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MATRICES
A continuación se presenta un problema sencillo que puedes resolverlo fácilmente.
Una estudiante de ingeniería en Iindustria de la UCV desea montar un negocio de Yogurt
pero debido a la competencia, ella quiere surtir su producto de modo que elabora yogurt
orientado a los niños en envases de 250 ml, 500ml y un litro para el público adulto. Además
quiere incluir estiquerts de personajes de la Tv. De la serie Mil Oficios, Chavo del ocho, Grupo
de Rock. Ella quiere elaborar un cuadro que resuma toda esta información podrías ayudarla?
Se presenta un cuadro tentativo recuerda que tú puedes elaborar diferentes cuadros
personajes
Capacidad
Chavo
del ocho
Grupo
De
Rock
Serie
mil
oficios
Chico (250cc) X
Mediano(500cc) (^) X
Grande(1litro) (^) X
I Definición.- Es un arreglo rectangular de números reales, ordenados en filas i y columnas j.
Ejemplo:
20 1 3
6 7 13
2 4 1 A
Ejemplo
Juan tiene una tienda “El Romántico” en el centro de Chimbote de ventas de tarjetas, CDs, y
casettes. Y otra tienda en nuevo chimbote llamada “The Player” también de ventas de los
mismos artículos. Si en la primera tienda vende en un día 10 tarjetas, 5 CDs y ningún casettes,
y en la tienda de Chimbote vende 20 tarjetas, 15 CDs y 10 casettes, Juan, como confía en ti,
pues eres un estudiante muy hábil te pide que elabores un cuadro para la primera tienda y otro
para la segunda tienda y otro cuadro en el cual se tenga la información completa de la venta
de ese día de las dos tiendas.¿Cómo lo harías?.
filas
columnas
II. Notación.- Las matrices se denotan con letras mayúsculas A, B, C, etc. Las filas aij se
encierran entre corchetes o paréntesis.
Ejemplo :
ij
n n mn
n
n
a
a a a
a a a
a a a
A
...
.......... ..........
.....................
...
...
1 2
21 22 2
11 12 1
III. Orden de una matriz.- El orden de una matriz está dado por el producto indicado mxn,
donde m indica el número de filas y n el número de columnas.
Ejemplo:
2 4 22 3 8
5 6
2 3 7 8
15 3 6
x x
A B
Se lee: la matriz A formado por dos filas y cuatro columnas.
La matriz B formado por dos filas y dos columnas.
IV. Igualdad de matrices .- Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y sus elementos
son respectivamente iguales.
Ejemplo:
2 x 2 2 x 2 c d
a b B z w
x y A
A = B ^ x^ a , y b , z c , w d
V. Tipos de matrices
- Matriz nula : una matriz recibe este nombre si todas sus filas y columnas y filas son
ceros.
Ejemplo:
33
(^2 )
0 0 0
0 00
000
000
x
x
A B
^
2. Matriz rectangular : Es aquella matriz de orden mxn, donde m n.
y primera columna
a selee , segunda fila 21
Ejemplo:
0 0 4
0 2 0
3 0 0 N
- Matriz escalar. La matriz escalar es una matriz diagonal en el cual todos sus
elementos son iguales.
Ejemplo:
0 0 3
0 3 0
3 0 0 A
- Matriz identidad: Es una matriz diagonal cuyas diagonales principales son 1.
Ejemplo:
^
0 0 1
0 1 0
1 0 0
01
1 0 A B
- Matriz triangular superior: La matriz cuadrada A cuyos elementos situados debajo de la
diagonal principal son todos ceros, es llamada matriz triangular superior, esto es aij = 0
si i > j.
Ejemplo
0 0 5
0 1 4
3 5 3 A
- Matriz triangular inferior. Es una matriz cuadrada cuyos elementos situados sobre la
diagonal superior son todos ceros, esto es aij = 0 si i < j
Ejemplo
1 2 1
5 1 0
1 0 0 B
VIII. Transpuesta de una matriz. La transpuesta de una matriz Amxn, es una matriz que resulta
de cambiar las filas por columnas, y las columnas por filas de la matriz A resultando una
matriz de orden nxm. Se denota como A
t .
Ejemplo:
Si
3 2 4
1 5 0
0 4
5 2
1 3 t A A
Ejemplo:
Si
1 0 2
3 5 6 N hallar A
t (para el lector)
IX. Operaciones:
1.Suma. Dados dos matrices A y B de igual orden, se llama suma de A y B a otra matriz C
que resulta de sumar todos sus elementos uno a uno respetando el orden de sus
elementos.
Ejemplo:
Dadas las matrices (^)
3 4
2 1
5 1
3 2 A yB hallar A+B
Solución
A B
3 4
21
5 1
3 2
8 3
1 3
5 3 1 4
3 ( 2 ) 2 1
8 3
1 3 A B
Ejemplo:
Dadas las matrices
2 0 8
5 2 1
53 1
1 59 A yB Hallar A + B.
Solución (para el lector)
2.Resta. La resta se procede en forma análoga que la suma; la diferencia radica en que
la operación que se va a realizar es la resta.
Ejemplo:
Dadas dos matrices A y B (^)
3 4
2 1
5 1
3 2 A yB hallar A – B
9 6 3
15 6 12
3332 31
35 32 3 ( 4 ) 3 x x x
x x x B
- Producto de matrices: El producto de dos matrices es posible si estos son
conformables respecto a la multiplicación es decir, si el número de columnas de la
primera es igual al número de filas de la segunda, esto es, si la matriz A es de orden
mxn ( Amxn) la matriz B tendrá que ser de orden nxp ( Bnxp) (^) , resultando una matriz C de
orden mxp El producto de sus elementos se hacen de filas por columnas.
Amxn Bnxp = Cmxp
Ejemplo:
Hallar A x B si se tiene que (^)
0 2
1 4
1 1
2 3 A yB
Solución
02
1 4
1 1
2 3 A B Para el elemento a 11 = 2x1 + 3x0 = 2
02
1 4
1 1
2 3 A B Para el elemento a 12 = 2x4 + 3x2 = 14
02
1 4
1 1
2 3 A B Para el elemento a 21 = 1x1 + -1x0 = 1
02
1 4
1 1
2 3 A B Para el elemento a 22 = 1x4 + -1x2 = 2
1 2
214
02
1 4
1 1
2 3 AxB x
Observació
n
Para un producto de matrices conformables de cualquier orden se sigue el mismo
procedimiento
Ejemplo:
Hallar el producto de las siguientes matrices:
32
(^2 )
1 1
2 4
2 0 1
1 32
x
x
A y B
^
Solución (para el lector)
Ejemplo
Se plantea el siguiente problema similar pero algo mas compleja que el primer ejemplo Juan
tiene dos tiendas: “El Romántico” ubicado en el centro de Chimbote dedicado a ventas de
tarjetas, CDs, y casettes de buena y baja calidad de cada uno de los artículos; y tiene otra
tienda en Nuevo Chimbote también de ventas de los mismos artículos y de las mismas
calidades llamada “The Player”. Si el precio de los artículos de buena calidad son 2, 20 y 12
soles respectivamente, y de baja calidad son de 1, 5, y 4 soles respectivamente y en la
segunda tienda los precios son de 1.7, 18 y 10 soles de buena calidad respectivamente, y 0.9,
4 y 4 soles de baja calidad.
a) Haga un cuadro para cada tienda que represente todos los datos y represente su matriz
asociada.
b) ¿Cuánto recibirá por cada artículo vendido de buena calidad y baja calidad? (considere
las tiendas por separado y en forma matricial)
c) ¿Cuál es la diferencia de precio de cada artículo con respecto a la tienda el “Romántico”
y la segunda tienda?
d) Si un día Juan vende en la tienda el “Romántico” 8 tarjetas 4” 8 tarjetas, 4 CDs y 7
casettes de buena calidad y 6 tarjetas 5 CDs y 2 casettes de mala calidad y en la tienda
“The Palyer” vende 6 tarjetas, 2 CDs y 1 casettes de buena calidad, además 3 tarjetas,
_ =
32 a (^) = 0 Indica que no hay diferencia entre los precios de los CDs en ambas tiendas.
12 a (^) = 0.10 Indica que una tarjeta en la tienda “El Romántico” cuesta 0.10 céntimos más que la
tienda “The Player”.
d) Identifiquemos las matrices de cantidades vendidas y la matriz de buena calidad para
multiplicarlas y tendremos la cantidad de dinero en ventas de buena calidad y de igual manera
el de baja calidad, esto es.
“El Romántico”
Analizando la venta de buena calidad
12
20
2
= 16 +80 + 84 = 180 esto indica.............................
Analizando la venta de baja calidad
2
5
1
= 6 + 25 +8 = 39 esto indica.................................
“The Payer”
Analizando la venta de buena calidad
10
18
- 70
=.................... esto indica..................................
Analizando la venta de baja calidad
4
4
- 90
=.................... esto indica.................................
Otro método de resolver esta parte es tomando las matrices de artículos con la matriz de
ventas y multiplicarlos.
136 39
180 56
124
205
2 1
65 2
84 7 Es claro que la respuesta se halla en la diagonal principal ¿Por qué?
- Matriz inversa: Si A es una matriz cuadrada se dice que es invertible si existe una matriz B
tal que AB = I y BA = I por lo que B recibe el nombre de inversa de A y se denota B = A
Del mismo modo, la matriz A es la inversa de B y se escribe A = B
Ejercicios
- Realizar las siguientes operaciones sabiendo que :
1 1 1 0 3
5 41 0 5
2 3 1 8 1 A
3 0 4 3 1
2 1 1 4 0
1 2 3 6 1 B
a) A+B b) A – B c) 4B
- ¿Es posible hallar AxB
t ? De ser así hallar y de no serlo sustentar su respuesta.
- Si se sabe que
2 4 3
0 1 2
2 3 1 A Hallar A
2
- Un alumno de ingeniería Civil de la Universidad Nacional del Santa, desea construir un
taller de prácticas. Para ello fue a una ferretería y compró un kilogramo de cada uno de los
tres tamaños diferentes de clavos que necesitaba: pequeños, mediano y grandes.
Después de haber concluido cierta parte de su labor, se dio cuenta de que había calculado
muy poco la cantidad de clavos pequeños y grandes que necesitaba. Entonces, volvió a
comprar la misma cantidad de clavos pequeños y el doble de lo que había comparado de
los grandes. Después de avanzar un poco más en su construcción, le volvieron a faltar
clavos y fue a comprar otro kilogramo de clavos pequeños y medianos. Cuando vio las
notas de venta de la ferretería observó que la primer vez le habían cobrado s/ 20 por los
clavos; la segundas/ 21 y la tercera s/ 12. Los precios de los clavos varían de acuerdo al
tamaño, pero en las notas no se estipularon.
A) Determina el modelo matemático, señalando cada una de las incógnitas asignadas.
B) Resuelve el modelo obtenido en la parte A) para determinar el precio de cada kilogramo
de clavos pequeños, medianos y grandes.
Hallar el determinante de
2 1 1
0 1 1
1 2 3 B
Solución
( 11 ) 2 ( 02 ) 3 ( 02 ) 02 ( 2 ) 62
( 1. 11. 1 ) 2 ( 1. 012 .) 3 ( 0. 11. 2 ) 21
01 3 21
01 2 11
11 1
B B
B B
INVERSA DE UNA MATRIZ POR EL MÉTODO DE COFACTORES
Dada una matriz A^ (^ aij ) nxn de orden nxn, definiremos:
1. A i ( | j )es la submatriz cuadrada que resulta de haber eliminado la fila i y la columna j.
2. El numero real ( 1) ( | )
i j
ij
a A i j
es el i-j ésimo cofactor.
3. La matriz de los cofactores de la matriz cuadrada A^ (^ aij ) nxn de orden “ n ”, es la matriz.
11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
n
n
ij
n n n nn
a a a a
a a a a
cof A a
a a a a
- La adjunta de la matriz A, es la transpuesta de la matriz de los cofactores de A.
T
ij
Adj A a.
Ejemplo
Dada la matriz
A
. Hallar su adjunta.
Solución
Hallando la matriz de cofactores
1 1
11
a
1 2
12
a
1 3
13
a
2 1
21
a
2 2
22
a
2 3
23
a
3 1
31
a
3 2
32
a
3 3
33
a
Entonces
cof A
^
T
Adj A cof A
Observación:
Una matriz cuadrada A^ (^ aij ) nxn posee inversa si A 0
La matriz inversa de A^ (^ aij ) nxn se encuentra de la siguiente forma:
A adj A ( )
A
Ejemplo:
Hallar la matriz inversa de
A
Solución
Hallando el determinante det(^ A )^^ ^1
Hallando la matriz de cofactores
1 1
11
a
1 2
12
a
1 3
13
a
2 1 21
a
2 2 22
a
2 3 23
a
3 1
31
a
3 2
32
a
3 3
33
a
cof A
- Si
^
3 1 / 2
1 / 4 1
1 1
1 5 2
2 1 1 A B hallar:
a) A+B
b) A – B
c) 5B
d) A.B
- Si se tiene las matrices (^)
1 0 1
0 1 3
0 0 1
1 2 0 A yB determine la matriz X tal que 2X – 4B = 3A
- Determine los valores de x, y, z tales que las matrices siguientes sean iguales.
x y x z
x
2
0 1
0 2 3
10 1
- Encuentre A, una matriz de orden 2x2 tal que A
2 = 0.
- Forme todas la submatrices de orden 2x2 de M
4 5 6
1 2 3
- En los siguientes ejercicios calcule los determinantes.
a) 4 7
3 6
b)
2
1 2
1
2
1 2
1
c) 3 0 4
0 5 0
1 0 2
d) 7 8 9
4 5 6
1 2 3
- En los siguientes calcular los valores de reales o complejos tales que los determinantes
sean ceros.
a)
1 3
1 2
b) 0 2 1
0 2 1
1 0 0
- Calcular el valor de x.
1 1
1 1
1 2
x
x x x
- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
a) 2x + 3y = 1
-x - 3y = -
b) 3x - 2y = 1
x - 2y = -
c) 7x + 3y = 8
-2x + 3y = 5
d) 4x + 2y = 8
3x + 5y = 10
e) 5x - 3y = 5
7x - 8y =-
f) x - 2y = 13
2z + 3y = 19
3x - z + 4y = 9
g) x + y + z = 1
3x - 2y - z = 4
-2x + y + 2z = 2
- Representa las siguientes matrices donde:
a) A es una matriz de orden 3 x 2 donde cada elemento a (^) i j = i + j.
b) B en una matriz de orden 3 x 3 donde cada elemento
b (^) i j = 2i - j.
- Una fábrica tiene tres máquinas A, B y C, tal que trabajan en un día durante 15, 22 y 23
horas respectivamente. En estas máquinas se producen tres artículos X, Y y Z en un día
PRÁCTICA 02
DE MATRICES Y DETERMINANTES
- Dadas las matrices
x z y x y
A x y B z z x
y x z z
^ ^ ^
si A = B,
hallar yxz.
- Escribir explícitamente las siguientes matrices:
i j M una matiz de orden 3x2 / m i 2 j
i j una matiz de orden 4x3 / n 2 ( 1)
i j N
- Dadas las matrices:
x y x y A B y C x y
^ ^
^
si A = B,
hallar A + 3C.
- Dadas las matrices
A B C
a) Calcular A.B y B.A y mostrar que A.B ^ B.A
b) Hallar (A + B) + C y A + (B + C).
c) Mostrar que A.(B.C) = (A.B).C
- Hallar el polinomio f(A) de la matriz
A
, si f(x) = 3x
2
- Para la matriz
A
, verificar que A
2
- En una página deteriorada de un antiguo texto se encuentra que la matriz
x
A y
z
y del producto A
2 A
t solo se puede leer la última columna
^ ^
. Hallar x + y + z. -
19
- Calcular las siguientes determinantes:
a)
A
b)
B
- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
b)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
PRÁCTICA 03
DE MATRICES Y DETERMINANTES
1.- Enuncie las propiedades de: matrices, determinantes.
2.- Sea la matriz:
A
Encontrar la matriz triangular inferior B y las matrices columna C y E, tal que:
A = B.B
t , B.C =
, B
t. E = C.
Nota considerar raíces positivas.
3.- Sea A una matriz simétrica no singular. Si se conoce que:
x y z
r s Adj A q
^
, hallar la matriz A
4.- Haciendo uso de la matriz inversa, calcular la matriz x si se sabe que:
20
