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Tema 2: Descripción de una muestra. Media y varianza.
Tema 2: Descripción de una muestra (cont.).
Media y varianza.
Distribución Normal.
Media, Desviación estándar y Varianza:
(Otros estadísticos que resumen las variables cuantitativas)
b Media:
Estadístico de localización (como la mediana, moda, ...).
n
x
x
n
i
∑ i
=
1
x Símbolo con el que representaremos la media.
=
n
i 1
“Suma desde i=1 hasta i=n”.
x i Valor de la i-ésima observación.
n Número de observaciones.
Observaciones:
- La media es muy sensible a los valores extremos de la variable: ya que todas las observaciones intervienen en el cálculo de la media, la aparición de una observación extrema, hará que la media se desplace en esa dirección. La media es más sensible que la mediana pero menos robusta.
- Si consideramos una variable discreta, por ejemplo, el número de hijos en las familias de Valencia el valor de la media puede no pertenecer al conjunto de valores posibles de la variable; Por ejemplo hijos.
Tema 2: Descripción de una muestra. Media y varianza.
- La suma de las diferencias de la variable con respecto a la media es
nula, es decir, ∑
− =
n
i
xi x 1
( ) 0
- Influencia de la simetría en la posición de la Media y la Mediana:
0 5 10 15 20 25
0
100
200
300
400
X 5 10 15 20 25 30
0.^
Y
-2 0 2
0.^ 0.^ 0.^
Z
En las tres figuras anteriores se ha mostrado con la tramas: ______________________ Mediana _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Media
Observamos que dependiendo de la simetría/asimetría de la disposición de los datos la Media y la Mediana coinciden aproximadamente o se distancian. Además también podemos observar que si los datos tienen tendencia hacia la derecha (no hay simertría) la Mediana quedará más hacia la derecha que la media, y lo mismo con la izquierda.
Tema 2: Descripción de una muestra. Media y varianza.
Ejemplo
( Cálculo de la media, varianza y desviación estándar de un conjunto de datos ):
Variable: Nivel de cobre en la orina.
Datos observados para esta variable:
0.1 (X 1 ) 0.4 (X 2 ) 0.6 (X 3 ) 0.8 (X 4 ) 1.1 (X 5 ) 1.2 (X 6 ) 1.3 (X 7 ) 1.5 (X 8 ) 1.7 (X 9 ) 1.9 (X 10 ) 1.9 (X 11 ) 2.0 (X 12 ) 2.2 (X 13 ) 2.6 (X 14 ) 3.2 (X 15 )
15
1
∑^ = i =
xi .
Por tanto, la media de la muestra es:
5 15
5 x = =.
Para calcular la desviación estándar, en primer lugar calculamos la suma de los cuadrados de las diferencias entra cada observación y la media.
1.96 ( X (^) 1 − x )^2 1.21 ( X (^) 2 − x )^2 0.81^ 0.49^ 0.
0.09 0.04 0 0.04 0. 0.16 0.25 0.49 1.21 (^) 2.89 ( X (^) 15 − x )^2
A continuación calculamos la suma de los cuadrados de las diferencias:
15
1
2 ∑ − = i =
X i x.
Por tanto la varianza de la muestra es :
7114 14
96 Varianza = =
Finalmente, aplicando la raíz cuadrada a la varianza obtenemos la desviación típica:
SD = 0. 7114 = 0. (^843).
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Cálculo para datos agrupados:
X variable cuantitativa discreta.
Suponemos que de los posibles valores que la variable puede tomar hemos obtenido k valores distintos.
Datos agrupados (k grupos): {(N 1 ,X 1 ),(N 2 ,X 2 ),...,(Nk,X k)} , donde Ni será el
número de observaciones en el grupo i y Xi será el valor de la variable en dicho grupo.
Los datos {(N 1 ,X 1 ),(N 2 ,X 2 ),...,(Nk ,Xk )} significarían que el valor para la variable X=X 1 se está obteniendo N 1 veces, el valor de la variable X=X 2 se ha obtenido N 2 veces, … y así sucesivamente, es decir sería equivalente a tener los datos:
{ X 1 ,...(N 1 )….,X 1 ,X 2 ,…(N 2 )….,X 2 ,X 3 ,…….}
∑
∑
=
=
k
i
i
k
i
i i
k
k k
N
N X
N N N
N X N X N X
x
1
1
1 2
1 1 2 2
1
2
∑
n
N X x
SD
k
i
i i
; n=N 1 +N 2 +...+Nk.
Tema 2: Descripción de una muestra. Media y varianza.
Distribución Normal:
b Distribución:
Intuitivamente, una distribución es un Patrón que siguen los valores de una variable según la probabilidad asociada a cada valor. Se suele resumir mediante una función o representación gráfica en la que los valores más altos se corresponderán con resultados más probables.
0 5 10 15 20 25 30
Z
b Familia de distribución normal:
- Familia de curvas.
- Simétricas y con forma de campana. (Existen otras distribuciones distintas a la Normal con forma de campana)
- Es la distribución que más usualmente se nos presenta. Muchas características biológicas la siguen (pesos de hombre y mujeres adultos, presión arterial en personas ancianas, errores aleatorios en muchos tipos de medidas de laboratorio,...).
Tema 2: Descripción de una muestra. Media y varianza.
-2 0 2
Y
-3 -2 -1 0 1 2 3
Estas distribuciones quedan definidas por dos parámetros llamados media y
desviación típica y son representadas por la expresión N( μ , σ ) (donde
μ representa la media y σ la desviación típica ). Estos dos parámetros
definen la forma de la distribución, y según los valores que toman quedan más o menos estrechas o apuntadas y centradas alrededor de un determinado
valor. La media (μ) define el centro de la campana, mientras que la desviación
típica (σ) define la forma de la misma, así una distribución Normal con mayor
desviación típica que otra tendrá una forma más “ancha” y “aplastada” que una distribución Normal con menor desviación típica (que será más “estrecha” y “alta”). A continuación se representan algunas distribuciones Normales con distintos parámetros.
X
probabilidad
-4 -2 0 2 4
N(-1,2), N(0,1), N(2,1)
Tema 2: Descripción de una muestra. Media y varianza.
b Aritmética de variables normales:
⇒ X - c ~ N(a-c , b)
Si X ~ N(a , b)
⇒ X /d ~ N(a , b/d)
En particular, si X ~ N(a , b) ⇒ b
X − a ~ N(0 , 1)
b Aritmética de intervalos:
Si el α% de las observaciones de la variable Y pertenece al intervalo [a , b], entonces:
- El α% de las observaciones de la variable Y + μ pertenecerá al intervalo [ a + μ , b + μ].
2. El α% de las observaciones de la variable σ ⋅ Y pertenecerá al
intervalo [ σ ⋅ a , σ⋅ b ].
Ejemplo:
Supongamos que sabemos que el 95% de las observaciones de una variable N(0,1) pertenece al intervalo [-1.96,1.96] ¿Qué intervalo contiene el 95% de las observaciones de una variable con distribución N(2,4)?
Si X~N(2,4) ⇒ 4
X − 2
~ N(0 , 1)
Luego el 95% de las observaciones de 4
X − 2
pertenecerá al intervalo:
[-1.96, 1.96]
Por aritmética de intervalos: El 95% de las observaciones de X-2 pertenecen a [-7.84,7.84]. El 95% de las observaciones de X pertenece a [-5.84,9.84].
Tema 2: Descripción de una muestra. Media y varianza.
En general se cumple:
Si X ~ N(μ , σ) ⇒ σ
X −μ ~ N(0,1)
El intervalo que contiene el α% de observaciones de una variable con
distribución N(0,1) será: [ −^ z α / 2 , z α/ 2 ,].
El intervalo que contiene el α% de observaciones de una variable con
distribución N(μ,σ) será: [ μ^ −^ σ⋅ z α^ / 2 ,μ+σ⋅ z α/ 2 ].
Intervalo de cubrimiento al α %: μ^ +σ⋅ z α/ 2
Únicamente nos resta saber como obtener el valor zα. Éste lo obtendremos a partir de la tabla de distribución de probabilidad de la N(0,1). Esta tabla nos proporciona, para cualquier valor de α, el valor X de la variable tal que la proporción de casos por debajo de dicho valor sea el 100α%.
Tema 2: Descripción de una muestra. Media y varianza.
-2 -1 0 1 2
0
2
4
6
8
Y=Log(X)
Ahora la distribución parece Normal, por lo que podemos calcular el intervalo de cubrimiento para estos nuevos datos.
( ) 0. 866
( ) 0. 75
- 29
=
=
=−
DT y
Var y
y
N
y
y N
Intervalo al 90% de N(0,1) = [-1.65,1.65] Intervalo al 90% para Y = = [(-0.29)+(-1.65)·(0.866) , (-0.29)+(1.65)·(0.866)]= = [-1.72 , 1.14] Intervalo al 90% para X = [exp(-1.72), exp(1.14)] = [0.18 , 3.13]
Práctica 2: Descripción de una muestra. Media y Varianza. Distribución Normal.
P2.
Práctica 2: Descripción de una muestra. Media y Varianza. (Distribución Normal)
Bloque I: Probabilidades de la distribución N(0,1)
X ~ N(0,1)
1) P(X<1.56)
2) P(X<2.78)
3) P(X>3.00)
4) P(X>1.01)
5) P(X<-1.5)
6) P(X>-2.61)
7) P(X<-0.32)
8) P(X>-1.63)
9) P(0.83V)=0.
- Intervalo centrado en 0, (V1,V2), tal que P(V1 Práctica 2: Descripción de una muestra. Media y Varianza. Distribución Normal.
P2.
Ejercicio 2:
En la campaña mundial de erradicación de la viruela un médico preguntó a 150 personas mayores de 16 años en una ciudad etíope el número de veces que habían sido vacunados. Obtuvo los siguientes resultados: Nunca 12 personas, 1 vez 24 personas, 2 veces 42 pers., 3 veces 38, pers. 4 veces 30 pers., 5 veces 4 pers. ¿Cual es el número medio de veces que dichas personas han sido vacunadas y cual es su desviación estándar?
Ejercicio 3:
Inventa una muestra de tamaño 5 en la que todas las observaciones no sean iguales y cuya media muestral sea 20.
Ejercicio 4:
Inventa una muestra de tamaño 5 tal que la media muestral sea 20 y la mediana muestral sea 15.
Ejercicio 5:
Representa gráficamente (aproximadamente) las siguientes distribuciones:
N(0,1), N(0,3), N(2,1), N(-1,3), N(-1,1)
¿Para cual de estas distribuciones el percentil 95% de las observaciones toma un valor más bajo?
Ejercicio 6:
Según los datos del ejercicio 1: Calcula 2 intervalos centrados en la media que contengan el 90% y el 99% de los casos respectivamente, suponiendo que la distribución de la variable sigue una normal con parámetros los estadísticos muestrales calculados.
Ejercicio 7:
A partir de los datos del ejercicio 2: ¿Qué puntos quedan excluidos del intervalo centrado en la media y que contiene el 95% de las observaciones, suponiendo que los datos son normales con parámetros los estadísticos muestrales calculados? ¿Qué proporción de los datos son excluidos del intervalo.
Práctica 2: Descripción de una muestra. Media y Varianza. Distribución Normal.
P2.
Ejercicio 8:
Se sabe que la estatura de los alumnos varones matriculados en primero de la universidad CEU-Cardenal Herrera tiene una distribución N(175,8):
a) Calcula un intervalo para la estatura de los alumnos, centrado en la media y que incluya al 95% de éstos. b) Calcula un intervalo para la estatura de los alumnos, que contenga el 95% de los alumnos de menor estatura. c) Calcula un intervalo para la estatura de los alumnos, que contenga el 95% de los alumnos de mayor estatura. d) Que porcentaje de alumnos mide más de 1. e) Que porcentaje de alumnos mide menos de 1. f) Que porcentaje de alumnos mide entre 1.70 y 1.
Ejercicio 9:
El diámetro máximo de los hematíes de una persona con malaria por Plamodium vivax presenta las siguientes características: Si la célula esta infectada dicha variable se distribuye de forma normal con media 7.6 micras y desviación típica 0.9 micras, y si la célula no está infectada dicha variable se distribuye de forma normal con media 9.6 micras y desviación típica 1. micras. Calcular : a) Proporción de células no infectadas con un diámetro máximo mayor que 9.4 micras. b) Proporción de células no infectadas con un diámetro máximo inferior a 7 micras. c) Proporción de células infectadas con un diámetro máximo inferior a 9. micras. d) Da un intervalo centrado que contenga el 95% de las células infectadas y repite el proceso para las células no infectadas.
