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Probabilidad
Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.
Experimentos deterministas
Ejemplo
Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la pelota bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará.
Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.
Experimentos aleatorios
Ejemplos
Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.
Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio , con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones :
Teoría de probabilidades
Suceso
Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.
Al lanzar una moneda salga cara.
Al lanzar una moneda se obtenga 4.
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).
Espacio muestral de una moneda:
E = {C, X}.
Espacio muestral de un dado:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Suceso aleatorio
Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.
Ejemplo
Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:
1. El espacio muestral.
E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}
2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.
B = {(b,b,b); (n, n,n)}
3. El suceso A = {extraer al menos una bola blanca}.
B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}
4. El suceso A = {extraer una sola bola negra}.
A = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}
Suceso elemental
Tipos de sucesos
Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.
Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5.
Suceso compuesto
Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.
Suceso seguro
Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).
Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7.
Suceso imposible
Suceso imposible , , es el que no tiene ningún elemento.
Número de sucesos = 2^2 =
Dos monedas E= {(C,C); (C,X); (X,C); (X,X)}.
Número de sucesos = 2^4 =
Un dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Número de sucesos = 2^6 = 64
La unión de sucesos, A B , es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.
Unión de sucesos
Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos.
A B se lee como " A o B ".
Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B =
"sacar múltiplo de 3". Calcular A B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A B = {2, 3, 4, 6}
Propiedades de la unión de sucesos Conmutativa
Asociativa
Idempotente
Simplificación
Distributiva
Elemento neutro
Absorción
La intersección de sucesos, A B , es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B.
Intersección de sucesos
Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.
A B se lee como " A y B ".
Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B =
"sacar múltiplo de 3". Calcular A B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A B = {3}
Propiedades de la intersección de sucesos Conmutativa
Propiedad
El suceso = E - A se llama suceso contrario o complementario de A.
Sucesos contrarios
Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique A.
Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par". Calcular
.
A = {2, 4, 6}
Propiedades
Leyes de Morgan
Propiedades de la probabilidad
Axiomas de la probabilidad
1. La probabilidad es positiva y menor o igual que 1.
0 ≤ p(A) ≤ 1
2. La probabilidad del suceso seguro es 1.
p(E) = 1
3. Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces:
p(A B) = p(A) + p(B)
Propiedades de la probabilidad
1 La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es:
2 Probabilidad del suceso imposible es cero.
3 La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección.
4 Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste.
5 Si A 1 , A 2 , ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:
1 Un número par.
Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Casos favorables: {2, 4, 6}.
2 Un múltiplo de tres.
Casos favorables: {3, 6}.
2 Un múltiplo de tres.
Casos favorables: {3, 6}.
3 Mayor que 4.
Casos favorables: {5, 6}.
La combinatoria nos puede ser muy útil para calcular los sucesos posibles y favorables , al aplicar la regla de Laplace. Especialmente si hay un gran número de sucesos.
Combinatoria y probabilidad
Ejemplos
1 Calcular la probabilidad de sacar exactamente dos cruces al tirar una moneda cuatro veces.
Casos posibles:
Tenemos dos elementos, cara y cruz, y los tomamos de cuatro en cuatro, importando el orden.
Casos favorables:
Tenemos 4 monedas y las tomamos de 2 en 2, sin importar el orden.
2 Un grupo de 10 personas se sienta en un banco. ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas fijadas de antemano se sienten juntas?
Casos posibles:
Casos favorables:
Si consideramos las dos personas que se sientan juntas como una sola persona habrá 9!; pero pueden estar de dos formas posibles a la izquierda uno de otro o a la derecha, por tanto se tiene 2 · 9!.
3 Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer:
4 ases.
4 ases y un rey.
3 cincos y 2 sotas.
Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden.
Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E.
Probabilidad condicionada
Se llama probabilidad del suceso A condicionada al B y se representa por P(A/B) a la probabilidad del suceso A una vez ha ocurrido el B.
Ejemplo
Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.
Sucesos independientes
Dos sucesos A y B son independientes si
p(B/A) = p(B)
Sucesos dependientes
Dos sucesos A y B son dependientes si
p(B/A) ≠ p(B)
Probabilidad compuesta o de la intersección de sucesos
p(A B) = p(A) · p(B)
Probabilidad de la intersección de sucesos independientes
Ejemplo
Se tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?
p(A B) = p(A) · p(B/A)
Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes
Ejemplo
Se tiene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?
Probabilidad de la diferencia de sucesos
Un método útil para clasificar los datos obtenidos en un recuento es mediante las tablas de contingencia.
Tablas de contingencia
Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla.
Ejemplo
Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide:
1 ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?
2 Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?
2 Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
3 Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
1 Seleccionar tres niñas.
Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan:
Tres caras.
Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más experimentos aleatorios simples.
Experimentos compuestos
Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos realizando un experimento compuesto.
En los experimentos compuestos es conveniente usar el llamado diagrama en árbol para hacerse una idea global de todos ellos.
Si A 1 , A 2 ,... , A (^) n son:
Teorema de la probabilidad total
Sucesos incompatibles 2 a 2.
Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 A 2 ... A (^) n = E).
Y B es otro suceso.
Resulta que:
p(B) = p(A 1 ) · p(B/A 1 ) + p(A 2 ) · p(B/A 2 ) + ... + p(An) · p(B/An )
Ejemplo
Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales a y cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?
