Probabilidad Condicional: Ejercicios Resueltos y Aplicaciones, Diapositivas de Probabilidad

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PROBABILIDAD CONDICIONAL

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sea E el espacio muestral en donde un evento B ha ocurrido, entonces 𝑃 𝐵 > 0 ; La probabilidad de que ocurra un evento A, en el mismo espacio muestral E, dado que el evento B ya ocurrió; esta dado por: 𝑃 𝐴/𝐵 = 𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐵 Si tomamos en cuenta la forma como calculamos probabilidad clásica la fórmula queda como: 𝑃 𝐴/𝐵 = 𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐵

𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴∩𝐵

𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐵

Donde 𝑃 𝐴/𝐵 es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ya ocurrió.

d) Sintonice XEQ, si previamente se sabe que escuchaba XEX?

Hay dos formas de calcularlo, recordemos la fórmula vista en la diapositiva 1.

𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐵

𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴∩𝐵

𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐵

Método 1 Método 2

Método 1: 𝑃 𝐴/𝐵 =

𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐵

𝑃 𝑋𝐸𝑄∩𝑋𝐸𝑋 P XEX

3 10 33 50

5 11

Método 2: 𝑃 𝐴/𝐵 =

𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴∩𝐵

𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐵

150 330

5 11 50 180 150 120 XEX XEQ

EJEMPLO 2

Se seleccionan al azar dos números entre los dígitos del 1 al 9, si la suma de los números que aparecen es par. Determinar la probabilidad de que ambos números sean: a) Pares b) Impares. B: Evento que ya ocurrió: la suma es par. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a) A: Los dos son pares: # de casos donde los dos son pares: 4𝐶2 = 6 A ∩ 𝐵: Los dos son pares y su suma es par: # los dos son pares y su suma es par: 4𝐶2 = 6 𝑃 𝐴/𝐵 =

𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴∩𝐵

𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐵

6 16

3 8 Ambos números sean pares: 4𝐶2 = 6 Ambos números sean impares: 5 𝐶2 = 10 6+10=

de casos donde la suma es par

EJEMPLO 3

Sean los eventos A y B tales que 𝑃(𝐴) = 3 5

1 3 y 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 1 4 Calcular: a) 𝑃(𝐴/𝐵 ) b) 𝑃(𝐵/𝐴 ) c) 𝑃(𝐴 𝐶 /𝐵 𝐶 ) a) 𝑃 𝐴/𝐵 = 𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐵 = 1 4 1 3 = 3 4 b) 𝑃 𝐵/𝐴 = 𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐴

1 4 3 5

5 12 c) 𝑃 𝐴 𝐶 /𝐵 𝐶 = 𝑃 𝐴 𝐶 ∩𝐵 𝐶 𝑃 𝐵𝐶^ = 19 60 2 3 = 3 4 𝑃 𝐴 𝐶 ∩ 𝐵 𝐶 = 1 − 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 1 − [𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ] = 1 − 3 5

1 3

1 4

41 60

19 60 𝑃 𝐵 𝐶 = 1 − P B = 1 − 1 3

2 3

EJEMPLO 4

La probabilidad de que una persona que este de vacaciones en Cancún visite además Xelhá, Akumal o ambos son 0.90, 0.35 y 0.28 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que vacaciona en Cancún visite Xelhá dado que ya visitó Akumal? 𝑃 𝑋 = 0. 90 𝑃 𝐴 = 0. 35 𝑃 𝑋 ∩ 𝐴 = 0. 28 𝑃 𝑋/𝐴 = 𝑃 𝑋∩𝐴 𝑃 𝐴 =

1. 28
2. 35 = 0. 8