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PROBLEMAS DE PROBABILIDAD PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE EvAU– EBAU–PEBAU– O COMO SE LLAME LA SELECTIVIDAD DE 2017
En las páginas que siguen están resueltos todos los problemas propuestos en la selectividad de 2017 (en las convocatorias de junio y septiembre). En siete distritos universitarios no propusieron problemas de este bloque.
Andalucía, junio y septiembre 2017. No se ha propuesto ninguna pregunta de Probabilidad.
1. Aragón, junio 2017 4A. (1 punto) En una clase de bachillerato hay 10 chicas y 8 chicos. De ellos 3 chicas y 4 chicos juegan al ajedrez. Si escogemos un estudiante al azar, determine las siguientes probabilidades: a) (0,5 puntos) Sea chica y no juegue al ajedrez. b) (0,5 puntos) No juegue al ajedrez sabiendo que es chico. Solución: Sean M y H los sucesos ser chica y chico, respectivamente; y sea A el suceso jugar al ajedrez,
y A su contrario. Se conocen las siguientes probabilidades: 10 ( ) 18
P M ;
(H)
P ;
P A M ;
P A H
Puede hacerse un diagrama de árbol como el siguiente. a) La probabilidad de que sea chica y no juegue al ajedrez es:
P M A P M P A M .
b) La probabilidad de que no juegue al ajedrez sabiendo que es chico viene dada por la fórmula de Bayes:
P H P H A
P A H
P H
2. Aragón, junio 2017 4B. (1 punto) En una urna hay 10 bolas blancas y 3 negras. Se extrae una bola al azar y, sin verla ni reemplazarla, se extrae una segunda bola. a) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea negra? b) (0,5 puntos) Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, calcule la probabilidad de que la primera bola extraída fuera negra también. Solución: Sean B y N los sucesos extraer bola blanca o negra. Con los datos del problema se construye el diagrama de árbol ajunto. a) La probabilidad de que la segunda bola extraída sea negra es:
P 2ª N P (1ª B P )· 2ª N /1ª B P (1ª N )· P 2ª N /1ª N
b) Por Bayes, la probabilidad de que la primera bola fuese negra si la segunda bola extraída ha sido negra es:
P N P N N
P N N
P N
13 12^2
3. Aragón, septiembre 2017 4A. (1 punto ) Se dispone de dos cajas con bolas blancas y negras. La caja A contiene 6 bolas blancas y 3 negras; y la caja B contiene 4 bolas blancas y 5 negras. Se lanza un dado y si sale par se sacan dos bolas de la caja A , una tras otra, sin reponer ninguna. Por su parte, si sale impar al lanzar el dado se sacan dos bolas de la caja B , también una tras otra, sin reponer ninguna. ¿Cuál es la probabilidad de extraer exactamente dos bolas blancas? Solución:
La probabilidad de sacar dos bolas blancas de la caja A es:
P BB CajaA
La probabilidad de sacar dos bolas blancas de la caja B es:
P BB CajaB
Al lanzar un dado, la probabilidad de par es igual que la de impar:
P par P impar .
Por tanto, por la expresión de la probabilidad total, se tiene que la probabilidad de extraer exactamente dos bolas blancas será:
P BB P par P BB CajaA · / P impar P BB CajaB · / =
4. Aragón, septiembre 2017 4B. (1 punto) En una clase de bachillerato, el 60% de los alumnos aprueban matemáticas, el 50% aprueban inglés y el 30% aprueban las dos asignaturas. Calcule la probabilidad de que un alumno elegido al azar: a) (0,5 puntos) Apruebe alguna de las dos asignaturas (una o las dos). b) (0,5 puntos) Apruebe Matemáticas sabiendo que ha aprobado inglés. Solución: Sean M e I los sucesos aprobar matemáticas e inglés, respectivamente. Se sabe que:
P M 0,60 , P I 0,50; P M I 0,30.
a) Por la probabilidad de la unión de sucesos:
P M I P M P I P M I = 0,60 + 0,50 – 0,30 = 0,80.
b) Por la probabilidad condicionada:
P M I
P M I
P I
Puede hacerse un diagrama de Venn como el adjunto.
7. Asturias, julio 17 4A. En una cierta enfermedad el 60% de los pacientes son hombres y el resto mujeres. Con el tratamiento que se aplica se sabe que se curan un 70% de los hombres y un 80% de las mujeres. Se elige un paciente al azar. a) Calcula la probabilidad de que se cure de la enfermedad. (1,25 puntos) b) Si un paciente no se ha curado, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? (1.25 puntos) Solución: Sean los sucesos:
H = hombre; M = mujer; C = se cura; C = no se cura.
a) Por la probabilidad total:
P C P H ( )· P C / H P M ( )· P C / M = 0,60 · 0,70 + 0,40 · 0,80 = 0,74.
b) La probabilidad de que un paciente no se cure es: P C 1 P C 1 0,74 0, 26.
La probabilidad de que una mujer que reciba el tratamiento no se cure es: P C / M 0, 20.
Por Bayes:
P M P C M
P M C
P C
^ ^ 30,8%
8. Asturias, julio 17 4B. De una baraja española Daniel y Olga extraen 8 cartas: los cuatro ases y los cuatro reyes. Con esas 8 cartas Olga da dos cartas a Daniel y posteriormente una para ella. Calcula: a) La probabilidad de que Daniel tenga dos ases. (0,75 puntos) b) La probabilidad de que Daniel tenga un as y un rey. (0,75 puntos) c) La probabilidad de que Olga tenga un as y Daniel no tenga dos reyes. (1 punto) Solución: a) Hay 8 cartas, 4 de ellas ases ( A ); las otras 4, reyes ( R ).
P AA P A P A A .
b)
P AR P A P R A P R P A R .
c) Como Daniel recibe las cartas en primer lugar, la secuencia de cartas para que Daniel no reciba dos reyes y Olga reciba un as debe ser: AA – A , AR – A y RA – A. Su probabilidad es:
P AA A P AR A P RA A =
9. Baleares, junio 17. Opción A
Solución: a) Hay 36 resultados posibles: {(1, 1), (1, 2),…(1, 6); …; (6, 1), …(6, 6)} La suma 7 se da en seis casos: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1). Por tanto:
P S .
El producto de los resultados es impar cuando ambos resultados son impares.
P P
b) Dos sucesos A y B son independientes cuando P A B P A P B · .
En este caso:
P S 7 P 0 La suma 7 solo puede conseguirse con algún resultado par.
P S P P
En consecuencia, los sucesos estudiados no son independientes.
10. Baleares, junio 17. Opción B.
Solución: Se trata de una distribución normal N (100, 10).
Se tipifica haciendo el cambio
X X
Z
12. Baleares, septiembre 17. 4B. Suponemos que los estudiantes de la UIB solo tienen dos sistemas operativos en sus teléfonos móviles: android y IOS (el de los iphone). El 80% de los estudiantes de la UIB tienen el sistema operativo android. El 25% de las chicas estudiantes de la UIB tienen IOS en su teléfono móvil y el 45% de los estudiantes de la UIB son chicos. a) Hallar la probabilidad de que un muchacho de la UIB tenga IOS en su teléfono móvil. (6 puntos) b) Hallar la probabilidad de que un estudiante que tenga android en el teléfono móvil sea chica. (4 puntos) Solución: Consideramos los sucesos: A = tener android; I = tener IOS; H = ser muchacho; M = ser chica. Se tiene los siguientes datos, más los que se deducen de manera inmediata:
P A 0,80 P I 0, 20.
P I / M 0, 25 P A / M 0,75.
P H 0, 45 P M 0,
a) Por la probabilidad total:
P I P H · P I / H P M P I / M 0, 20 0, 45· P I / H 0,55·0, 25
P I H P I H .
b) Por Bayes:
P M P A M
P M A
P A
Cantabria, junio y septiembre 17. No han puesto ningún problema de Probabilidad.
13. Castilla y León, junio 17 (Opción A) E5.- Se lanzan dos dados (con forma cúbica) al aire. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea 8? (1 punto) Solución: Hay 36 resultados posibles, todos equiprobables. E = {(1, 1), (1, 2), …, (1, 6), (2, 1), …, (2, 6), …, (5, 6), (6, 6)} Hay 5 casos favorables a suma 8, los sucesos: (2, 6); (3, 5); (4, 4); (5, 3); (6, 2). Por tanto:
P (suma 8) =
14. Castilla y León, junio 17
(Opción B) E5.- La probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es
. ¿Cuál es la
probabilidad de sacar 3 caras en tres lanzamientos? (1 punto) Solución:
Los sucesos cara o cruz son independientes en cada nuevo lanzamiento, siendo su
probabilidad
P C P X .
Por tanto: 1 1 1 1 ( ) · · 2 2 2 8
P CCC ^.
15. Castilla y León, septiembre 17 (Opción A) E5.- De una bolsa con 2 bolas blancas, 2 negras y 2 amarillas se extraen dos sin devolución (es decir, una vez extraída una bola no se vuelve a poner en la bolsa). Calcular la probabilidad de que las dos sean blancas. (1 punto) Solución:
La probabilidad de extraer blanca la primera vez es
P B ; la probabilidad de que la segunda
bola sea blanca si la primera ha sido blanca será:
P B B .
Por tanto, la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean blancas será: 2 1 1 ( ) · 6 5 15
P BB
16. Castilla y León, septiembre 17 (Opción B) E5.- Se tiran al aire, simultáneamente, un dado (con forma cúbica) y una moneda. Teniendo en cuenta que los sucesos son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que en el dado salga un 5 y de que en la moneda salga cara? (1 punto) Solución:
La probabilidad de que salga un 5 es
P .
La probabilidad de que salga cara con la moneda es
P C .
Como son sucesos independientes, la probabilidad de salga un 5 y una cara será:
P C .
17. Castilla–La Mancha, junio 17 5A. a) Los operarios A, B y C producen, respectivamente, el 50%, el 30% y el 20% de las resistencias que se utilizan en un laboratorio de electrónica. Resultan defectuosas el 6% de las resistencias producidas por A, el 5% de las producidas por B y el 3% de las producidas por C. Se selecciona al azar una resistencia: a1) Calcula razonadamente la probabilidad de que sea defectuosa. (0,75 puntos) a2) Si es defectuosa, calcula razonadamente la probabilidad de que proceda del operario A. (0,5 puntos) b) Las resistencias se empaquetan al azar en cajas de cinco unidades. Calcula razonadamente la probabilidad de: b1) Que en una caja haya exactamente tres resistencias fabricadas por B. (0,75 puntos) b2) Que en una caja haya al menos dos fabricadas por B. (0,5 puntos) Solución: a) Puede confeccionarse el diagrama de árbol que sigue.
b) La distribución es una normal N (15, 5) → Se tipifica haciendo el cambio
X
Z
b1)
P X P Z P Z
= 1 P Z 0, 4= 1 – 0,6554 = 0,3446.
b2) Sea m el número de minutos buscado.
P X m 0,33 P X m 0,67
m P Z
^
m
m = 17,2 minutos.
19. Castilla–La Mancha, septiembre 17 5A. a) En una empresa hay tres robots A, B y C dedicados a soldar componentes electrónicos en placas de circuito impreso. El 25% de los componentes son soldados por el robot A, el 20% por el B y el 55% por el C. Se sabe que la probabilidad de que una placa tenga un defecto de soldadura es de 0,03 si ha sido soldado por el robot A, 0,04 por el robot B y 0, por el robot C. a1) Elegida una placa al azar, calcula razonadamente la probabilidad de que tenga un defecto de soldadura. (0,75 puntos) a2) Se escoge al azar una placa y resulta tener un defecto de soldadura, calcula razonadamente la probabilidad de que haya sido soldada por el robot C. (0,5 puntos) b) Lanzamos cinco veces una moneda trucada. La probabilidad de obtener cara es 0,6. Calcula razonadamente la probabilidad de: b1) Obtener exactamente tres caras. (0,75 puntos) b2) Obtener más de tres caras. (0,5 puntos) Solución: a) Es un problema idéntico al propuesto en junio. Puede confeccionarse el diagrama de árbol como se hizo en junio. Si D designa que la placa es defectuosa, se tendrá:
a1) P D ( ) P A P D ( )· ( / A ) P B P D ( )· ( / B ) P C P D C ( )· ( / )= = 0,25 · 0,03 + 0,20 · 0,04 + 0,55 · 0,02 = 0,0265.
a2)
P C D
P C D
P D
b) La probabilidad de obtener P C ( ) 0,6; la de obtener cruz, P C 0, 40.
El experimento en lanzar cinco veces esa moneda y contar el número de caras que se obtienen puede estudiarse como una binomial B (5, 0,6). Si X mide el número de caras obtenidas en los cinco lanzamientos, se tiene:
b1) 3 2
P X
b2) P X 3 P X 4 P X 5 =^4
20. Castilla–La Mancha, septiembre 17 5B. a) De una urna que contiene tres bolas blancas y dos bolas rojas extraemos, sucesivamente y sin reemplazamiento, dos bolas. Calcula razonadamente la probabilidad de: a1) Que la segunda bola extraída sea blanca. (0,75 puntos) a2) Si la segunda bola extraída ha sido blanca, que la primera fuera roja. (0,5 puntos) b) El tiempo de duración de las llamadas telefónicas a cierta centralita se distribuye según una distribución normal de media 5 minutos y varianza 4. Calcula razonadamente: b1) La probabilidad de que una llamada dure menos de 4,5 minutos. (0,75 puntos) b2) El tiempo de duración que no es superado por el 33% de las llamadas. (0,5 puntos) Solución: a) La secuencia y las respectivas probabilidades es la que se indica en el siguiente diagrama de árbol. a1) P (2ª B ) P (1ª B P )· (2ª B /1ª B ) P (1ª R P )· (2ª B /1ª R )^ =
=
a2)
P R P B R
P R B
P B
b) Si la varianza es 4 = 2. La distribución es una normal N (5, 2) → Se tipifica haciendo
el cambio
X
Z
b1)
P X P Z P Z
= 1 P Z 0, 25= 1 – 0,5987 = 0,4013.
b2) Sea m el número de minutos buscado.
P X m 0,33
m P Z
^
m m = 4,12 minutos.
Observación: En la tabla normal usual no aparecen valores de probabilidad inferiores a 0,5. Los valores de Z correspondientes a probabilidades inferiores a 0,5 hay que calcularlos atendiendo a la simetría de la curva normal. Así, por ejemplo:
- Como P Z 0,58 (^) 0,7190 P Z 0,58 (^) 1 P Z 0,58 1 0,7190 0, 28 10.
- Como P Z z 0 0,7190 z 0 (^) 0,58, se tendrá que el valor de z 0 tal que
P Z z 0 1 0,7190 0, 2810 será el mismo z 0 0,58. Y el valor de z 0 tal que
P Z z 0 0, 2810 será z 0 0,58.
En el problema que nos interesa, para encontrar P X m 0,33se busca
P Z z 0 0,33 , que como sabemos no aparece en la tabla.
El valor que debe buscarse es P Z z 0 0,67; se obtiene z 0 0, 44. Por tanto, el valor de
z 0 tal que P Z z 0 0,33será z 0 0, 44.
23. Extremadura, julio 2017 5 .- En un libro con 3 capítulos, el primero consta de 100 páginas y 15 de ellas contienen errores. El segundo capítulo, de 80 páginas, tiene 8 con error, y en el tercero, de 50 páginas, el 80 % no tiene ningún error. Calcule la probabilidad de que una página elegida al azar no esté en el capítulo dos y no tenga errores. (1 punto) Solución: Observación: Puede convenir hacer un diagrama de árbol. El libro tiene un total de 230 páginas (100 + 80 + 50). Con los datos del problema y designando los sucesos correspondientes se tendrán las probabilidades siguientes:
C 1 = página del capítulo 1
P C ;
E / C 1 = página con error en C 1
P E C
P E C .
C 2 = página del capítulo 2
P C ;
E / C 2 = página con error en C 2
P E C
P E C .
C 3 = página del capítulo 3
P C ;
E / C 3 = página con error en C 3
P E C
P E C .
Con esto: P (una página elegida al azar no esté en el capítulo dos y no tenga errores) =
= P C 1 · P E / C 1 P C 3 · P E / C 3 =
24. Extremadura, julio 2017 5.- El 40 % de la población activa de una ciudad son mujeres. Se sabe que el 20 % de las mujeres y el 12 % de los varones está en el paro. Elegida al azar una persona entre la población activa que no está en paro, calcule la probabilidad de que dicha persona sea mujer. (1 punto) Solución: Sean los sucesos: M , ser mujer; H , ser hombre; P , estar en paro; T , trabajar. Con los datos del problema se puede hacer un diagrama de árbol como el que sigue.
Por la probabilidad total:
P T P M · P T / M P H · P T / H =
Por Bayes:
P M P T M
P M T
P T
El 37,7 de las personas que trabajan son mujeres.
25. Galicia, junio 17 Ejercicio 4A (2 puntos)
Solución:
a) Si P A 0, 4 P A 0,6.
La probabilidad de la unión es:
P A B P A P B P A B
Como A y B son sucesos independientes, P A B P A P B · = 0,6 · 0,7 = 0,42.
Por tanto,
P A B = 0,6 + 0,7 – 0,42 = 0,88.
De P A B P A P A B P A B = 0,6 – 0,42 = 0,18.
b) Puede estudiarse como un problema de extracción sin reemplazamiento. Al elegir 4 personas de un grupo con 40 hombres y 60 mujeres se obtienen más mujeres que hombres cuando se eligen 3 mujeres y 1 hombre; o las 4 mujeres.
1 y 3 4· · · · 0, 100 99 98 97
P H M Se ha multiplicado por 4 porque el hombre
puede salir en cualquier orden.
P M .
Por tanto, la probabilidad pedida vale: 0,34907 + 0,12436 = 0,47343.
26. Galicia, junio 17 Ejercicio 4B (2 puntos)
Solución: Con los datos del problema puede confeccionarse el diagrama de árbol que sigue (con flechas rojas se indica lo que se deduce).
a) P M P F · P M / F P noF · P M / noF =
b) Por Bayes:
P F P H F
P F H
P H
- Elegido al azar un habitante de la localidad que no utiliza el complejo de piscina local, halle la probabilidad de que tenga más de 65 años. Solución: Supuesto que en la localidad hay 10000 habitantes (es indiferente su número; se toman 10000 para evitar decimales), se puede hacer la siguiente tabla de contingencia.
P piscina .
- Hay 4600 personas que no utilizan la piscina; de ellas, 2000 son mayores de 65 años. Por tanto:
P No piscina .
30. La Rioja, julio 17 3 .- (2 puntos) En una universidad el 30 % de los alumnos va a la cafetería A , el 60 % va a la cafetería B y el 20 % va a ambas cafeterías. (1) Si se elige al azar un estudiante que va a la cafetería A , halle la probabilidad de que también vaya a la cafetería B. (2) Si se elige al azar un estudiante de esa universidad, calcule la probabilidad de que el estudiante no vaya a la cafetería A ni a la cafetería B. Solución: Se conocen las siguientes probabilidades:
P A 0,30 , P B 0,60, P A B 0, 20.
(1) Por la probabilidad condicionada
P A B
P B A
P A
(2) Hay que calcular la probabilidad del suceso contrario de la unión de A y B.
P A B 1 P A B 1 P A P B P A B =
Puede venir bien hacer un diagrama de Venn.
31. Madrid, junio 17 Ejercicio 4B : Calificación máxima: 2 puntos. El 40% de los sábados Marta va al cine, el 30% va de compras y el 30% restante juega a videojuegos. Cuando va al cine, el 60% de las veces lo hace con sus compañeros de baloncesto. Lo mismo le ocurre el 20% de las veces que va de compras, y el 80% de las veces que juega a videojuegos. Se pide: a) (1 punto) Hallar la probabilidad de que el próximo sábado Marta no quede con sus compañeros de baloncesto.
Personas por edad (10000) Utilizan la piscina No utilizan la piscina Mayores de 65 50 % → 5000 60 % → 3000 2000 Menores de 18 10 % → 1000 80 % → 800 200 Resto 40% → 4 000 40% → 1600 2400 Total 10000 5400 4600
b) (1 punto) Si se sabe que Marta ha quedado con los compañeros de baloncesto, ¿cuál es la probabilidad de que vayan al cine? Solución: Sean los sucesos: Ci = “Marta va al cine”; Co = “Marta va de compras”; Vi = “Marta juega con videojuegos”.
El suceso B = “Marta queda con sus compañeros de baloncesto”; B , su contrario. Con los datos del problema se puede confeccionar el diagrama de árbol:
a) La probabilidad de que quede con sus compañeros de baloncesto es: P B ( ) P Ci P B Ci ( )· ( / ) P Co P B Co ( )· ( / ) P Vi P B Vi ( )· ( / ) = = 0,40 · 0,60 + 0,30 · 0,20 + 0,30 · 0,80 = 0,54. De que no quede será:
P B 1 P B ( ) 1 0,54 0, 46^.
b)
P Ci B P Ci B P B
32. Madrid, septiembre 17 Ejercicio 4A : Calificación máxima: 2 puntos. Dados dos sucesos, A y B , de un experimento aleatorio, con probabilidades tales que 4 ( ) 9
p A ,
p B y
p A B , se pide:
a) (1 punto) Comprobar si los sucesos A y B son independientes o no.
b) (1 punto) Calcular p A / B , donde A denota el suceso complementario de A.
Solución:
a) Los sucesos A y B son independientes si se cumple que P A B P A P B · .
Como P A B P A P B P A B , sustituyendo los datos del problema se tiene:
P A B
P A B .
Como
P A P B , los sucesos no son independientes.
b) En este caso conviene hacer un diagrama de Venn.
Como
P A B P B P A B , aplicando la fórmula
de la probabilidad condicionada:
P A B
P A B
P B
que estudian alemán y el 70% de los que cursan francés. Se elige un alumno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que estudie robótica? Solución: Sean los sucesos: I = “Estudiar inglés”; A = “Estudiar alemán”; F = “Estudiar francés”; R/I , R/A , R/F = “elegir robótica si se estudia inglés, alemán o francés, respectivamente.
Se saben las probabilidades de todos los sucesos mencionados, siendo:
P I 0,65 , P A 0, 20, P F 0,15;
P R / I 0,30 , P R / A 0,50, P R / F 0,.
Por la probabilidad total:
P R P I · P R / I P A · R / A P F · P R / F
P R 0,65·0,30 0, 20·0,50 0,15·0,70 0, 40 El 40% de los alumnos elige robótica.
36. Murcia, septiembre 17
CUESTIÓN B.5: [1 punto] Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que:
P A ,
P B ,
P A B . Calcule: P A B , P A B , P B / A . (Donde, si C y D son
sucesos C denota el suceso complementario de C y P C / D denota la probabilidad del
suceso C condicionada al suceso D ). Solución:
P A B P A B 1 P A B
P A B P A B .
Como P A B P A P B P A B
P A B
P A B .
Como
P A B P A P A B , aplicando la fórmula de la probabilidad
condicionada:
P A B
P B A
P A
Se puede hacer el diagrama de Venn adjunto.
Navarra, junio y julio 17. No se ha propuesto ninguna pregunta de Probabilidad.
País Vasco, junio y julio17. No se ha propuesto ninguna pregunta de Probabilidad.
