Manual de Limite y Continuidad, Transcripciones de Matemáticas

¡Descarga Manual de Limite y Continuidad y más Transcripciones en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

UNIDAD 1

LÍMITES Y CONTINUIDAD

MSc. Vielka Lagares Hernández Septiembre 2020

CONTENIDO

• 1. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE
• 2. DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE
  • 2.1 Cálculo analítico de límites
  • 2.2 Limite de funciones especiales
  • 2.3 Limites que involucran funciones trigonométricas
• 3. LIMITES LATERALES
• 4. LIMITES AL INFINITO. LIMITES INFINITOS
  • 4.1 Límites al infinito
  • 4.2 Límites infinitos
    • 4.2.1 Propiedades de los límites infinitos
  • 4.3 Asíntotas verticales y horizontales
• 5. CONTINUIDAD
  • 5.1 Definición de continuidad
  • 5.3 Propiedades de la continuidad
  • 5.4 Continuidad de funciones especiales............................................................................................
  • 5.5 Continuidad en un intervalo cerrado
  • 5.6 Continuidad en un intervalo cerrado

Utilizando la notación que se emplea para los límites, podemos escribir:

lim 𝑥→

𝑥^3 − 1

Incluso si factorizamos la expresión podemos llegar a la misma conclusión:

lim 𝑥→

𝑥^3 − 1

𝑥 − 1 = lim^ 𝑥→

(𝑥 − 1)(𝑥^2 + 2𝑥 + 1)

𝑥 − 1 = lim( 𝑥→1^ 𝑥

Este análisis conduce a una descripción informal o intuitiva de límite.

SIGNIFICADO INTUITIVO DE LÍMITE

Si 𝑓(𝑥) se acerca arbitrariamente a un número 𝐿 cuando 𝑥 se aproxima a 𝑐 por cualquiera de los dos lados, entonces el límite de 𝑓(𝑥) , cuando 𝑥 se aproxima a 𝑐 es 𝐿. Esto es:

𝑥^ lim→𝑐 𝑓(𝑥)^ =^ 𝐿

Como se puede ver en esta definición, no pedimos nada en 𝑥 = 𝑐 , incluso la función no necesita estar definida en 𝑐 como fue el ejemplo anterior. La noción de límite está asociada con el comportamiento de una función cuando 𝑥 está cerca de 𝑐, pero no en 𝑐.

Ejemplo:

1. Encontrar el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 se aproxima 2, donde 𝑓 se define como:

𝒇(𝒙) = {𝟏,𝟐 , 𝒙 = 𝟐𝒙 ≠ 𝟐

Como se puede observar en la figura y en la función, para cualquier valor de 𝑥 ≠ 2, el valor de la función es 1. Si nos acercamos por la derecha y por izquierda, veos que 𝑓(𝑥) se acerca a 1. Por tanto podemos concluir que:

lim 𝑥→2 𝑓(𝑥) = 1

Comportamientos asociados a la no existencia de un límite:

a. 𝑓(𝑥) se aproxima a números diferentes por la derecha de 𝑐 y por la izquierda de 𝑐. b. 𝑓(𝑥) aumenta o disminuye sin límite a medida que 𝑥 se acerca a 𝑐. c. 𝑓(𝑥) oscila entre dos valores fijos a medida que 𝑥 se aproxima a 𝑐.

Ejemplos :

1. Verificar que el siguiente limite no existe. Caso a.

𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎

Si aplicamos la definición de valor absoluto:

|𝑥| = { −𝑥,𝑥,^ 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0𝑠𝑖 𝑥 < 0

De aquí:

|𝑥| 𝑥 = {

2. DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE

DEFINICIÓN FORMAL DE LIMITE

Sea 𝑓 una función definida en un intervalo abierto que contiene a 𝑐 (salvo posiblemente en 𝑐) y 𝐿 un número real. La afirmación:

𝑛^ lim→∞ 𝑓(𝑥)^ =^ 𝐿

Significa que para cada 𝜀 > 0 existe un 𝛿 > 0 tal que si:

0 < |𝑥 − 𝑐|^ < 𝛿 → |𝑓(𝑥)^ − 𝐿|^ < 𝜀

Para entender esta definición vamos a relacionar el significado intuitivo con la siguiente imagen:

En el significado intuitivo decíamos:

Si 𝒇(𝒙) se acerca arbitrariamente a un número 𝑳 cuando 𝑥 se aproxima a 𝑐 por cualquiera de los dos lados, entonces el límite de 𝑓(𝑥) , cuando 𝒙 se aproxima a 𝒄 es 𝐿. Esto es:

lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝐿

En la gráfica, sea 𝜀(é𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛) un numero positivo (pequeño), entonces la frase¨ 𝒇(𝒙) se acerca arbitrariamente a un número 𝑳 ¨ significa que 𝑓(𝑥) pertenece al intervalo(𝐿 − 𝜀, 𝐿 + 𝜀). Si usamos la notación de valor absoluto significa:

|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀

Del mismo modo, la frase ¨cuando 𝒙 se aproxima a 𝒄 ¨ significa que existe un numero positivo 𝛿 tal que x pertenece al intervalo (𝑐 − 𝛿, 𝑐)^ o bien al intervalo (𝑐, 𝑐 + 𝛿)^. Esto puede expresarse como:

0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿

La primera desigualdad:

0 < |𝑥 − 𝑐|, distancia entre 𝒙 y 𝒄 es mayor que 𝟎.

Expresa que 𝑥 ≠ 𝑐. La segunda desigualdad:

|𝑥 − 𝑐| < 𝛿 𝒙 está a menos de 𝜹 unidades de 𝒄.

Indica que 𝑥 está a una distancia de δ menor que 𝑐.

Tomar en cuenta que el número real 𝜀 se debe dar primero, el número δ debe producirse y por lo regular depende de 𝜀.

Ejemplos:

Demuestre que:

𝐚. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑(𝟑𝒙 − 𝟕) = 𝟐

Necesitamos encontrar un 𝛿 tal que:

0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀

Sustituyendo con los valores del límite:

0 < |𝑥 − 3| < 𝛿 (1) → |(3𝑥 − 7) − 2| < 𝜀 (2)

A partir de (2):

|(3𝑥 − 7) − 2| = |3𝑥 − 9| = |3(𝑥 − 3)| = |3||(𝑥 − 3)| < 𝜀 (3)

|3||(𝑥 − 3)| < 𝜀, |𝑥 − 3| <

Haciendo coincidir (1) con (4);

0 < |𝑥 − 3| < 𝛿 → 0 < |𝑥 − 3| <

Tenemos:

𝛿 =

Como (𝑥 − 3) está en la expresión (1), debemos acotar a (𝑥 + 4):

Para esto hacemos 𝛿 ≤ 1, entonces podemos escribir:

|𝑥 + 4| = |𝑥 − 3 + 7| ≤ |𝑥 − 3| + |7| ≤ 1 + 7 ≤ 8

De esta manera tomamos 𝛿 = 𝑚𝑖𝑛 (1, 𝜀 8 )

|(𝑥^2 + 𝑥 − 5) − 7| = |(𝑥^2 + 𝑥 − 12| = |(𝑥 + 4)(𝑥 − 3)| = |𝑥 + 4||𝑥 − 3| < 8 (𝜀 8 ) = 𝜀

2.1 Cálculo analítico de límites

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES:

Sea 𝑛 un entero positivo, 𝑘 una constante y 𝑓 y 𝑔 funciones que tengan limites en 𝑐. Entonces :

1. 𝑥 lim→𝑐 𝑘 = 𝑘

2. 𝑥 lim→𝑐 𝑥 = 𝑐

3. 𝑥 lim→𝑐 𝑘𝑓(𝑥)^ = 𝑘 lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥)

4. lim 𝑥→𝑐[𝑓(𝑥)^ + 𝑔(𝑥)]^ = (^) 𝑥lim→𝑐 𝑓(𝑥)^ + lim 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥)

5. lim 𝑥→𝑐[𝑓(𝑥)^ − 𝑔(𝑥)]^ = (^) 𝑥lim→𝑐 𝑓(𝑥)^ − lim 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥)

6. lim 𝑥→𝑐 [𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) ∙ lim 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥)

7. lim 𝑥→𝑐 [

𝑔(𝑥)]^ =

lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) lim 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥) ,^ 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒^ 𝑞𝑢𝑒^ lim^ 𝑥→𝑐^ 𝑔(𝑥)^ ≠^0

(^8) 𝑥. lim→𝑐 [𝑓(𝑥)]𝑛^ = [lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥)]

𝑛

9. 𝑥 lim→𝑐 𝑛√^ 𝑓(𝑥)= 𝑛√^ 𝑥lim→𝑐 𝑓(𝑥), 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) > 0 , 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟

Demostración:

Sea 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒇(𝒙) = 𝑳 y 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒈(𝒙) = 𝑲

Para demostrar 1 y 2 vamos a comenzar con demostrar que:

𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 (𝒎𝒙 + 𝒃) = 𝒎𝒄 + 𝒃

Necesitamos encontrar un 𝛿 tal que:

0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀

Entonces:

0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 (1) → |(𝑚𝑥 + 𝑏) − (𝑚𝑐 + 𝑏)| < 𝜀

Haciendo coincidir (1) con (3);

0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 → 0 < |𝑥 − 𝑐| <

Tenemos:

𝛿 =

Sustituyendo en (2):

|(𝑚𝑥 + 𝑏) − (𝑚𝑐 + 𝑏)| = |𝑚𝑥 + 𝑏 − 𝑚𝑐 − 𝑏| = |𝑚(𝑥 − 𝑐)| = |𝑚| (

Para 1, 𝒎 = 𝟎

𝟏. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒌 = 𝒌

Esto último es menor que 𝜀, por tanto podemos escoger cualquier 𝛿.

0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 Implica que:

|[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] − (𝐿 + 𝐾)| = |𝑓(𝑥) − 𝐿| + |𝑔(𝑥) − 𝐾| < 𝜀 ⁄ 2 + 𝜀 ⁄ 2 = 𝜀

Entonces como:

0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 Implica que |[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] − (𝐿 + 𝐾)| < 𝜀

Se cumple que:

lim 𝑥→𝑐[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) + lim 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥) = 𝐿 + 𝐾

La propiedad 5 se demuestra similar a esta última

𝟔. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 [𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙)] = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒇(𝒙) ∙ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒈(𝒙) = 𝑲𝑳

Podemos escribir:

𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = [𝑓(𝑥) − 𝐿][𝑔(𝑥) − 𝐾] + [𝐿 𝑔(𝑥) + 𝐾 𝑓(𝑥)] − 𝐿𝐾 (1)

Procedemos a buscar el límite de cada parte de la expresión anterior.

Como el límite de 𝑓(𝑥) es 𝐿 y el límite de 𝑔(𝑥) es 𝐾, pues:

lim 𝑥→𝑐(𝑓(𝑥) − 𝐿) = 0 𝑦 lim 𝑥→𝑐(𝑔(𝑥) − 𝐾) = 0

Sea 𝜀 > 0 , entonces existe 𝛿 > 0 tal que si:

0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 , entonces:

|𝑓(𝑥) − 𝐿 − 0| < 𝜀 𝑦 |𝑔(𝑥) − 𝐾 − 0| < 𝜀

Lo cual implica que:

|[𝑓(𝑥) − 𝐿][𝑔(𝑥) − 𝐾] − 0| = |𝑓(𝑥) − 𝐿||𝑔(𝑥) − 𝐾| < 𝜀𝜀 < 𝜀

Por tanto:

𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 [𝒇(𝒙) − 𝑳][𝒈(𝒙) − 𝑲] = 𝟎

Además por la propiedad 1, sabemos que:

𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝑳𝒈(𝒙) = 𝑳𝑲 𝒚 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝑲𝒇(𝒙) = 𝑲𝑳

Por la propiedad 2 se tiene que aplicando límite en (1):

lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = lim 𝑥→𝑐[𝑓(𝑥) − 𝐿][𝑔(𝑥) − 𝐾] + lim 𝑥→𝑐 𝐿𝑔(𝑥)^ + lim 𝑥→𝑐 𝐾𝑓(𝑥) − lim 𝑥→𝑐 𝐾𝐿

lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = 0 + 𝐿𝐾 + 𝐾𝐿 − 𝐾𝐿

𝟕. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 [

𝒈(𝒙)] =

𝑲 , 𝒔𝒊𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝐥𝐢𝐦^ 𝒙→𝒄^ 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎

Para demostrar 7 vamos a demostrar primero que:

lim 𝑥→𝑐 [

𝑔(𝑥)] =

Sea 𝜀 > 0. Como lim 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥) = 𝐾, entonces existe 𝛿 1 > 0 tal que si:

0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 1 , entonces |𝑔(𝑥) − 𝐾| < |𝐾| ⁄ 2

Lo cual implica que:

|𝐾| = |𝑔(𝑥) + [𝐾 − 𝑔(𝑥)]| ≤ |𝑔(𝑥)| + |𝐾 − 𝑔(𝑥)| < |𝑔(𝑥)| + |𝐾| ⁄ 2

Esto es, si 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 1 ,

|𝐾| 2 < |𝑔(𝑥)|,^ 𝑜^

|𝑔(𝑥)| <^

De manera semejante, existe 𝛿 2 > 0 tal que si:

0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 2 , entonces

|𝑔(𝑥) − 𝐾| < |𝑘|

2 2 𝜀

Sea 𝛿 el menor entre 𝛿 1 y 𝛿 2. Si 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿, tenemos que:

|

𝑔(𝑥)𝐾 | =^

|𝐾| ∙^

|𝑔(𝑥)| |𝐾 − 𝑔(𝑥)| <^

|𝐾| ∙^

|𝑘|^2

Por tanto:

lim 𝑥→𝑐 [

𝑔(𝑥)] =

Y así empleando la propiedad 3 podemos escribir:

lim 𝑥→𝑐 [

𝑔(𝑥)] = lim^ 𝑥→𝑐^ (𝑓(𝑥) ∙^

𝑔(𝑥)) = lim^ 𝑥→𝑐^ 𝑓(𝑥) ∙ lim^ 𝑥→𝑐

Las propiedades 8 y 9 se deducen de la propiedad 3.

2.2 Limite de funciones especiales

LIMITES DE FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES.

Si 𝑝 es una función polinomial y 𝑐 es un número real, entonces:

lim 𝑥→𝑐 𝑝(𝑥)^ = 𝑝(𝑐).

Si 𝑟 es una función racional dada por 𝑟(𝑥)^ = 𝑝 𝑞((𝑥𝑥)) y 𝑐 es un número real, tal que

𝑞(𝑥)^ ≠ 0 , entonces:

lim 𝑥→𝑐 𝑟(𝑥) = 𝑟(𝑐) = 𝑝 𝑞((𝑐𝑐)).

Ejemplos:

Resuelva los siguientes límites tomando en consideración el teorema anterior.

𝐚. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐

𝟔𝒙𝟒^ − 𝟑𝒙𝟐^ + 𝟐𝒙 − 𝟑

𝟐𝒙𝟐^ + 𝒙 + 𝟕

lim 𝑥→

6𝑥^4 − 3𝑥^2 + 2𝑥 − 3

2𝑥^2 + 𝑥 + 7 = lim^ 𝑥→

6(2)^4 − 3(2)^2 + 2(2) − 3

2(2)^2 + 2 + 7 =

𝐛. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟒 (𝟑𝒙𝟑^ + 𝟗𝒙𝟐^ − 𝟐𝒙)

lim 𝑥→4(3𝑥^3 + 9𝑥^2 − 2𝑥) = 3(4)^3 + 9(4)^2 − 2(4) = 328

√𝒙𝟑^ − 𝟑

lim 𝑥→

√𝑥^3 − 3

√(4)^3 − 3

√(4)^3 − 3

LIMITE DE UNA FUNCION RADICAL:

Si 𝑛 es un entero positivo. El siguiente límite es válido para toda 𝑐 si n es impar y para 𝑐 > 0 si 𝑛 es par:

𝑥^ lim→𝑐 𝑛√^ 𝑥=^ 𝑛√𝑐

Demostración:

Consideremos que 𝑐 > 0 y 𝑛 es un entero positivo. Para un 𝜀 > 0, hay que encontrar un 𝛿 > 0, tal que:

0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 , entonces: | √𝑥𝑛^ − √𝑐𝑛^ | < 𝜀

Esto es equivalente a:

−𝛿 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿, − 𝜀 < 𝑛√𝑥^ − √𝑐𝑛^ < 𝜀

Supongamos que 𝜀 < √𝑐𝑛^ , lo cual implica que 0 < √𝑐𝑛^ − 𝜀 < √𝑐𝑛^. Sea ahora 𝛿, el menor de los dos números:

𝑐 − ( √𝑐𝑛^ − 𝜀)𝑛^ 𝑦 ( √𝑐𝑛^ + 𝜀)𝑛^ − 𝑐

Entonces se tiene:

−𝛿 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿

− [𝑐 − ( √𝑐𝑛^ − 𝜀)𝑛^ ] < 𝑥 − 𝑐 < [( √𝑐𝑛^ + 𝜀)𝑛^ − 𝑐]

Sumando c:

( √𝑐𝑛^ − 𝜀)𝑛^ < 𝑥 < ( √𝑐𝑛^ + 𝜀)𝑛

Aplicando raíz n-ésima:

( √𝑐𝑛^ − 𝜀) < √𝑥𝑛^ < ( √𝑐𝑛^ + 𝜀)

Restando 𝑛√𝑐^ :

−𝜀 < √𝑥^ 𝑛^ − √𝑐^ 𝑛^ < 𝜀

𝒃. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟒 √𝟐𝒙^ 𝟑 𝟐^ − 𝟐𝟒

Como lim 𝑥→4(2𝑥^2 − 20) = 2(4)^2 − 24 = 8 y

lim 𝑥→8 √𝑥^3 = √8^3 = 2

Entonces:

lim 𝑥→4 √2𝑥^32 − 24 = 2

FUNCIONES QUE COINCIDEN EN TODO SALVO UN PUNTO

Sea 𝑐 un número real y 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) para todo 𝑥 ≠ 𝑐 en un intervalo abierto que contiene a c. se existe el límite 𝑔(𝑥) cuando 𝑥 se aproxima a 𝑐, entonces también existe el límite de 𝑓(𝑥) y lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥)^ = lim 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥)

Demostración:

Sea 𝐿 el límite de 𝑔(𝑥) cuando 𝑥 → 𝑐. Entonces, para todo 𝜀 > 0 existe un 𝛿 > 0 tal que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) en los intervalos abiertos (𝑐 − 𝛿, 𝑐) y (𝑐, 𝑐 + 𝛿) y

|𝑔(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 siempre que 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿

Como 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) para todo 𝑥 en el intervalo abierto distinto de 𝑥 = 𝑐, se sigue que:

|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 siempre que 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿

Por tanto, el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 → 𝑐 es también 𝐿.

Ejemplos:

Encuentre el valor del límite:

𝒂. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−𝟑

𝒙𝟐^ + 𝒙 − 𝟔

𝒙𝟐^ − 𝟗

𝑥→−3^ lim

𝑥^2 + 𝑥 − 6

𝑥^2 − 9 =

(−3)^2 + (−3) − 6

(−3)^2 − 9 =

Como el límite da una forma indeterminada podemos factorizar tanto en el numerador como en el denominador:

𝑥→−3^ lim

𝑥^2 + 𝑥 − 6

𝑥^2 − 9 =^ 𝑥→−3lim

(𝑥 + 3)(𝑥 − 3) = lim^ 𝑥→−

𝐛. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟒^ √𝒙 + 𝟓 − 𝟑𝒙 − 𝟒

𝑥→4^ lim

𝑥 − 4 = lim 𝑥→

Podemos intentar racionalizar:

𝑥→4^ lim

𝑥 − 4 = lim 𝑥→4 [

] = lim 𝑥→4 [

(√𝑥 + 5)^2 − (3)^2

]

= lim 𝑥→4 [

] = lim 𝑥→

𝒙𝟐^ + 𝟐𝒙

𝑥→0^ lim

𝑥^2 + 2𝑥 =^

(0)^2 + 2(0) =

Factorizando:

𝑥→0^ lim

𝑥^2 + 2𝑥 = lim^ 𝑥→

𝑥(𝑥 + 2) = 3 lim^ 𝑥→

(𝑥 + 2) = 3 (^