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Matem´aticas Primero de Grado en CC. Qu´ımicas Pr´actica 1.
1. Introducci´on
En esta pr´actica vamos a utilizar los comandos b´asicos del programa DERIVE. Las instrucciones que se dar´an a continuaci´on corresponden a la version 5 de DERIVE, que con peque˜nas modificaciones se pueden utilizar para otras versiones. Supongamos que ya estamos dentro del programa DERIVE. Si hemos sido capaces de abrir el programa correc- tamente nos encontramos ante dos ventanas:
- una ventana peque˜na en la parte inferior sobre la que escribiremos los datos, funciones, f´ormulas, etc.. (Ejemplo: escribid sobre esta ventana la funci´on x*sin(x) y pulsad la tecla “Intro”)
- una grande en la parte superior sobre la que el mismo programa DERIVE sacar´a las f´ormulas que le vayamos introduciendo. En la parte superior de esta ventana aparece una l´ınea de comandos: Archivo Edicion Insertar Editar(Autor) Simplificar Resolver C´alculo, etc., y dentro de cada uno de estos aparecen varias opciones y dentro de algunas de ´estas algunas otras. Para activarlos hay que ponerse con el cursor del rat´on sobre el nombre del comando elegido y pulsar una vez, aparecer´a una nueva lista de opciones y volvemos a hacer lo mismo. (Ejemplo: Pulsad C´alculo Derivadas y en la ventana que os aparecere pulsad Simplificar. El programa habr´a calculado la derivada de la funcion x·sin(x)) Si queremos ahora representar la funci´on x·sin(x) marcamos esta funci´on con el rat´on en la ventana superior, vamos al menu Ventana 2D, que nos genera una ventana de gr´aficos de funciones y pulsamos en Insertar Gr´afica. Para salir de la ventana de gr´aficos pulsamos Ventana Algebra que nos llevar´a al sistema de dos ventanas descritos anteriormente. Veamos algunos ejemplos de c´alculo elemental:
- Calcular π^2 con 10 decimales: Procedemos de la manera siguiente: Escribimos en la ventana inferior peque˜na pi^2. Y pulsamos Simplificar Aproximar, especificando 11 d´ıgitos de precisi´on, y el resultado ser´a
9 , 8696044010
3 con 8 decimales: Escribimos exp(2) sqrt(3) Y pulsamos Simplificar Aproximar, especificando 10 d´ıgitos de precisi´on, y el resultado ser´a
12 , 79822058
- Calcular el valor de la funci´on siguiente en x = 2
f (x) = x^3 + ex^ − sen(x) Escribimos la funci´on y a continuaci´on Simplificar Sustituir Variable .... Aparecer´a una ventana en la que especificamos variable x y Sustitucion de Variable. Pulsamos S´ı y apare- cer´a
23 + e^2 − sin(2) Esta expresi´on se puede aproximar de la manera descrita en los puntos anteriores.
2. Representaci´on gr´afica de funciones de una variable, y = f (x).
2.1. Comandos B´asicos de la pantalla de gr´aficos 2D
Para pasar a la pantalla de gr´aficos en 2 dimensiones del programa DERIVE, hay que pulsar la opci´on Ventana Nueva Ventana 2D, aparecer´a superpuesta la pantalla 2D. Para volver a la ventana de expresiones, en la nueva pulsar la opci´on Ventana Algebra. Tambi´en se puede hacer con iconos que aparecen debajo de la l´ınea de comandos. Recorriendo con el rat´on los iconos descubriremos f´acilmente cu´ales son. En la l´ınea superior de nuevos comandos que aparece en la ventana 2D, algunas de las opciones m´as importantes son: Insertar: Con esta opci´on se inserta la gr´afica. Editar Borrar Gr´afica: Permite borrar las gr´aficas, una o todas. Seleccionar: Permite elegir el sistema de coordenadas (cartesianas o polares), elegir la posici´on del cursor, el rango de la gr´afica, etc.. Opciones Pantalla: Con este men´u se pueden seleccionar distintas caracter´ısticas de la salida gr´afica. Archivo Exportar: Con este men´u se puede guardar la gr´afica en distintos formatos. La mayor´ıa de estas opciones vuelven a aparecer en forma de iconos debajo de la l´ınea de comandos, junto con algunos otros, en particular son interesantes los iconos de las ”flechitas”que permiten llevar a cabo diversas modalidades de Zoom sobre la gr´afica.
2.2. Coordenadas Cartesianas
Ejemplo 1 Dibujo de gr´aficas. Dibujar la gr´afica de la funci´on, dada en forma expl´ıcita
y = x^2
Introducimos la funci´on, que se puede hacer de dos formas, escribiendo: y=x^2, o directamente x^2. Pulsamos Ventana Nueva ventana 2D y a continuaci´on, en la ventana 2D, Insertar Grafica y ya tenemos la gr´afica, que aparece en un rango − 4 < x < 4 , − 4 < y < 4 , por defecto.
Ejercicio 1 Dibujar las gr´aficas de las siguientes funciones dadas en forma expl´ıcita eligiendo, si fuera necesario, un rango adecuado para que aparezcan los aspectos m´as representativos de la funci´on: a) f (x) = x b) f (x) = x^2 + 1 c)f (x) = x^2 + 3 d) f (x) = x^2 − 1 e) f (x) = sen(x) f ) f (x) = 3 sen(x) g) f (x) = 3 sen(3x) h) f (x) = 3 sen
3 x
i) f (x) = ex j) f (x) = √^1 π ex
2
k) f (x) = |x| l) f (x) = x −
x m) f (x) =
x(x − 2) (x + 1)(x − 2) n) f (x) =
x e|x−^1 |
obteniendo, en este caso, cinco ra´ıces reales
x = − 1 , 7321 ∨ x = 1, 7321 ∨ x = 3, 5616 ∨ x = − 0 , 5616 ∨ x = 1
Sin embargo la ecuaci´on 3 x^5 − 2 x^4 + 6x^2 − x − 2 = 0
tiene solamente tres ra´ıces reales
x = − 0 , 5437 ∨ x = 0, 6666 ∨ x = − 1
y la ecuaci´on 3 x^5 − 2 x^4 + 2x^3 − 4 x^2 + 3x − 2 = 0
solo tiene una ra´ız real x = 1 Conviene ahora recordar el Teorema fundamental del ´algebra: Un polinomio de grado n
P (x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 +... + a 1 x + a 0 , an 6 = 0
SIEMPRE puede expresarse como producto de n factores lineales
P (x) = an(x − r 1 )(x − r 2 )... (x − rn) ,
donde las ra´ıces r 1 , r 2 ,... , rn pueden ser reales o complejas, y pueden ser iguales (ra´ıces m´ultiples) o distintas. Adem´as si tenemos una ra´ız compleja, rk = a + bi, entonces su conjugado, rk = a − bi, tambi´en es una ra´ız. Una consecuencia del Teorema fundamental del ´algebra es que todo polinomio de grado impar tiene al menos una ra´ız real. Esto es, corta al menos una vez al eje OX.
Ejercicio 3 Resuelve las siguientes ecuaciones y dibuja las correspondientes gr´aficas a) −x^3 − x^2 + x + 47 = 0 b) −x^3 − x^2 + x + 1514 = 0 c) −x^3 − x^2 + x + 1 = 0 d) −x^3 − x^2 + x + 10 = 0 e) −x^3 − x^2 + x − 10 = 0
Ejercicio 4 Resuelve las siguientes ecuaciones y dibuja las correspondientes gr´aficas a) 10 x^5 + 7x^4 − 73 x^3 + 11x^2 + 63x − 18 = 0 b) 2 x^5 + 75 x^4 − 735 x^3 + 115 x^2 + 635 x − 185 = 0 c) x^5 + 0, 7 x^4 − 7 , 3 x^3 + 1, 1 x^2 + 6, 3 x − 1 ,8 = 0
Ejercicio 5 Resuelve las siguientes ecuaciones y dibuja las correspondientes gr´aficas a) 3 x^4 − 2 x^3 + 6x^2 − x − 2 = 0 b) x^7 − 6 x^6 + 8x^5 − 2 x^4 + x^3 − 6 x^2 + 8x − 2 = 0, en vez de pulsar resolver pulsar si y despu´es aproximar. c) x^6 + 2, 7 x^5 − 5 , 9 x^4 − 13 , 5 x^3 + 8, 5 x^2 + 10, 8 x − 3 ,6 = 0 d) 10 x^6 + 27x^5 − 59 x^4 − 135 x^3 + 85x^2 + 108x − 36 = 0 e) x^9 + x^7 + x^4 − 3 x^2 + x + 1 = 0
Matem´aticas Primero de Grado en CC. Qu´ımicas Pr´actica 2.
1. C´alculo de l´ımites.
Ejemplo 1 C´alculo de l´ımites. Queremos calcular el l´ımite siguiente: l´ım x→ 3
x^2 − 3 3 x^5 + 5x
Procedemos de la manera siguiente: Escribimos la funci´on: (x^2-3)/(3x^5+5x) Pulsamos la secuencia C´alculo L´ımites .... Especificamos la variable, y hacia d´onde tiende x en Variable Punto. Luego pulsamos S´ı. Y por ´ultimo para que lo calcule pulsamos Simplificar y nos dar´a el resultado que en este caso es 1241.
Ejercicio 1 Calcular los siguientes l´ımites:
a) l´ım x→ 0
ex^ − 1 log(1 + x) b) l´ım x→ 0
x + sen(πx) x − sen(πx) c) l´ım x→ 0
(ex^ + x) (^1) x
d) l´ım x→ 0
xeax^ − x 1 − cos(ax)
, (a ∈ R)
Ejercicio 2 i) Calcular l´ım x→∞
ex x^7
ii) Dibujar en la misma ventana gr´afica f (x) = ex^ y g(x) = x^7. Comprobar que para valores muy grandes de x la exponencial es mucho mayor que la polin´omica.
2. C´alculo de Derivadas
Ejemplo 2 C´alculo de derivadas. Queremos calcular la derivada tercera de la funci´on:
y = 4x sen x Escribimos la funci´on, como antes. Pulsamos C´alculo Derivadas, especificamos la variable e indicamos el orden de la derivada, en este caso 3. Y por ´ultimo Simplificar. Y nos debe dar como resultado:
− 4 x cos x − 12 sen x
Ejercicio 3 Calcular las derivadas primeras y segundas de las siguientes funciones:
a)f (x) =
x^2 2
x 3
(7 − 5 x^6 )^2
b)f (x) =
ax + b cx + d
c)f (x) = (7x − 5)^2
4 x^3 + 3x (x − 1)^2
3. Tangentes
Ejemplo 4 El programa DERIVE nos calcula la tangente a la gr´afica de f (x) en el punto x 0 sin m´as que pedirle
TANGENT(f (x), x, x 0 )
Por ejemplo, si queremos dibujar la tangente a f (x) = log(x) x
en el punto x = 1, escribimos
TANGENT(
log(x) x , x, 1)
y obtenemos x − 1 Podemos dibujar la curva y la tangente en la pantalla gr´afica.
Ejercicio 8 Dibujar las tangentes a las gr´aficas de las funciones del Ejercicio 6 en el punto x = 3.
Ejemplo 5 Curvas en impl´ıcitas. Dibujar la curva, dada en forma impl´ıcita, siguiente:
x^2 + y^2 = 1 Introducimos la ecuaci´on x^2+y^2=1. Y seguimos los mismos pasos que en el ejemplo anterior, es decir, que el programa entiende perfectamente la f´ormula sin necesidad de despejar y. Nos debe salir una circunferencia de radio 1 centrada en el origen. Sin embargo, lo que se aprecia en el dibujo no tiene la pinta de una circunferencia, esto es debido al rango que aparece por defecto.
Ejercicio 9 Dibujar las siguientes curvas dadas en forma impl´ıcita:
a)
x^2 25
y^2 9
b)
x^2 25
y^2 9
c)x^2 − y^2 = 0 d)x^2 y^2 = 1
Ejemplo 6 Tangentes en impl´ıcitas. El programa DERIVE nos calcula la tangente a la gr´afica de una funci´on definida impl´ıcitamente por u(x,y)=0 en el punto (x0,y0) sin m´as que pedirle
IM P T AN GEN T (u(x, y), x, y, x 0 , y0)
Por ejemplo, IM P T AN GEN T (x^3 + y^3 − 6 xy, x, y, 4 / 3 , 8 /3)
nos da 4(x + 2) 5
Ejercicio 10 Para cada uno de los apartados siguientes dibujar la curva dada y la tangente a la curva en el punto indicado.
a)
x^2 25
y^2 9 = 1, (x 0 , y 0 ) = ( 52 , 3
√ 3 2 ).
b)
x^2 25
y^2 9
= 1, (x 0 , y 0 ) = (10, 3
c)x^2 − y^2 = 0, (x 0 , y 0 ) = (1, 1) d)x^2 y^2 = 1, (x 0 , y 0 ) = (2, 12 )
Matem´aticas Primero de Grado en CC. Qu´ımicas Pr´actica 3.
1. Representaci´on gr´afica de funciones de dos variables, z = f (x, y).
Ejemplo 1 Vamos a representar en este ejemplo la gr´afica de la funcion z = x^2 + y^2 y dibujaremos tambi´en algunas curvas de nivel. Introducimos la funcion z=x^2+y^2. Para dibujar su gr´afica, vamos a Ventana, Nueva Ventana 3D o pulsamos directamente el icono correspon- diente a la ventana 3D que aparece en el men´u de la parte superior. El rango de la gr´afica se puede modificar utilizando los iconos que se encuentran en la ventana 3D. Utilizarlos para ver para qu´e sirven. Al igual que en la pantalla 2D, cada vez que se dibuja una nueva gr´afica es preciso borrar la anterior, a no ser que queramos superponerlas. Para dibujar las curvas de nivel, volvemos a la ventana de ´algebra y pulsamos la opcion de la l´ınea superior Simplificar Sustituir Variables y aqu´ı indicamos los valores a sustituir por la variable z, es decir, elegimos la variable z y le asignamos un valor. Para dibujar la curva, pasamos a la ventana 2D.
Ejercicio 1 Representar las gr´aficas de las siguientes funciones de 2 variables, dibujando en cada caso, al menos 4 curvas de nivel diferentes:
a)z =
9 + x^2 + y^2 b)z = x^2 − y^2
c)z = e−(x
(^2) +y (^2) )
d)p = 8, 31
T
V
. Hacer la gr´afica de esta funcion seleccionando la region 0 < T < 10 , 0 < V < 10.
1.1. Plano tangente
Ejemplo 2 Vamos a calcular y dibujar el plano tangente a la gr´afica de la funci´on
z = 1 − x^2 − y^2
en el punto (x 0 , y 0 , z 0 ) = (1, 0 , 0). En primer lugar dibujamos la funci´on como se ha hecho en los casos anteriores. Para calcular la ecuaci´on del plano tangente, utilizamos el comando (en la pantalla de ´algebra)
tangent_plane(g(x,y,z),[x,y,z],[x0,y0,z0])=
donde g(x, y, z) = 0 es la expresi´on impl´ıcita de la superficie y [x0,y0,z0] es el punto de tangencia. En nuestro ejemplo,
tangent_plane(x^2+y^2+z-1,[x,y,z],[1,0,0])=
Simplificamos con = y obtenemos la ecuaci´on del plano, aunque antes de dibujarla debemos despejar z, lo que se puede hacer con la opci´on Resolver Expresi´on y eligiendo la variable z en la ventana. Por ´ultimo, dibujamos el plano tangente junto a la gr´afica.
Ejercicio 2 Calcular y dibujar el plano tangente a las gr´aficas de las siguientes funciones en los puntos que se indican:
a)z = x^2 + y^2 en (1, 1 , 2). b)z = x^2 − y^2 en (1, 1 , 0).
Matem´aticas Primero de Grado en CC. Qu´ımicas Pr´actica 4.
1. C´alculo de Integrales
Ejemplo 1 Integrales indefinidas Queremos calcular la integral indefinida (^) ∫ x x^2 + 1
dx
Escribimos la funci´on en la ventana peque˜na que est´a en la parte inferior de la pantalla. Pulsamos la secuencia Calculo Integrales, o pulsamos el boton
. Nos pide que confirmemos la variable,
en este caso x, y tendremos que especificar tambi´en que se trata de una integral indefinida. Por ´ultimo, usamos la opci´on Simplificar y nos dar´a la soluci´on:
ln(x^2 + 1) 2
Ejercicio 1 Calcular las siguientes integrales indefinidas:
a)
log x √ x
dx b)
arctg
xdx c)
a x^2 + b^2
dx d)
x + 1 x^2 + 4x + 5
dx
e)
x^2 x^2 − x + 1
dx f )
x^2 x^2 + x + 1
dx g)
x x^2 − 4 x + 1
dx h)
5 + x^2 dx
Ejemplo 2 C´alculo de Integrales Definidas e Impropias. Queremos calcular la integral definida: (^) ∫ 1
0
x x^2 + 1
dx
Procedemos exactamente igual que en el ejemplo anterior, salvo que, en este caso hay que indicar que se trata de una integral definida y, por tanto, escribir los l´ımites de integraci´on Limite Superior: 1 Limite Inferior: 0 Por ´ultimo, pulsaremos el icono Simplificar, y nos dar´a
ln(2) 2 Si queremos el resultado en forma num´erica, pulsaremos el icono Simplificar Aproximar, o bien directamente sobre el icono que tiene el s´ımbolo ≈ y nos dar´a
(con 6 decimales o con los decimales que previamente hayamos fijado) Si uno de los l´ımites fuese ∞ se especifica con inf.
Ejercicio 2 Calcular las integrales que se calcularon en el ejercicio anterior, pero haci´endolas todas ellas definidas en el intervalo [0, 5], ofreciendo el resultado en forma algebraica y en forma num´erica, con 6 decimales.
Ejercicio 3 Calcular las integrales:
a)
0
x
dx b)
− 1
x^2
dx c)
0
ln(x)dx d)
1
ln(x)
dx e)
0
dx √ x
Ejercicio 4 Dibujar las gr´aficas de las funciones
x
x^2
x^3
x
ln(x)
Ejercicio 5 Dibujar las gr´aficas de las funciones e−x, ex, e−x
2 . Hallar
−∞
e−x
2 dx
Ejercicio 6 Dibujar las gr´aficas de
sen(x) x
y de
x
Calcular
0
sen(x) x
dx,
0
sen(x) x
dx,
0
sen(x) x
dx,
0
sen(x) x
dx
Ejercicio 7 Vamos a estudiar con DERIVE las integrales de la forma
0
xne−xdx.
Empezamos representando las gr´aficas de
x ex^
x^2 ex^
x^3 ex^
x^4 ex^
Comprobar que ∫ (^) ∞
0
x ex^
dx = 1
0
x^2 ex^
dx = 2
0
x^3 ex^
dx = 3!
0
x^4 ex^
dx = 4!
0
x^10 ex^
dx = 10!
2. C´alculo de integrales iteradas
Ejemplo 3 Calcular la integral iterada (^) ∫ 3
0
∫ (^) x
0
(x^2 + y^2 ) dydx
Escribimos en primer lugar la funci´on, x^2+y^ A continuaci´on, pulsamos el icono
y nos aparece una ventana en la que tenemos que especificar la variable
de integraci´on, que en primer lugar ser´a: y. Despu´es, indicar que la integral es definida y escribir los l´ımites de integraci´on inferior: 0 y superior: x. Por ´ultimo, pulsamos S´ı. De esta forma hemos conseguido la integral ∫ (^) x 0 (x
(^2) +y (^2) )dy, sobre esta integral volvemos a pulsar el icono ∫^ y repetimos el proceso con los l´ımites de integraci´on
correspondientes a la variable x. Simplificamos y obtenemos el valor
27
As´ı tambi´en se pueden calcular las integrales triples.
Ejercicio 8 Calcular la integral iterada
∫ (^) a
0
∫ (^) x sin(3x)
−x
(x^2 + y^2 ) sin(y) dydx.
Calcular num´ericamente la integral para a = 1.
y obtendremos 27. An´alogamente para las integrales triples. Por ejemplo para calcular la del ejercicio 3, a) basta hacer triple(1,z,0,xy,y,x^2,x,x,0,1)
Se recomienda curiosear este fichero, para ver mas posibilidades.
Matem´aticas Primero de Grado en CC. Qu´ımicas Pr´actica 5.
1. Sumas y Series
Ejemplo 1 a)Para calcular ∑^10
i=
2 n
basta escribir 1/2^n y hacer: C´alculo, Sumas y Series,Variable n, Definida, L´ımite superior 10, L´ımite inferior 1, Aproximar, y nos da ∑^10
i=
2 n^
b)Tambi´en podemos hallar la suma de los m primeros t´erminos de una serie
∑^ m
i=
2 n^
2 m
c)Y si el l´ımite superior es infinito y la serie es convergente, nos calcula su suma:
∑^ ∞
n=
2 n^
Ejercicio 1 a)Calcular
∑^10
n=
n
∑^100
n=
n
n=
n
n=
n
n=
n
n=
n
∑^ ∞
n=
n
b)Calcular
∑^10
n=
n^2
∑^100
n=
n^2
n=
n^2
n=
n^2
n=
n^2
n=
n^2
∑^ ∞
n=
n^2
c)Calcular
∑^10
n=
n!
∑^100
n=
n!
n=
n!
∑^ ∞
n=
n!
Ejercicio 2 Las series siguientes convergen. Calcula su suma con tres cifras decimales exactas.
∑^ ∞
n=
(n) n!
∑^ ∞
n=
2 n +
(n) n^4 +
(n)
Matem´aticas Primero de Grado en CC. Qu´ımicas Pr´actica 6.
1. Ecuaciones diferenciales de primer orden
- El comando DSOLVE1_GEN(p,q,x,y,c) resuelve la ecuaci´on diferencial de primer orden
p(x, y) + q(x, y)y′^ = 0
utilizando la constante simb´olica c. Este comando puede resolver ecuaciones exactas, lineales, separables, ho- mog´eneas, ecuaciones con factor integrante que dependa s´olo de una de las variables, ecuaciones de Bernoulli, etc.
Si el derive no sabe resolver la ecuaci´on, el comando DSOLVE1_GEN devuelve la palabra inapplicable.
Ejemplo 1 Para resolver la ecuaci´on diferencial
y′^ = y + 7x.
Lo primero que hay que hacer es escribirla de forma que el derive la entienda. Esto es,
−y − 7 x + y′^ = 0,
de esta forma la funci´on p(x, y) = −y − 7 x y la funci´on q(x, y) = 1. Por tanto ejecutando el comando DSOLVE1_GEN(-y-7x,1,x,y,c), obtenemos
e−x(7x + y + 7) = c
Si queremos la soluci´on de forma expl´ıcita, se usa Resolver -> Expresi´on eligiendo la variable y. En nuestro caso se obtiene y = cex^ − 7 x − 7.
Ejercicio 1 Calcular la soluci´on general de la siguientes ecuaciones
a) y′^ =
y^2 + y x^2 − x
b) (x^3 + y^4 ) dx + (8xy^3 ) dy = 0 c) y′^ =
x − 5 y y − 5 x
d) xy^2 y′^ + y^3 = x cos(x)
- El comando DSOLVE1(p, q, x, y, x0, y0) es similar a DSOLVE1_GEN, pero nos da la soluci´on particular para la condici´on inicial y(x0)=y0.
Ejemplo 2 Para resolver el problema de valor inicial
{ 2 x − (y + x^2 y)y′^ = 0 y(0) = − 2
se ejecuta el comando DSOLVE1(2x, -(y+x^2y), x, y, 0, -2), para obtener la soluci´on
e−^
y^2 (^2) (x^2 + 1) = e−^2.
Ejercicio 2 Resolver y dibujar las soluciones de los siguientes problemas de valor inicial
a)
y′^ = (2 − 3 y)(4 − y) y(0) = 1/ 2 b)
y′^ = ex^ − y y(0) = 2 c)
y′^ = cos(x)y + 1 y(0) = 10
2. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden
- El comando DSOLVE2(p,q,r,x) resuelve la ecuaci´on diferencial
y′′^ + p(x)y′^ + q(x)y = r(x)
Si el derive no sabe resolver la ecuaci´on diferencial obtendremos inapplicable.
Ejemplo 3 Para resolver la ecuaci´on y′′^ + 4y = sen(2x),
ejecutamos el comando DSOLVE2(0,4,sin(2x),x) para obtener:
sen(2x) cos(4x) 16
cos(2x) sen(4x) 16
(4c 1 − x) cos(2x) 4
Que quiere decir que la soluci´on de la ecuaci´on es:
y(x) = −
sen(2x) cos(4x) 16
cos(2x) sen(4x) 16
(4c 1 − x) cos(2x) 4
Obs´ervese que al ser la ecuaci´on diferencial de segundo orden,la soluci´on general depende de dos constantes arbi- trarias c 1 y c 2.
Ejemplo 4 Para resolver la ecuaci´on
y′′^ +
x y′^ + y =
x
ejecutamos el comando DSOLVE2(2/x,1,1/x,x) para obtener:
c 1 cos(x) x
x
Ejemplo 5 Para resolver la ecuaci´on y′′^ + x^2 y = 0,
ejecutamos el comando DSOLVE2(0,x^2,0,x) para obtener:
innaplicable
Que quiere decir que el derive no sabe resolver la ecuaci´on diferencial.
Ejercicio 3 Calcular la soluci´on general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) y′′^ + y′^ − 6 y = 0 b) y′′^ + y′^ − 6 y = 2x^3 + 3 c) y′′^ + y′^ − 6 y = cos(3x)
