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Ejercicios resueltos y con matlab
Tipo: Ejercicios
1 / 13
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Caso 2. Cuando (12 kl^2 2 3 Wl )/ 2 ml^2 5 0, la ecuación se reduce a ¶u 5 0 y la solución de obtiene directamente al integrar dos veces como
u(t) = C 1 t + C 2 (E.8)
Para las condiciones iniciales u( t 5 0) 5 u 0 y (^) uª(t = 0) = uª 0 , la solución es
u(t) = uª 0 t + u 0 (E.9)
La ecuación (E.9) muestra que el sistema es inestable con el desplazamiento angular incrementándose lineal- mente a una velocidad constante u 0. Sin embargo, si u 0 5 0, la ecuación (E.9) indica una posición estable o de equilibrio estático con u 5 u 0 ; es decir, el péndulo permanece en su posición original, definida por u 5 u 0.
Caso 3. Cuando (12 kl^2 2 3 Wl )/ 2 ml^2 , 0, la solución de la ecuación (E.2) se expresa como
u(t) = B 1 eat^ + B 2 e-at^ (E.10)
donde B 1 y B 2 son constantes. Para las condiciones iniciales u( t 5 0) 5 u 0 , uª(t = 0) = uª 0 , la ecuación (E.10) se escribe como
u(t) =
2 a
[(au 0 + uª 0 )eat^ + (au 0 - uª 0 )e-at] (E.11)
La ecuación (E.11) muestra que u( t ) se incrementa exponencialmente con el tiempo, por consiguiente el movi- miento es inestable. La razón física de esto es que el momento de restauración producido por el resorte (2 kl^2 u), el cual trata de regresar el sistema a la posición de equilibrio, es menor que el momento de no restauración debido a la gravedad [ 2 W ( l /2) u], el cual trata de alejar la masa de la posición de equilibrio.
2.12 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB
Trace las variaciones de la frecuencia natural y el periodo de tiempo con deflexión estática de un sistema no amortiguado utilizando MATLAB.
Solución: Las ecuaciones (2.28) y (2.30) proporcionan la frecuencia natural (v n ) y el periodo (t n ):
g dst
1/
dst g
1/
Ejemplo 2.19 Variaciones de la frecuencia natural y el periodo con deflexión estática
Solución: El desplazamiento de un sistema no amortiguado se expresa como (vea la ecuación (2.23)):
x(t) = A 0 sen(vnt + f 0 ) (E.1)
donde
x 0 vn x^ #^0
x^ #^0 vn
2
1/
2
1/ = 3.1048 pulg
vn = A
k m
= 5 rad/s
Por lo tanto, la ecuación (E.1) da por resultado
x
(t) = -77.62 sen (5t + 1.3102) pulg/s 2
x
(t) = 15.524 cos (5t + 1.3102) pulg/s
x(t) = 3.1048 sen (5t + 1.3102) pulg (E.2)
(E.3)
(E.4)
Respuesta de un sistema no amortiguado.
0
4
2
x ( t^0
)^
2
4
1 2 3 4 5 6
0
100
50
x ( t^0
)^
50
100
1 2 3 t
4 5 6
0
20
10
x ( t^0
)^
10
20
1 2 3 4 5 6
..
.
Ejemplo 2.
% Ex2_20.m for i = 1: 101 t(i) = 6 * (i-1)/100; x(i) = 3.1048 * sin(5 * t(i) + 1.3102); x1(i) = 15.524 * cos(5 * t(i) + 1.3102); x2(i) = -77.62 * sin(5 * t(i) + 1.3102); end subplot (311); plot (t,x); ylabel (‘x(t)’); title (‘Example 2.18’); subplot (312); plot (t,x1); ylabel (‘x^.(t)’); subplot (313); plot (t,x2); xlabel (‘t’); ylabel (‘x^.^.(t)’);
Ejemplo 2.21 Respuesta de vibración libre de un sistema con amortiguamiento de Coulomb
Encuentre la respuesta de vibración libre de un sistema de resorte-masa sujeto a amortiguamiento de Coulomb para las siguientes condiciones iniciales: x(0) = 0.5 m, x^ #^ (0) = 0.
Datos: m 5 10 kg, k 5 200 N/m, m 5 0.
Solución: La ecuación de movimiento se expresa como
mx
) + kx = 0 (E.1)
Para resolver la ecuación diferencial de segundo orden, ecuación (E.1), por el método de Runge-Kutta (vea el apéndice F), reescribimos la ecuación (E.1) como un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden como sigue:
x^ #^2 = -mg sgn(x 2 ) -
k m
x 1 K f 2 (x 1 , x 2 )
x^ #^1 = x 2 K f 1 (x 1 , x 2 )
x 1 = x, x 2 = x^ #^1 = x^ #
(E.2)
Las ecuaciones (E.2) y (E.3) se expresan en notación matricial como
= f
: (X
donde X
x 1 (t) x 2 (t)
:
f 1 (x 1 , x 2 ) f 2 (x 1 , x 2 )
x 1 (0) x 2 (0)
Desarrolle un programa MATLAB de uso general, llamado Program2.m para determinar la respuesta de vibración libre de un sistema viscosamente amortiguado. Use el programa para determinar la respuesta de un sistema con los siguientes datos:
m = 450.0, k = 26519.2, c = 1000.0, x 0 = 0.539657, x^ #^0 = 1.
Solución: Se desarrolla el programa Program2.m para que acepte los siguientes datos de entrada:
m 5 masa k 5 rigidez del resorte c 5 constante de amortiguamiento x 0 5 desplazamiento inicial xd 0 5 velocidad inicial n 5 cantidad de pasos de tiempo al cual se tienen que determinar los valores de x ( t ) delt 5 intervalo entre pasos de tiempo consecutivos (D t )
El programa arroja los siguientes resultados:
cantidad de pasos i , tiempo ( i ), x ( i ), x
( i ), x
( i )
El programa también traza las variaciones de x , x
y x
con el tiempo.
Ejemplo 2.22 Respuesta de vibración libre de un sistema viscosamente amortiguado utilizando MATLAB
>> programa Análisis de vibración libre de un sistema de un solo grado de libertad Datos: m= 4.50000000e+ k= 2.65192000e+ c= 1.00000000e+ x0= 5.39657000e- xd0= 1.00000000e+ n= 100 delt= 2.50000000e- el sistema está subamortiguado Resultados: i tiempo(i) x(i) xd(i) xdd(i) 1 2.500000e-002 5.540992e-001 1.596159e-001 -3.300863e+ 2 5.000000e-002 5.479696e-001 -6.410545e-001 -3.086813e+ 3 7.500000e-002 5.225989e-001 -1.375559e+000 -2.774077e+ 4 1.000000e-001 4.799331e-001 -2.021239e+000 -2.379156e+ 5 1.250000e-001 4.224307e-001 -2.559831e+000 -1.920599e+ 6 1.500000e-001 3.529474e-001 -2.977885e+000 -1.418222e+ . . . 96 2.400000e+000 2.203271e-002 2.313895e-001 -1.812621e+ 97 2.425000e+000 2.722809e-002 1.834092e-001 -2.012170e+ 98 2.450000e+000 3.117018e-002 1.314707e-001 -2.129064e+ 99 2.475000e+000 3.378590e-002 7.764312e-002 -2.163596e+ 100 2.500000e+000 3.505350e-002 2.395118e-002 -2.118982e+
Consideramos las ecuaciones de movimiento y sus soluciones para la vibración libre de sistemas de un solo grado de libertad no amortiguados y subamortiguados. Para obtener la ecuación de movimiento de sistemas subamortiguados se presentaron cuatro métodos diferentes, a saber, la segunda ley del movimiento de Newton, el principio de D’Alembert, el principio de desplazamientos virtuales y el principio de conservación de la energía. Se consideraron los sistemas traslacionales y torsionales. Se presentaron las soluciones de vibración libre para sistemas no amortiguados. Se consideró la ecuación de movimiento en la forma de una ecuación diferencial de primer orden para un sistema de masa-amortiguador (sin resorte), así como la idea de constante de tiempo. Se presentó la solución de vibración libre de sistemas viscosamente amortiguados junto con los concep- tos de sistemas subamortiguados, sobreamortiguados y críticamente amortiguados. También se consideraron las soluciones de vibración libre de sistemas con amortiguamiento de Coulomb e histerético. Se explicaron las representaciones gráficas de raíces características en el plano complejo y las soluciones correspondientes. También se consideraron los efectos de la variación de los parámetros m , c y k en las raíces características y sus representaciones utilizando gráficas del lugar geométrico de las raíces. La identificación del estado de estabilidad de un sistema también se explicó. Ahora que ya ha terminado este capítulo, usted deberá ser capaz de responder las preguntas de repaso y resolver los problemas que se darán a continuación.
0 0.5 1 t
1.5 2 2.
40
30
20
10
0
10
x ( t )
x (
t ),
xd
( t ),
xdd
( t )
(^) xd ( t )
xdd ( t ) 20
30
Variaciones de x , x
y x
Resumen del capítulo
La ecuación (E.1) se traza utilizando el siguiente programa MATLAB:
% Ex3_19.m F0 = 100; wn = 20; m = 5; w = 30; x0 = 0.1; x0_dot = 0.1; f_0 = F0/m; for i = 1: 101 t(i) = 2 * (i–1)/100; x(i) = x0_dotsin(wnt(i))/wn + (x0 – f_0/(wn∧2–w∧2))cos (wnt(i)).. + f_0/ (wn^2–w^2)cos(wt(i)); end plot (t, x); xlabel ('t'); ylabel ('x(t)'); title ('Ex3.11')
■
Ejemplo 3.20 Respuesta forzada de un sistema con amortiguamiento de Coulomb
Utilizando MATLAB, trace la respuesta forzada de un sistema de resorte-masa con amortiguamiento de Coulomb para los siguientes datos: m 5 5 kg, k 5 2000 N/m, m 5 0.5, F ( t ) 5 100 sen 30 t N, x 0 5 0.1 m, x˙ (^) 0 5 0.1 m/s.
Solución: La ecuación de movimiento del sistema se expresa como
mx
) = F 0 sen vt (E.1)
la cual se puede volver a escribir como un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden (utilizando x 1 5 x y x 2 5 ˙x ) como
x^ #^2 =
m
sen vt -
k m
x 1 - mg sgn(x 2 )
x^ #^1 = x 2
(E.2)
con las condiciones iniciales x 1 (0) 5 0.1 y x 2 (0) 5 0.1. A continuación se da la solución de la ecuación (E.2), obtenida con MATLAB utilizando ode.
% Ex3_20.m % Este programa utilizará la función dfunc3_20.m, deben % estar en la misma carpeta tspan = [0: 0.01: 4]; x0 = [0.1; 0.1]; [t, x] = ode23 ('dfunc3_12', tspan, x0); disp (' t x(t) xd(t)'); disp ([t x]); plot (t, x(:, 1)); xlabel ('t'); gtext ('x(t)'); title ('Ex3.12'); % dfunc3_12.m function f = dfunc3_12 (t, x) f = zeros (2, 1); f(1) = x(2); f(2) = 100sin(30t)/5 – 9.810.5sign(x(2)) – (2000/5)*x(1);
Ex3_ t x(t) xd(t) 0 0.1000 0. 0.0100 0.0991 –0. 0.0200 0.0954 –0. 0.0300 0.0894 –0. 0.0400 0.0819 –0. 0.0500 0.0735 –0. . . . 3.9500 0.0196 –0. 3.9600 0.0095 –1. 3.9700 –0.0016 –1. 3.9800 –0.0126 –1. 3.9900 –0.0226 –0. 4.0000 –0.0307 –0.
Utilizando MATLAB, encuentre y trace la respuesta de un sistema de resorte-masa viscosamente amortiguado sometido a la excitación de base y ( t ) 5 Y sen v t con los siguientes datos: m 5 1 200 kg, k 5 4 3 105 N/m, z = 0.5, Y 5 0.05 m, v 5 29.0887 rad/s, x 0 5 0, x˙ (^) 0 5 0.1 m/s.
Solución: La ecuación de movimiento, ecuación (3.64): mx^ $ + cx^ #^ + kx = ky + cy^ #^ (E.1)
se puede expresar como un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (utilizando x 1 5 x y x 2 5 x˙ ) como
x
c m
x 2 -
k m
x 1 +
k m
y +
c m
y
x^ #^1 = x 2
(E.2)
0. 0.5 1
x ( t )
1.5 2 2. t
0 3 3.5 4
0.
0
Ejemplo 3.
Ejemplo 3.21 Respuesta de un sistema sometido a excitación de base
Desarrolle un programa MATLAB de uso general, llamado Program3.m para encontrar la respuesta de esta- do estable de un sistema de un solo grado de libertad viscosamente amortiguado sometido a la fuerza armónica F 0 cos v t o F 0 sen v t. Use el programa para hallar y graficar la respuesta de un sistema con los siguientes datos:
m 5 5 kg, c 5 20 N-s/m, k 5 500 N/m, F 0 5 250 N, v 5 40 rad/s, n 5 40, ic 5 0
Solución: Se desarrolla Program3.m para que acepte los siguientes datos de entrada:
xm 5 masa xc 5 constante de amortiguamiento xk 5 constante de resorte f 0 5 amplitud de la función forzada om 5 frecuencia forzada n 5 cantidad de pasos en un ciclo en el cual se va a calcular la respuesta ic 5 1 para función forzada tipo coseno; 0 para función forzada tipo seno
El programa da los siguientes resultados:
cantidad de pasos i , x ( i ), x ( i ), x ( i )
El programa también traza las variaciones de x, x
, y x
con el tiempo.
Ejemplo 3.22 Respuesta de estado estable de un sistema viscosamente amortiguado
program Respuesta de estado estable de un sistema de un solo grado de libertad no amortiguado sometido a una fuerza armónica Datos dados xm = 5.00000000e+ xc = 2.00000000e+ xk = 5.00000000e+ f0 = 2.50000000e+ om = 4.00000000e+ ic = 0 n = 20 Respuesta: i x(i) xd(i) xdd(i) 1 1.35282024e–002 1.21035472e+000 –2.16451238e+ 2 2.22166075e–002 9.83897315e–001 –3.55465721e+ 3 2.87302863e–002 6.61128738e–001 –4.59684581e+ 4 3.24316314e–002 2.73643972e–001 –5.18906102e+ 5 3.29583277e–002 –1.40627096e–001 –5.27333244e+ 6 3.02588184e–002 –5.41132540e–001 –4.84141094e+ 7 2.45973513e–002 –8.88667916e–001 –3.93557620e+ 8 1.65281129e–002 –1.14921388e+000 –2.64449806e+ 9 6.84098018e–003 –1.29726626e+000 –1.09455683e+ 10 –3.51579846e–003 –1.31833259e+000 5.62527754e+ 11 –1.35284247e–002 –1.21035075e+000 2.16454794e+ 12 –2.22167882e–002 –9.83890787e–001 3.55468612e+ 13 –2.87304077e–002 –6.61120295e–001 4.59686523e+ 14 –3.24316817e–002 –2.73634442e–001 5.18906907e+ 15 –3.29583019e–002 1.40636781e–001 5.27332831e+ 16 –3.02587190e–002 5.41141432e–001 4.84139504e+ 17 –2.45971881e–002 8.88675144e–001 3.93555009e+ 18 –1.65279018e–002 1.14921874e+000 2.64446429e+ 19 –6.84074192e–003 1.29726827e+000 1.09451871e+ 20 3.51604059e–003 1.31833156e+000 –5.62566494e+
