¡Descarga EOQ con descuentos por volumen: cálculo del tamaño óptimo de pedidos y stock - Prof. 151 y más Apuntes en PDF de Industria y Comercio solo en Docsity!
Modelos EOQ con descuentos por
volumen, POQ y con TS aleatorio
Departamento de Organización de Empresas - UCM
7 de noviembre de 2017
1. Modelo EOQ con descuentos por volumen
En un modelo EOQ simple los costes totales asociados al stock, CT, dependen del volumen de pedido, Q. La función CT (Q) tiene forma de U y el objetivo es encontrar su mínimo, es decir, encontrar el volumen de pedido, Q∗, que nos permite obtener los menores costes totales. Ese será el tamaño económico de pedido. Se tiene que CT (Q) = D · P + E ·
D Q
- (A + P i) · Q 2 , lo que indica que los costes totales dependen del precio unitario de compra P (cosa lógica). Con frecuencia ocurre que el proveedor nos ofrece descuentos, precios más bajos, si los volúmenes de los pedidos son grandes. Puede ocurrir, por ejemplo, que el precio unitario sea en principio de P 1 =
- 5 ¤/ud, pero que si el tamaño del pedido es de 2500 unidades o más el precio sea de P 2 = 2. 3 ¤/ud, y si es de 3500 unidades o superior, el precio sea de P 3 = 2. 1 ¤/ud. En este caso tenemos tres precios distintos, con lo que habrá tres curvas de costes totales distintas. Cuanto menor sea el precio, menor será el coste total y más hacia abajo estará la correspondiente curva de costes totales. Esto se puede ver en la gura 1, en la que la curva CT 1 correspondería al precio P 1 , la CT 2 al precio P 2 y la CT 3 al precio P 3. En un caso como éste se debe tener en cuenta que las curvas de costes totales sólo son factibles, sólo se pueden alcanzar esos costes totales, en un tramo determinado. Por ejemplo, los costes correspondientes a la curva CT 2 sólo se pueden alcanzar si el tamaño del pedido es Q ≥ 2500 unidades, y los costes correspondientes a la curva CT 3 sólo se pueden alcanzar si el tamaño del pedido es Q ≥ 3500 unidades. Esto se re eja en la gura 2, que muestra claramente que la función de costes totales está de nida por tramos, lo que complica el cálculo del tamaño económico de pedido Q∗.
Figura 1: Curvas de costes totales dependiendo del precio de adquisición
30000
35000
40000
45000
50000
55000
Modelo EOQ con descuentos por volumen
Q
COSTE TOTAL
1500 2500 3500 4500
CT (^1)
CT (^2)
CT (^3)
Para calcular ese tamaño económico de pedido, Q∗, tenemos que calcular el menor coste total que sea factible para cada una de las curvas de costes totales. Esto lo haremos partiendo de la curva de más abajo (la correspondiente al menor precio) y yendo hacia arriba, hacia las que corresponden a precios superiores. El menor coste total de una curva corresponderá a su EOQ calculado con la expresión habitual Q∗^ =
2 DE (A+P i) si este punto es factible, es decir, si con ese valor para el tamaño del pedido se puede conseguir el precio de adquisición correspondiente a la curva, o si no, corresponderá al menor valor de Q que permite alcanzar ese precio. Por ejemplo, para la curva CT 3 su menor coste total será el correspondiente a Q∗ 3 , es decir, CT 3 (Q∗ 3 ) si este punto es factible, es decir si Q∗ 3 ≥ 3500 , o si no lo es, será CT 3 (3500). Para la curva CT 2 su menor coste total será el correspondiente a Q∗ 2 , es decir, CT 2 (Q∗ 2 ) si este punto es factible, es decir si Q∗ 2 ≥ 2500 , o si no lo es, será CT 2 (2500). Así sucesivamente calcularemos, yendo de abajo hacia arriba, el menor coste total que sea factible para cada curva, y luego compararemos esos costes totales para quedarnos con el menor. Si para alguna curva su menor coste factible corresponde a su EOQ, es decir, al Q∗^ de esa curva, podemos descartar todas las otras curvas por encima de ella, porque siempre tendrán costes totales mayores.
no será el tamaño teórico Q, sino que dependerá de cómo haya sido el consumo del producto, si el consumo es alto el tamaño del pedido será mayor.
En el caso de un modelo POQ el tamaño del pedido será el necesario para reponer el stock. Para ello se suele jar un nivel de inventario, S, denominado nivel de reposición (restocking level ), de manera que el volumen de cada pedido debe ser el necesario para que se alcance ese nivel de reposición. El nivel de reposición suele incluir un stock de seguridad (safety stock ), SS, de forma que el nivel de reposición será el consumo (teórico) durante el ciclo, d × T (^) R∗, más el stock de seguridad SS. Se tiene entonces que:
S = d × T (^) R∗ + SS
Cuando llega el momento de hacer un pedido su tamaño va a ser lo que en este momento nos falta para reponer el nivel S (es decir, el nivel de reposición menos el stock actual), más lo que vamos a consumir hasta que llegue el pedido (que será d × TS ):
Q = (S − stock actual) + (d × TS )
La evolución del stock en un modelo de este tipo se representa en la gura 3.
Figura 3: Evolución del stock en un modelo POQ
Se tiene que el stock medio en este modelo va a ser:
stock medio =
Q
2 +^ SS
Teniendo en cuenta que TR es el tiempo que tardamos en consumir un pedido de tamaño Q, tendremos que si d es el consumo diario y D es el consumo anual (o durante el periodo de gestión) resultará que el valor de TR se puede poner como:
TR = Qd (en días) TR = QD (en años o periodos de gestión)
Esto signi ca que Q = D · TR. Además, como el número de pedidos en el periodo de gestión es D/Q, tendremos que:
nº de pedidos en el periodo de gestión =
D
Q =^
TR
El cálculo de T (^) R∗, que es el valor óptimo de TR, lo podemos hacer minimizando los costes totales relacionados con el stock, que son como siempre la suma de los costes de adquisición, los de emisión de pedidos y los de almacenamiento. Lo que tenemos que hacer es poner esos costes totales en función de TR en lugar de de Q (para eso tenemos en cuenta la relación Q = D · TR):
Costes de adquisición: D × P Costes de emisión de pedidos: E × nº de pedidos = E · DQ = (^) TER
Costes de almacenamiento: A × stock medio = A ·
( Q
2 +^ SS
= A ·
( D·T
2 R+^ SS
Sumando los tres costes anteriores se obtiene que:
CT = D · P + E TR
+ A ·
D · TR
+ SS
Derivando CT con respecto a TR e igualando a cero obtenemos una ecuación que nos proporciona el valor buscado T (^) R∗, que será:
T (^) R∗ (en años) =
2 E
DA
En esta ecuación A es el coste de almacenamiento anual (o por periodo de gestión) y D es la demanda anual (o por periodo de gestión). El resultado T (^) R∗ es un tiempo que estará en años (o periodos de gestión).
el siguiente pedido. Sin embargo, ahora puede ocurrir que el tiempo de suministro real TS sea mayor que el esperado T¯S (de hecho el 50 % de las ocasiones ocurrirá así), con lo que el pedido llegará más tarde de lo previsto e incurriremos en una rotura de stock. En la gura 4 el tiempo de suministro TS coincide con el esperado, T¯S , y no se produce rotura de stock.
Figura 4: Situación sin rotura de stock
Sin embargo en la gura 5 el tiempo de suministro es mayor que el esperado, TS > T¯S , con lo que habrá una rotura de stock. La rotura será el consumo durante los días de tiempo de suministro por encima de su valor esperado:
volumen de rotura de stock = d ×
TS − T¯S
Denominaremos:
nivel de servicio: la probabilidad de que no haya rotura de stock
riesgo de ruptura: la probabilidad de que sí haya rotura de stock
Para reducir el riesgo de ruptura, y aumentar por tanto el nivel se servicio, mantendremos un stock de seguridad. Éste es un determinado nivel de stock que se mantiene en el almacén para el caso de que sea necesario, es decir, para cuando TS > T¯S y se vaya a producir rotura de stock. En ese caso consumiremos el stock de seguridad. En la gura
Figura 5: Situación con rotura de stock
6 vemos cómo al añadir un stock de seguridad evitamos la rotura de stock (la línea roja discontinua de la gura indica la evolución del stock cuando se añade el stock de seguridad, la línea negra continua es la evolución si no hay stock de seguridad). Lógicamente cuanto mayor queramos que sea el nivel de servicio, mayor tendrá que ser el stock de seguridad, y mayor el coste asociado a mantener ese stock.
Figura 6: Se añade un stock de seguridad
El tamaño del stock de seguridad dependerá del nivel de servicio deseado. Si queremos p. ej. un nivel de servicio del 90 % signi ca que el stock de seguridad debe
se producirá un rotura de stock, el lote actual se consume antes de que llegue el nuevo. Si se desea un nivel de servicio del 90 % necesitaremos un stock de seguridad que sea el consumo de unidades durante los días que van desde T¯S hasta TS 90. El tamaño del stock de seguridad que nos proporciona un nivel de servicio del 90 % será entonces el consumo durante TS 90 − T¯S días:
Stock de seguridad (para nivel de servicio del 90 %) = d ×
TS 90 − T¯S
El stock de seguridad que proporciona un nivel de servicio del 90 % es uno tal que el 90 % de las ocasiones resulta su ciente (el 90 % de las ocasiones el TS no es lo bastante alto como para que se agote el stock de seguridad). Para calcular ese stock de seguridad necesitamos calcular el valor de TS 90. Esto lo obtenemos a partir de la distribución de TS. Si por ejemplo es TS ∼ N (10, 2) entonces podemos tipi car la distribución de TS y obtener el valor de TS 90 de la tabla de la distribución z ∼ N (0, 1), es decir, de la normal estándar. Para ello en la ecuación P rob (TS ≤ TS 90 ) = 0. 90 podemos restar la media T¯S = 10 y dividir por la desviación típica σ = 2 tanto a TS como a TS 90 sin que nada cambie (la probabilidad de que TS sea menor que TS 90 es la misma que la probabilidad de que TS − 10 2 sea menor que^
TS 90 − 10 2 ), con lo que quedará:
P rob
TS − 10
≤ TS^90 −^10
Esta ecuación la podemos poner como
P rob (z ≤ z 90 ) = 0. 90
Para ello tenemos en cuenta que TS^ − 2 10 es la normal estándar, es decir, TS^ − 2 10 = z, y denominamos z 90 = TS^902 − 10 al valor de z que no se supera el 90 % de las ocasiones (en general se tiene que TS^ − σ T¯S= z y z 90 = TS^90 σ− T¯S). Buscando en la tabla de la normal estándar encontramos que aproximadamente:
P rob (z ≤ 1 .28) ' 0. 90
Tenemos entonces que z 90 = 1. 28 , con lo que despejando en z 90 = TS^902 − 10 = 1. 28 obtenemos el valor de TS 90 = 2 × 1 .28 + 10 = 12. 56. Resulta entonces que el tiempo
de suministro no superará los 12. 56 días el 90 % de las ocasiones (y el 10 % restante sí). Entonces para lograr un nivel de servicio del 90 % tendremos que añadir un stock de seguridad que será el consumo durante TS 90 − T¯S = 12. 56 − 10 = 2. 56 días. Si el consumo diario es de por ejemplo d = 20 uds./día, el stock de seguridad será de 20 uds./día× 2. 56 días =
- 2 ' 51 unidades. En resumidas cuentas, si el tiempo de suministro TS sigue una distribución normal de media T¯S y desviación típica σ: TS ∼ N
TS , σ
, y queremos calcular el stock de seguridad necesario para tener un nivel de servicio de por ejemplo el 90 %, tenemos que buscar en la tabla de la normal el valor z 90 que veri ca que P rob (z ≤ z 90 ) = 0. 90. Se tendrá entonces que TS 90 = T¯S + σ · z 90 y el stock de seguridad será d ·
TS 90 − T¯S
d · σ · z 90 , es decir que:
Stock de seguridad (para nivel de servicio del 90 %) = d · σ · z 90
El punto de pedido será el nivel de stock que tendremos T¯S días antes de que se consuma el lote actual. Ese nivel de stock será el stock de seguridad más el consumo durante T¯S días:
Punto de pedido = SS + d × T¯S
Teniendo en cuenta que SS = d ×
TS 90 − T¯S
la ecuación anterior se puede poner también como Punto de pedido = d ×
TS 90 − T¯S
- d × T¯S = d × TS 90. Punto de pedido = d × TS 90
