Universidad de la Frontera
Facultad de Ingeniería y Ciencias
Departamento de Matemática y Estadística
Preparación Prueba 2
1. Máximos y mínimos
Tenemos tres tipos de problemas: Extremos libres, extremos con restricciones de igualdad, extremos con restriccio-
nes en un conjunto cerrado y acotado (compacto)
1.0.1. Extremos libres (sin restricciones)
1. Hallar puntos críticos y determinar su naturaleza para
f(x, y) = x2+y2+x+y+xy sol. (−1
3,−1
3)
1.1 Extremos con restricciones de igualdad
1. Hallar los valores mayores y menores que toma la función f(x, y) = xy sobre la elipse x2
8+y2
2= 1
sol. (±2,−1),(±2,−1). Los valores extremos son 2 y -2.
2. Hallar el mínimo del campo escalar f(x, y, z) = x2+y2+z2sujeto a la restricción x+y+z= 1. Resp. (1
3,1
3,1
3)
1.2 Extremos en compactos
1. Encontrar máximos y mínimos absolutos de la función f(x, y) = x2+y2−xy −x−yen el recinto
A={(x, y)∈R2/ x ≥0, y ≥0, x +y≤3}
sol. (3,0) y(0,3) max abs. (1,1) es min abs
2. Área y volumen con integrales dobles
1. Escribir la integral doble que entrega el área de la región que acotan
R={x= 3, y = 0, x =−1, y =x+ 2}
2. Hallar el área de la elipse 9x2+ 25y2= 225 por integración doble. Resp. A= 15π
3. Calcular la integral, sobre el recinto Rdado
ZZR
(x2+ 5y2)dxdy, R ={(x, y)∈R2/ y ≥0,4≤x2+y2≤16}
Resp. 180π
4. Hallar el volumen del sólido limitado por z= 4 −x2−2y2y el plano z= 2. Resp. π√2
5. Hallar el volumen del sólido limitado por z=x2+y2y el plano z= 9. Resp. 81π
2
6. Hallar el volumen del sólido limitado por la esfera x2+y2+z2= 4 y el cilindro x2+ (y−1)2= 1, con z≥0.
Resp. 16π
3
7. Hallar el volumen dentro del cilindro x2+y2= 9, bajo el paraboloide z=x2+y2y sobre el plano xy. Resp.
A=81π
2
8. Hallar el volumen del sólido limitado por el cilindro x2+y2= 4 y los planos y+z= 4,z= 0.
Resp. A= 16π
9. Hallar el volumen limitado por el paraboloide x2+y2= 4z, el cilindro x2+y2= 8yy el plano z= 0.
Resp. A= 96π
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