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Matemática Discreta Práctica #1- Elementos de Lógica Estudiante María Angélica Díaz Actividades
- Escriba una negación informal para cada uno de los siguientes enunciados: (4,5 p.116) Enunciados Negación informal Todos los perros son amigables Existe al menos un perro que no es amigable Todas las personas son felices Existe al menos una persona que no es feliz Algunas sospechas eran fundadas Ninguna sospecha fue fundada Algunas estimaciones son exactas Ninguna estimación es exacta Cualquier argumento válido tiene una conclusión verdadera Existe algún argumento válido que no tiene una conclusión verdadera Cada número real es positivo, negativo o cero Existe algún número real que no es positivo, negativo o cero Los conjuntos A y B tienen algún punto en común Los conjuntos A y B no tienen un punto en común.
- Reescriba los siguientes enunciados en forma de dos enunciados si-entonces. a) Los Cachorros van a ganar el campeonato solo si ganan el juego de mañana Si ganan el jugo de mañana entonces los Cachorros van a ganar el campeonato. b) Sam podrá participar en la carrera solo si prueba ser un navegante experto Si Sam prueba ser un navegante experto, entonces podrá participar en la carrera. c) Tomar el autobús a las 8 es una condición suficiente para que llegue a tiempo a clase Si tomas el autobús a las 8 entonces llegarás a tiempo a clase. d) Ser divisible entre 3 es una condición necesaria para que un número sea divisible entre 9 Si un número es divisible entre 9 entonces también es divisible entre 3. e) Una condición suficiente para que el equipo gane el campeonato es que gane el resto Si el equipo gana el resto del juego entonces ganaran el campeonato.
3. Formalice las siguientes proposiciones: i. No es cierto que viese la película y leyese novela.
( p ∧ q )
Donde: p: ver la película q: leer novela ii. Vi la película aunque no leí la novela.
p q
Donde: p: ver la película q: leer la novela iii. Está lloviendo y nevando o bien está soplando el viento.
( p ⋀ q ) ⋁ r
Donde: p: está lloviendo q: está nevando r: está soplando el viento iv. Si no estuvieras loca no habrías venido aquí
p → q
Donde: p: estar loca q: venir aquí v. Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos.
p →q
Donde: p: los gatos de mi hermana sueltan pelo q: acariciar gatos vi. Estás seguro y lo que dices es cierto o mientes como un bellaco.
( p ⋀ q ) ⋁ r
Donde: p: estar seguro q: decir la verdad r: mentir como un bellaco vii. Solo y solo si viera un marciano creería en los extraterrestres.
p →q
Donde: p: ver un marciano
xiii. Si los elefantes volaran o tocaran el acordeón pensaría que estoy loco y dejaría que me internaran en un psiquiátrico.
(p ⋁ q) → (s ∧ r)
Donde: p: los elefantes volaran q: tocaran el acordeón pensaría que estoy loco r: dejaría que me internaran en un psiquiátrico xiv. Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada solo si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar.
(r ∧ ~ s) →^ (p ∨^ q)
Donde: p: prefiero ir de vacaciones q: estar sin hacer nada r: tengo tiempo para ello s: tengo que ir a trabajar xv. Pili no irá a la fiesta a menos que vaya Mili, y si Mili va a la fiesta no irán ni Marisol ni Joselito.
(q → p) ∧ [q → (~r ∧ ~s)]
Donde: p: Pili irá a la fiesta q: Mili va a la fiesta r: Marisol irá a la fiesta s: Joselito irá a la fiesta
4. Formalice el siguiente argumento: Todo número entero o es primo o es compuesto. Si es compuesto, es un producto de factores primos, y si es un producto de factores primos, entonces es divisible por ellos. Pero si un número entero es primo, no es compuesto, aunque es divisible por sí mismo y por la unidad, y consiguientemente, también divisible por números primos. Por tanto, todo número entero es divisible por números primos. p: es un número entero t: es divisible por números primos q: es un número primo r: no es compuesto r: es compuesto u: es divisible por sí mismo s: es un producto de factores primos v: por la unidad
{ [ p^ →^ (^ q^ ∨r^ )^ ] ∧ [ ( r^ ⟶^ s )^ ∧ ( s^ ⟶^ m )] ∧ { [(^ p⟶^ q )^ ∧^ r^ ] ∧ [ ( u^ ∧v^ ) ∧^ t^ ]} }
5. Ordene las premisas de manera lógica y establezca la conclusión a la que se puede llegar: 1. No hay pájaros, excepto avestruces, que son al menos de 9 pies de altura Los avestruces son los únicos pájaros que miden al menos 9 pies de altura. 2. No hay pájaros en la pajarera que pertenezcan a nadie más que a mi Todas mis aves miden al menos 9 pies de altura. 3. Ningún avestruz vive de pastelillos de fruta No todos los avestruces viven de pastelillos de frutas. 4. No tengo aves de menos de 9 pies de altura Yo solo tengo avestruces. Ordenado:
- Los avestruces son los únicos pájaros que miden al menos 9 pies de altura.
- Todas mis aves miden al menos 9 pies de altura.
- Yo solo tengo avestruces.
- No todos los avestruces viven de pastelillos de frutas. Conclusión: no puedo alimentar a mis aves con pastelillos de frutas. 6. Probar las leyes de Morgan usando diagramas de Venn. Las leyes de Morgan:
1. ( p ∧q )= p ∨ q
2. ( p ∨q )= p ∧ q
p q
q
q
q
p
p q p
p
El razonamiento es una falacia porque se aplicó mal el Modus Ponens. b) Todos los estudiantes de primer año deben tomar escritura Carolina es una estudiante de primer año Carolina debe tomar escritura p: Todos los estudiantes del primer año q: deben tomar escritura
p →q
p
∴ q
Razonamiento correcto (Modeus Ponens) c) Todas las personas sanas comen una manzana al día Herbert no es una persona sana Herbert no come una manzana al día p: Todas las personas sanas q: comen una manzana al día
p →q
p
∴ q
El razonamiento es una falacia porque no se usó directamente el Modeus tollens. d) Si un número es par, entonces el doble de ese número es par El número 2n es par, para un número n dado El número dado n, es par p: un número es par q: el doble de ese número es par r: el número n dado
p →q
p →q
∴ r →q
Razonamiento inválido porque no se aplicó correctamente de la transitividad. e) Todas las personas son ratones Todos los ratones son mortales p: ser una persona q: ser un ratón r: ser mortal
p → q
q →
∴ p → r
El razonamiento es valido por transitividad.
f) Todos los maestros, a veces cometen errores Los dioses nunca cometen errores Los maestros no son dioses p: ser maestro q: cometer errores r: ser un dios
1. p → q
2. r → q
∴ p → r
3.q → r tollens (2)
4. p → r transitividad (1, 3)
9. Razone si los siguientes enunciados son ciertos y por qué: a) Todas las brujas tienen un gato negro Mi vecina tiene un gato negro Mi vecina es una bruja p: ser bruja q: tener un gato negro
p → q
∴ p
No es válido, es una falacia. b) Si el precio de las acciones sube te harás rico El precio de las acciones no subió Por tanto, no te harás rico p: subir el precio de las acciones q: hacerse rico
p → q
p
∴ q
Es una falacia No es cierto por la regla de tollens. c) Si sales te mojarás No te has mojado Por tanto, no has salido
7. d (Tolles 3, 6)
8. d ∧ s (5,7)
12. Pruebe lo siguiente detallando las reglas de inferencia utilizadas: a) [(p → (q → r)) ∧ (p ∨ s) ∧ (t → q) ∧ ¬s] → [¬r → ¬t] 1. (p → (q → r) 2. (p ∨ s) 3. (t → q) 4. ¬ s
∴ ¬r →¬ t
- p (Eliminación 2,4)
- q → r (Modo de afirmación 1,5)
- t → q (Transitividad 3,6)
8. ¬ r → ¬t (Modo de negación)
b) [(p → q) ∧ (r → s) ∧ ((q ∧ s) → t) ∧ ¬t] → [¬r ∨ ¬p]
- (p → q)
- (r → s)
- (q ∧ s) → t
- ¬t
∴ ¬r ∨ ¬p
5. ¬ (q ∧ s) por (Modo de negación 3, 4)
- ¬ q ∨ ¬ p (Dilema destructivo 1, 2, 6)
- ¬ r ∨ ¬ p (Dilema destructivo 1, 2, 6) c) [(p ∨ (q ∨ r)) ∧ ((q → s) ∧ (r → t)) ∧ ((s ∨ t) → (p ∨ r)) ∧ ¬p] → [r]
- p ∨ (q ∨ r)
- (q → s) ∧ (r → t))
- (s ∨ t) → (p ∨ r)
- ¬ p
∴ r
- q ∨ r (Silogismo disyuntivo / eliminación 1, 6)
- s ∨ t (Dilema constructivo 2, 5)
- p ∨ r (Modo de afirmación 3, 6)
- r (Eliminación 7, 4)
- Después de ver el siguiente video, escribir una tabla de la verdad para justificar que la negación del antecedente no implica la negación del consecuente. 14.
p →q = p → q
p q p q p → q p → q
V V F F V V
V F F V F V
F V V F V F
F F V V V V
p → q
p
∴ q
∴ La negacióndel antecedente noimplica la negoción del consecuente.
15. Escriba la tabla de la verdad para p ∧ (q ∧ r) (14 p.37) p q r (^) q ∧ r p ∧ (q ∧ r) V V V V V V V F F F V F V F F V F F F F F V V V F F V F F F F F V F F F F F F F 16. ¿Son p ∨ (p ∧ q) y p lógicamente equivalentes? (16 p.37) p q (^) p ∧ q p ∨ (p ∧ q) V V V V V F F V F V F F F F F F Sí, p ∨ (p ∧ q) y p son lógicamente equivalentes. 17. Construya tablas de la verdad para las siguientes formas de enunciado (5, p.49) a) p ∨ q → q p q (^) p ∨ q p ∨ q → q
El argumento de b) es inválido. Si el bate cuesta un dólar más que la pelota y juntos suman 1.10. ¿Cuánto cuesta la pelota? La pelota cuesta $0.
19. ¿En qué número está el vehículo aparcado? Si giramos la imagen podríamos notar que los números del parqueo siguen una secuencia de manera ascendendente, es por esta razon que concluyo que el auto está estacionado en el número 87. . 20. Si ayer fuera mañana, hoy sería viernes, ¿qué día es hoy? La respuesta es domingo, porque “ayer” sería sábado y si el ayer fuese “mañana”, por lo que entonces “mañana” también sería sábado y si mañana es sábado, “hoy” sería viernes. 21. En un lago hay un área ocupada por nenúfares. Cada día esa área del lago dobla su tamaño. Si tarda 48 días en llenar el lago, cuánto tarda en llenar la mitad? Cómo el área del lago dobla su tamaño cada día y éste tarda 48 días para llenarse, entonces deberíamos quitarle un día que se llene la mitad del lago. En conclusión, el lago se toma 47 días para llenarse hasta la mitad. 22. Si a 5 máquinas les toma 5 minutos fabricar 5 objetos. Cuanto tiempo tomará a 100 máquinas fabricar 100 objetos?
5 minutos, debido a que si 5 máquinas se toman este tiempo para producir 5 objetos, entonces con 100 máquinas se tardarían el mismo tiempo para fabricar 100 objetos.
23. Calcular la distancia que falta sin usar números decimales: Utilizamos la fórmula del área de un rectángulo:
A = b ∙ h
Se puede observar en la figura que está compuesta por dos rectángulos.
El rectángulo 1: x cm ∙ 4 cm + altura del rectángulo no. 2 = 36 cm^2
El rectángulo 2: 5 cm ∙ y cm = 16 cm^2
Como ya tenemos el área y la base del rectángulo 2, procedemos a despejar a h para identificar su altura.
A = b ∙ h
h =
A
b
h =
h =
cm
Como ya obtuvimos la altura de rectángulo no. 2, sustituimos en el área del rectángulo no. 1 para así encontrar la base. La altura del rectángulo no. 1: 2cm + altura del rect. no. 2 = 4 cm +
cm =
cm
Buscamos la base aplicando la fórmula anterior (A = b ∙ h) y despejando a b
b =
b = 5 cm 4 cm 5 cm
26. Albert y Bernard preguntan a Cheryl cuándo es su cumpleaños, pero ella tiene un día enigmático, así que, en vez de responderles como lo haría cualquiera, decide intrigarles y darles una lista con diez posibles fechas: 15 de mayo, 16 de mayo, 19 de mayo, 17 de junio, 18 de junio, 14 de julio, 16 de julio, 14 de agosto, 15 de agosto, 17 de agosto. Después, Cheryl les dice por separado a Albert y Bernard el mes y el día, respectivamente. Entonces Albert señala: “No sé cuándo es el cumpleaños de Cheryl, pero sé que Bernard tampoco lo sabe”. A lo que Bernard responde: “Al principio no sabía cuándo era el cumpleaños de Cheryl, pero ahora ya lo sé”. Albert reflexiona y concluye: “Entonces yo también sé cuándo es su cumpleaños”. Así que, ¿cuándo es el cumpleaños de Cheryl? Albert afirma que sabe el mes y Bernard el día. En su primera afirmación, Albert está seguro de que Bernard no sabe cuándo es el cumpleaños, lo que le permite descartar los meses de mayo o junio, ya que Bernard sabe el día y los únicos números que no se repiten en las fechas posibles son el 19 y el 18. Con mayo y junio se descarta, ahora Bernard dice que él sí sabe cuándo es el cumpleaños. Esto desecha una fecha que lleve el 14, porque aparece dos veces, el 14 de julio y el 14 de agosto. Entonces las fechas posibles son el 16 de julio, 15 de agosto, y 17 de agosto. Luego Albert dice que si Bernard sabe, él también lo sabe. Entonces si ambos están seguros no puede ser en agosto porque podría ser el 15 o el 17. Por lo tanto, el cumpleaños de Cheryl es el 16 de julio. 27. Trate de resolver el problema de los misioneros y los caníbales utilizando alguna estructura gráfica o matemática adecuada que permita listar los pasos necesarios. Viajeros Viaje 2 caníbales 1 (ida) 1 caníbal 2 (vuelta) 2 caníbales 3 (ida) 1 caníbal 4 (vuelta) 2 misioneros 5 (ida)
1 caníbal, 1 misionero 6 (vuelta) 2 misioneros 7 (ida) 1 caníbal 8 (vuelta) 2 caníbales 9 (ida) 1 caníbal 10 (vuelta) 2 caníbales 11 (ida) Actividad 28: Disonar una estructura de puertas lógicas que implementen la operación S = abc + ¯d.
