hallar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie en el punto dado: 2 2 de] > O el punto (3,4,-7) 10.- Hallar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie en el punto dado: 7=6 enel punto (3.2.1) del plano tangente y de la recta normal a la superficie en el punto dado: n el punto (1, 1.2) a 12.- Hallar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie dada en el punto = Xy, en (3,-4,-12). propuesto: 13.- HalJar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie en el punto dado: M.Sc. Ing. Alex Bustillos 19 / Escaneado con Cam: o Y uo” 14.- Hallar la ecuación de la recta normal y el plano tangente a: X2 + p% +22 =4 > ES en (4, 1, D. : 15.- Millar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie: Z2= 0 3 3 3 en el punto (-2,-4,6) 16.- Determinar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie: 2 2 | 23= 14 + 9%) en (0,1). | 17.- La temperatura en un punto (x, y) del plano XY está dado por T(x, y) = + y | a) Hallar la derivada direccional en el punto (2,1) en una dirección que forma un ángulo de 60% con el eje positivo de las x. b) ¿En que dirección a partir de (2,1) será máxima la derivada, 18.- La temperatura en un punto (x, y) de una placa metálica en el plano XY es ER grados Celsius. “+ y +1 a) Encontrar la razón de cambio de la temperatura en (1,1) en la dirección de v ==] b) Una hormiga que está en (1,1) quiere caminar en la dirección en la que la temperatura disminuya con mayor rapidez. Hallar un vector unitario en esa dirección. Derivada Implícita.- LoS +2 dae =2, Calcular: 2, Oz 2.-Si: 32 ay 220 +3y2=5, Calcular: > Dz Oz 2 43? =3x37, Calcular: + y +2 =31) o y E M.Sc. Ing. Alex Bustillos "e 2 q 0 y E ca el punto (2,3,6) 7 dy ESUdIIEdUU TUI Calm