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Tipo: Apuntes
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¡No te pierdas las partes importantes!
¿ Qué es una ecuación?
Observen las siguientes ecuaciones:
a. ¿Qué particularidad tienen estas ecuaciones?
b. ¿Cómo se llaman este tipo de ecuaciones?
c. ¿serán las soluciones números reales o números
complejos?
d. ¿Cómo serán las soluciones?
¿Cómo obtenemos la solución de las ecuaciones diferenciales?
( )
2
2
2
2x 1 0
x x 2 0
x 4 0
dy 3dx
dy 1
dx 2
x
y
xdx ydy 0
y' y 0
− =
− =
=
=
=
= −
− =
Sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables
dependientes con respecto a una sola variable independiente.
2
dy
3xy x 2
dx
− = +
(x − 2y + 3)dx + (2x + y + 1)dy = 0
Ejemplos:
Contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes
con respecto a dos o más variables independientes.
2
u u u
3 0
x y x y
− =
2 3
2
u u u
3x xyz
x y x y z
− + =
Ejemplos :
El orden de una ecuación diferencial le corresponde al de la derivada
de mayor orden que aparece en dicha ecuación.
Ejemplos:
2
dy
3xy x 2
dx
− = +
(x − 2y + 3)dx + (2x + y + 1)dy = 0
3xy'' + 2y' − 4y =Sen(x)
2
u u u
3 0
x y x y
− =
2 3
2
u u u
3x xyz
x y x y z
2x 2
y''' − 2y'' + 5y = 4e − 3x + 1
Se clasifican en ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.
Las ecuaciones diferenciales lineales de orden n son todas aquellas que
pueden expresarse de la siguiente forma:
( )
n (n 1)
n n 1 2 1 0
a (x)y (x) a (x)y (x) .... a (x)y''(x) a (x)y'(x) a (x)y(x) f(x)
−
−
( )
( )
( )
i
Sí f x 0, EDO Homogénea
Sí f x 0, EDO no Homogénea
Sí a x , i 0,1,2,....,n son todos valores cons tantes , es una EDO de coeficientes cons tantes, caso contrario es de coeficientes variables
Propiedades :
i) Variable dependiente y y
=
=
todas sus derivadas son de primer grado
ii) Los coeficientes dependen solamente de la variable independiente x
iii) Sí no cumple lo anterior será una ecuación no lineal
Ejemplos:
2
2 2
2
d y dy
x 2 x y cos(x) x
dx dx
2
2
d y dy
3 sen(y)
dx dx
2
3
2
d y
x cos(x)y 0
dx
Definición:
Cualquier función definida en un intervalo I que posee al menos n
derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial
ordinaria de orden n reducen la ecuación a una identidad, es una solución de
la ecuación en el intervalo I.
Ejemplos:
( )
2 2
2 2
x
y
La solución general de una ecuación diferencial es el resultado de
integrar los términos de una ecuación diferencial.
Para poder integrar debemos tener variables iguales a la variable del
diferencial.
No siempre se cumple esta condición, es entonces que aplicaremos
“Métodos para la obtención de la solución general” con los cuales
transformaremos la ecuación de tal forma que todos los términos
contengan variables iguales a la variable del diferencial con lo cual ya
podremos integrar.
