¡Descarga Pdf apuntes de extremos maple y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
EEBE - Càlcul - Pràctiques Maple
Pràctica de Càlcul Diferencial resolta
Derivades
Exercicis proposats
1.-Càlcul de derivades
2.-Creixement i curvatura
3.-Gràfics: interpretació
4.-Extrems locals Ajudant-vos del gràfic i els càlculs que considereu oportuns determineu els punts crítics i els
extrems locals de la funció f x = x^2 6 K x
3 . restart: Utilitzem surd(...,n) per indicar les arrels n-èsimes en les funcions. f := x -> surd(x^2(6-x),3);*
f d x 1 x^2 6 K x
3
Comprovem que la funció és contínua arreu i fem el gràfic per tenir una idea del resultat. iscont(f(x),x=-infinity..infinity); true
plot(f(x),x=-10..10);
x
K 10 K 5 5 10
K 6
K 4
K 2
Del gràfic podem intuir que a x = 0 la funció no és derivable i és un mínim local, i també apareix un màxim local entre x = 0 i x = 6. Calculem analíticament els punts crítics: df:=diff(f(x),x);
df d
2 x 6 K x K x^2 x^2 6 K x
3
x^2 6 K x
solve(df=0,x); 4, 6, 0
Tenim tres punts crítics, 0, 4 i 6, però observeu que en els punts x = 0 i x = 6 la derivada no està ben definida. Comprovem que efectivament en aquest dos punts la funció f x no és derivable, primer substituint directament els valors a l'expressió de la derivada, i després calculant la derivada en aquests punts amb la definició.
subs(x=0,df); subs(x=6,df); Error, numeric exception: division by zero Error, numeric exception: division by zero El Maple avisa que estem dividint per zero. Apliquem ara la definició de derivada en aquests dos punts.
limit((f(0+h)-f(0))/h,h=0); undefined
limit((f(0+h)-f(0))/h,h=0,left); limit((f(0+h)-f(0))/h,h=0, right);
KN N
Efectivamet x= 0 és un punt crític on no existeix la derivada, ja que les derivades laterals valen ∞. Repetim el mateix procés amb x= 6.
limit((f(6+h)-f(6))/h,h=0);
KN
El punt x=6 és un punt crític on tampoc existeix la derivada.
Resumint, hem trobat 3 punts crítics: 4 (de derivada zero), 0 i 6 (no tenen derivada). Ara aplicarem el criteri de la primera derivada per determinar si són extrems. Per fer-ho, dividim la recta real amb els punts crítics (-∞,0), (0,4), (4,6), (6,∞), i mirem el signe de la derivada avaluant un punt de cada subinterval.
D(f)(-1); D(f)(1); D(f)(5); D(f)(7);
K
5 7^1
3 5^1
K
K
3 7^2
En x= 0 té un mínim relatiu (la derivada a l'esquerra és negativa i a la dreta positiva)
En x= 4 té un màxim relatiu (la derivada a l'esquerra és positiva i a la dreta negativa)
