Probabilidad Condicional: Ejercicios Resueltos y Aplicaciones a la Ingeniería, Diapositivas de Probabilidad

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Profr. José Luis González Marroquín

Aplicadas a la Ingeniería

Probabilidad Condicional ( 7 )

CONDICIONAL

Se simboliza: P(B/A)

(Probabilidad de que ocurra B, dado que

ántes ocurrió A)

Reglas de la Multiplicación de

Probabilidades.

Se dividen en dos partes:

a) La Regla Especial de la Multiplicación

que se aplica exclusivamente a

Eventos Independientes, y

b) La General que se aplica tanto a

eventos Independientes como a

Dependientes.

Dos o más eventos son independientes

entre sí, cuando la ocurrencia o no

ocurrencia de uno, no influye en la

ocurrencia o no ocurrencia de otro.

Expresado de otra manera, si A y B son

dos eventos, y la ocurrencia de A no

afecta la ocurrencia o no ocurrencia de B,

y viceversa, entonces A y B son

independientes, por lo que la

probabilidad de que ocurran A y B está

dado por: 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑨 𝑷(𝑩)

Ejemplo : En una caja se tienen 5 esferas

blancas, 4 rojas y 3 negras. Se extrae una

esfera, se observa su color y se regresa a

la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que

al extraer 3 esferas en éstas condiciones,

éstas sean de color Rojo?

Respuesta : Extracción con reemplazo.

=> Eventos Independientes.

CONDICIONAL

Solución : 𝑃 𝐷/𝐴 =

6

50

Ejemplo: En un estudio realizado en

una escuela, se observó que el 90% de

los alumnos tienen caries (C), 40%

padecen de defectos visuales (D), y

30% sufren de ambas enfermedades. Si

hay en total 100 alumnos y uno de ellos

es seleccionado al azar, ¿cuál es la

probabilidad de que tenga defectos

visuales dado que se observó que

padece caries?

OJO : Tomar en cuenta que si:

Ejemplo: Una caja contiene 100 focos, 50

azules y 50 rojos, de los cuales 10 son

defectuosos: 6 azules y 4 rojos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un foco

elegido al azar sea defectuoso ( D )?

𝐷

b) Si se selecciona un foco al azar y se

observa que es azul (A), ¿Cuál es la

probabilidad de que sea defectuoso?, es

decir, ¿cuál es la probabilidad de que sea

defectuoso dado que es azul?

(^60) C D 30 10 30

𝑃 𝐷/𝐶 =

𝑃(𝐷 ∩ 𝐶)

𝑃(𝐶)

=

30

90

=

𝟏

𝟑

CONDICIONAL

b) 𝑃 𝑁 = 𝑃 𝑅 𝑃 𝑁/𝑅 + 𝑃 𝐴 𝑃(𝑁/𝐴)

OJO : Tomar en cuenta que si:

Ejemplo: Se tienen 2 cajas y una moneda.

La caja Roja ( R ) contiene 4 esferas Blancas

( B ) y 2 Negras ( N ), mientras que la

Amarilla ( A ) contiene 2 esferas Blancas y 8

Negras. Se arroja la moneda, si sale Águila

( Ag ) se extrae una esfera de la caja Roja, y

si sale Sol, ( S ) se extrae de la Amarilla.

Calcular la probabilidad de extraer una

esfera: a) Blanca. b) Negra.

Solución :

a) 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝑅 𝑃 𝐵/𝑅 + 𝑃 𝐴 𝑃(𝐵/𝐴)

R (½)

A (½)

B/R (4/6)

N/R (2/6)

B/A (1/5)

N/A (4/5)

R B

R N

A B

A N

PROBABILIDAD CONDICIONAL – TEOREMA DE BAYES

𝐵 = 𝑆 ∩ 𝐵 = ( A

1

∪ A

2

∪ …. ∪ A

n

En términos de probabilidad y aplicando la ley distributiva:

1

2

𝑛

Donde las ocurrencias de los eventos 𝐴 𝑖

∩ 𝐵 son mutuamente excluyentes entre sí.

Sin embargo, los eventos 𝐴 𝑖

∩ 𝐵 por sí solos son eventos dependientes (existe la

intersección), por lo que aplicando la Regla de Multiplicación:

1

1

2

2

𝑛

𝑛

𝑖= 1

𝑛

𝑖

𝑖

( Teorema de la Probabilidad Total )

Ejemplo : En un acuario se tienen solo 2 especies de peces, el 40% son de la

especie azul (A) y el 60% son de la especie roja (R). De la especie azul, el 30% son

machos (M); mientras que de la especie roja, el 40% son hembras (H). Si se elige un

pez en forma aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que:

a) ¿ sea Macho? b) ¿Sea Hembra?

PROBABILIDAD CONDICIONAL – TEOREMA DE BAYES

Solución:

Para la solución se pueden utilizar 2

estrategias:

1) Diagramas de árbol, o

2) Con el Teorema de Probabilidad Total.

1. Con Diagrama de Árbol:

a) 𝑃 𝑀 = 0. 4 0. 3 + ( 0. 6 )( 0. 6 ) = 𝟎. 𝟒𝟖

b) 𝑃 𝐻 = 0. 4 0. 7 + ( 0. 6 )( 0. 4 ) = 𝟎. 𝟓𝟐

2) Con el Teorema de Probabilidad

Total.

a) 𝑃 𝑀 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝑀/𝐴 + 𝑃 𝑅 𝑃 𝑀/𝑅 =

b) 𝑃 𝐻 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐻/𝐴 + 𝑃 𝑅 𝑃 𝐻/𝑅 =

TEOREMA DE BAYES

Del ejemplo anterior, suponer que se

elige el pez, y se observa que es Azul, se

plantearían las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea

Macho?

PROBABILIDAD CONDICIONAL – TEOREMA DE BAYES

Sustituyendo valores: 𝑃 𝐵/𝐴 =

𝑃 𝐴 𝑃(𝐵/𝐴)

𝑃(𝐵)

( 0. 4 )( 0. 3 )

( 0. 48 )

𝟏

𝟒

Otro enfoque simple ( de apoyo ):

En general, el Teorema de Bayes se puede expresar por:

𝑖

𝑖

𝑖

1

1

2

2

𝑛

𝑛

𝑖

𝑖

𝑖

𝑖

σ 𝑖= 1

𝑛

𝑃 𝐴 𝑖

𝑖

A (^) A B B

Solución : A 3

=> Sanos, B => Dolores Cab.

1

2

3

1

2

3

Expresado en forma gráfica:

a) A 1

1

1

1

1

1

1

2

2

3

3

Ejemplo : Con base en la

experiencia de una clínica, se sabe

que al diagnosticar a los pacientes

que acuden a ella, el 10% tiene la

enfermedad A 1

, 20% la

enfermedad A 2

, y 70% gozan de

buena salud. De los enfermos de

A 1

, 90% padecen de dolores de

cabeza, 50% de los enfermos de A 2

sufren de dichos dolores, y ocurre

lo mismo con el 5% de los sanos. Si

se quiere diagnosticar a un

paciente y éste tiene dolores de

cabeza, ¿cuál es la probabilidad de

que tenga la enfermedad:

a) A 1

? b) A 2

? c) Esté sano?

PROBABILIDAD CONDICIONAL – TEOREMA DE BAYES

A 3

A 1

A 2

B

Ejemplo : En un Instituto Superior, el 25%

de los hombres (H) y el 10% de las mujeres

(M) estudian Biología (B). Las mujeres

constituyen el 60% de los estudiantes. Si se

selecciona en forma aleatoria un estudiante

y resulta que está cursando Biología,

determinar la probabilidad de que:

a) Sea mujer.

b) Sea hombre

Solución : P(H) = 0.40 ; P(M) = 0.

P(B/H) = 0.25 ; P(B/M) = 0.

a) 𝑃 𝑀/𝐵 =

𝑃 𝑀 𝑃(𝐵/𝑀)

𝑃 𝐻 𝑃 𝐵/𝐻 +𝑃 𝑀 𝑃 𝐵/𝑀

PROBABILIDAD CONDICIONAL – TEOREMA DE BAYES

b) La persona que arrojó la moneda

no da a conocer si resultó Águila o

Sol, pero indica que se extrae una

esfera Roja. ¿Cuál es la

probabilidad de que se haya

obtenido de la caja I?

Solución :

a) 𝑃 𝑅 = 𝑃 𝐼 𝑃 𝑅/𝐼 + 𝑃 𝐼𝐼 𝑃 𝑅/𝐼𝐼 =

b) 𝑃 𝐼/𝑅 =

𝑃 𝐼 𝑃(𝑅/𝐼)

𝑃 𝐼 𝑃 𝑅/𝐼 +𝑃 𝐼𝐼 𝑃 𝑅/𝐼𝐼

b) Sea hombre

Solución : P(H) = 0.40 ; P(M) = 0.

P(B/H) = 0.25 ; P(B/M) = 0.

b) 𝑃 𝐻/𝐵 =

𝑃 𝐻 𝑃(𝐵/𝑀)

𝑃 𝐻 𝑃 𝐵/𝐻 +𝑃 𝑀 𝑃 𝐵/𝑀

Ejemplo : Una caja contiene transistores

fabricados por 3 máquinas. La máquina

A es el doble de rápida que la B o la C.

La cantidad de defectos para la máquina

A es 0.06, para la máquina B es de 0.04, y

para la máquina C es de 0.03. Si se

selecciona aleatoriamente de la caja un

PROBABILIDAD CONDICIONAL – TEOREMA DE BAYES

transistor y resulta No defectuoso,

determinar la probabilidad de que lo haya

producido:

a) La máquina A.

b) La máquina B.

c) La máquina C.

Solución :

a) Se pide: 𝑃 𝐴/

A

B

C

D

tienen la misma probabilidad. El suceso

A={hijo enfermo} corresponde al genotipo

xY, por lo que P(A) = 1/4. Si la mujer tiene

el hijo y es varón ¿qué probabilidad hay

de que tenga la enfermedad?

(Observar que B = {ser varón} = {xY, XY}

TAREA Prob_Cond

2. En un consultorio del ISSSTE, el 40% de

los pacientes fingen tener una

enfermedad (para obtener un

certificado médico). Además, el 10%

de los pacientes del consultorio son

hombres. La probabilidad de que un

paciente finja una enfermedad dado

que es hombre, es del 50%.

TAREA Prob_Cond

1. Una mujer es portadora de la

enfermedad de Duchenne ¿Cuál es

la probabilidad de que su próximo

hijo tenga la enfermedad?

Para la Solución : Según las leyes de

Mendel, ( conjunto de reglas básicas

sobre la transmisión por herencia gené-

tica de las características de los organis-

mos padres a sus hijos. Constituyen el

fundamento de la genética. ), todos los

posibles genotipos de un hijo de una

madre portadora (xX) y un padre

normal (XY) son {xX, xY, XX, XY} y

TAREA

probabilidad tiene un individuo cualquiera

de estar expuesto a muerte súbita por

desprendimiento de trombos de una placa

de ateroma?

TAREA

a) Calcular la probabilidad de que un

paciente sea hombre, dado que

finge una enfermedad.

b)¿De que sea mujer?

TAREA Prob_Cond

3. Se sabe por estudios previos que el

0,1% de la población tiene

problemas vasculares. Un estudio

sobre individuos con problemas

vasculares revela que el 20% de ellos

son placas de ateroma. Si el 10% de

los individuos con placas de ateroma

están expuestos a muerte súbita por

desprendimiento de trombos ¿qué

¿Cuál es la probabilidad de que un

empleado directivo seleccionado al azar:

a) No sea ni Ingeniero ni Economista?

b) Sea Ingeniero?

c) Sea Economista?

d) ¿Con qué probabilidad se eligió el

empleado?

TAREA Prob_Bayes

5. La probabilidad de que haya un

incidente en una fábrica que dispone

de alarma es 0.1. La probabilidad de

que ésta alarma suene si ocurre un

incidente es de 0.97, y la

probabilidad de que suene si no ha

TAREA

sucedido ningún incidente es de 0.02.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no

suene la alarma en un día cualquiera?

b) En el supuesto de que haya

funcionado la alarma, ¿cuál es la

probabilidad de que no haya habido

ningún incidente?

20

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