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Introducción a la Estadística Económica 1 Práctica resuelta Tema 4. Curso 2008-
Supuesto 8: La información disponible sobre los beneficios (X, en cientos de miles de euros) y el volumen de ventas (Y, en cientos de miles de euros) de 30 empresas se recogen en la tabla adjunta:
Y \ X 6-10 10-50 50- 10-50 3 4 1 50-90 1 5 2 90-150 - 3 11
a) ¿Son X e Y independientes? Justificar la respuesta. b) Para aquellas empresas que tienen un volumen de ventas entre 50 y 90 cientos de miles de euros, calcular el beneficio medio, el beneficio más frecuente, el valor mediano y comparar la representatividad de dichos promedios. c) Calcular la covarianza y el coeficiente de correlación lineal entre X e Y. Interpretar los resultados. d) ¿Cómo afectaría a los resultados del apartado c) una disminución de los beneficios de todas las empresas en 150.000€? ¿Y un incremento del 7% en las ventas? e) Determinar el grado de asociación entre los beneficios (X) y el tamaño de las empresas a partir de la información recogida en la tabla siguiente:
Tamaño \ X 6-10 10-50 50- Pequeño 4 1 - Medio 4 7 3 Grande 1 2 8
SOLUCIÓN:
a) ¿Son X e Y independientes? Justificar la respuesta.
En la tabla siguiente se recogen, además de las frecuencias conjuntas, las frecuencias marginales:
Y \ X 6–10 10-50 50-100 n.j 10-50 3 4 1 8 50-90 1 5 2 8 90-150 0 3 11 14 ni. 4 12 14 N=
Para estudiar si X e Y son independientes debemos comprobar si se cumple la condición de independencia: nij = (n i. n.j )/N para i=1, …, k; j=1, .., l
Examinando las frecuencias correspondientes al par (x 1 ,y 1 ) se obtiene que:
n 11 =3; n1.n.1 /N=4*8/30=1,
Puesto que no se cumple la igualdad para el par (x 1 , y 1 ), se puede concluir que las variables no son independientes.
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b) Para aquellas empresas que tienen un volumen de ventas entre 50 y 90 cientos de miles de euros, calcular el beneficio medio, el beneficio más frecuente, el valor mediano y comparar la representatividad de dichos promedios.
Se trata de calcular la media, la moda y la mediana de la distribución de X condicionada a que Y∈(50,90], así como los respectivos coeficientes de variación para comparar su representatividad:
X/ Y ∈∈∈∈ (50,90] ni/ 6-10 1 10-50 5 50-100 2
En la tabla siguiente se resumen los cálculos para obtener los promedios (Media, Moda y Mediana) y sus respectivos coeficientes de variación:
X/ Y ∈∈∈∈ (50,90] ni/2 hi/2 Ni/2 xi xi-Media (^) Media)(xi- (^2) ni2/ xi-Mo (^) Mo)(x 2 i-ni/2 x i-Me (^) Me)(x 2 in-i/*
6-10 1 0,25 1 8 -30,5 930,25 -2 4 -26 676 10-50 5 0,125 6 30 -8,5 361,25 20 2000 -4 80 50-100 2 0,04 8 75 36,5 2664,5 65 8450 41 3362 Sumas 8 3956 10454 4118
Media 38,5 Dp^2 494,5 1306,75 514, Moda 10 Dp 22,237 36,149 22, Mediana 34 VMedia VMo VMe Vp 0,578 3,615 0,
Los resultados son:
( ]
V 0 , 578 V 3 , 615 V 0 , 667
x/ 36 , 5 Mo 10 Me 34
x Mo Me
Y 50 , 90
Dado que el coeficiente de variación más pequeño corresponde a la media, éste es el promedio más representativo; no obstante dado que el valor de dicho coeficiente está relativamente alejado de cero (la dispersión es del 57,8% en torno a la media), la representatividad de la media no es alta.
c) Calcular la covarianza y el coeficiente de correlación lineal entre X e Y. Interpretar los resultados. Para calcular la covarianza y el coeficiente de correlación lineal aplicaremos las siguientes expresiones:
X Y
XY XY
k
i 1
l
j 1
i j ij
XY SS
S
xy r
N
xyn
S = − =
= =
Calcularemos en primer lugar la media y la desviación típica de las distribuciones marginales de X y de Y.
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SXY ' = 1 , 07 SXY= 667 , 847
Sin embargo el coeficiente de correlación lineal no cambiaría:
XY XY
XY X Y
XY X Y'
XY'
XY' r
SS
S
S( 1 , 07 S)
1 , 07 S
SS
S
r = = = =
e) Determinar el grado de asociación entre los beneficios (X) y el tamaño de las empresas a partir de la información recogida en la tabla siguiente:
Tamaño \ X 6-10 10-50 50- Pequeño 4 1 - Medio 4 7 3 Grande 1 2 8
Para analizar el grado de asociación entre ambos caracteres calcularemos en primer lugar el coeficiente chi-cudrado de Pearson, que viene dado por la siguiente expresión:
= =
k
i 1
l
j 1 i. .j
2 i. .j ij 2
N
nn
N
nn
n
En la tabla siguiente se recogen los valores de las frecuencias en caso de independencia:
ni.n.j/N 6-10 10-50 50- Pequeño 1,5 1,667 1, Medio 4,2 4,667 5, Grande 3,3 3,667 4,
A partir de los resultados anteriores se obtiene:
2 (^4 1 ,^5 )^222
Dado que el valor del coeficiente no es cero, los beneficios y el tamaño de las empresas no son caracteres independientes. Ahora bien, como dicho coeficiente no está acortado, para determinar el grado de asociación debemos calcular el coeficiente de contingencia de Pearson:
N
C 2
2
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Puesto que la tabla de contingencia es 3x3, la cota máxima de C,
correspondiente al caso de máximo grado de asociación, es 0 , 816
=. En
consecuencia, el grado de asociación entre los beneficios y el tamaño es bastante elevado.
