Matemática Discreta y Lógica Matemática
Hoja 3 de ejercicios.
Facultad de Informática.
1. Demuestra que si c|ayc|b, entonces c|(m∗a+n∗b), cualquiera que sean m, n ∈Z.
2. Observa que si dos enteros a, b verifican ab = 1, entonces o bien a=b= 1 o bien a=b=−1.
Deduce de esto que si m, n son enteros tales que m|nyn|m, entonces m=nóm=−n.
3. Demuestra que si existen enteros x, y tales que ax +by = 1 entonces mcd(a, b) = 1.
4. Sean a, b > 0yd=mcd(a, b). Demuestra que la ecuación ax +by =c(donde ces una constante
entera) tiene solución entera para x, y si y sólo si d|c.
5. Probar que c|ab implica c|(mcd(a, c)∗mcd(b, c)).
6. Demuestra que si n≥2ynno es primo, entonces debe existir un primo ptal que p|nyp2≤n.
7. Usa el resultado del ejercicio 6 para demostrar que si 467 no fuese primo, tendría un divisor primo
p≤19. Deduce que 467 es primo.
Ejercicios Opcionales
8. Usa el principio de inducción para demostrar que para todo nnatural
a)n2+ 3nes múltiplo de 2
b)n3+ 3n2+ 2nes múltiplo de 6
9. Calcula el mcd de 1776 y1492 y exprésalo en la forma 1776m+ 1492n, con m,n ∈Z.
10. Demuestra que si m, n, k son enteros que verifican m≥2,n≥2ym2=k n2, entonces kdebe ser el
cuadrado de un entero.
11. Supongamos a, b > 0cuyas descomposiciones en factores primos puedan escribirse como
a=pk1
1pk2
2···pkr
rb=pl1
1pl2
2···plr
r
donde p1,...,prson distintos dos a dos y para todo 1≤i≤r:ki≥0, li≥0, ki+li>0. Sean dy
mdefinidos como sigue:
d=pu1
1pu2
2···pur
rm=pv1
1pv2
2···pvr
r
donde ui= min(ki, li)yvi= max(ki, li)para todo 1≤i≤r.
Demuestra que d=mcd(a, b)ym=mcm(a, b). Donde mcm(a, b)es el mínimo común múltiplo de
ayb, y se define como el mínimo múltiplo común de aybque es divisor de todos los múltiplos
comunes.
Concluye que se verifica la siguiente igualdad:
mcd(a, b)∗mcm(a, b) = a∗b