Probabilidades y Teoría de la Probabilidad: Definiciones, Propiedades, y Cálculo, Ejercicios de Estadística

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Tema 3: Elementos de Probabilidad

Silvia Gago

EEBE QT 16-

Contenidos

1. Espacio muestral de un experimento aleatorio.
2. Suceso.Tipos de sucesos.Operaciones con sucesos.
3. Definici´on de Probabilidad.
4. C´alculo de probabilidades.
5. Probabilidad condicionada.
6. Sucesos independientes.
7. Teorema de la probabilidad total. Teorema de Bayes.
8. Nociones de combinatoria: Permutaciones, Variaciones, Combinaciones.

Dedicaci´on: Teor´ıa: 6h + Aprendizaje aut´onomo: 10h

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Experimentos

Experimento determinista Es aquel que en igualdad de condiciones da siempre el mismo resultado. Normalmente est´an condicionados por una ley f´ısica. Ejemplo Medir la intensidad de corriente de un circuito el´ectrico con una resistencia y una pila: I = V /R Experimento aleatorio Es aquel en el que no se puede predecir el resultado. Podemos conocer todos los posibles resultados, pero no el resultado concreto del experimento. Ejemplo Lanzamiento de un dado, de una moneda, resultado de una quiniela, etc. 2

Espacio muestral de un experimento aleatorio

Espacio muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Ejemplo En el lanzamiento de un dado no trucado el espacio muestral es

Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }. Ejemplo Si tiramos dos monedas al aire el espacio muestral es

Ω = {CC , CX , XC , XX }. Ejemplo Si medimos el di´ametro de los tornillos producidos por una m´aquina industrial, Ω = [1. 3 , 1 .7] cm. (^3)

Suceso aleatorio.Tipos de sucesos.

Ejemplo En el lanzamiento de un dado no trucado,

Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }.

• un suceso elemental es que salga un 5. A = { 5 }
• un suceso compuesto es que salga un n´umero par. A = { 2 , 4 , 6 }
• un suceso imposible es que salga un 7. A = ∅
• un suceso seguro es que salga un n´umero comprendido entre 1 y 6. A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } = Ω (^5)

Operaciones con sucesos aleatorios

Recordemos las operaciones b´asicas que se pueden hacer con conjuntos:

• La uni´on de dos conjuntos A ∪ B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A o ω ∈ B}.
• La intersecci´on de dos conjuntos A ∩ B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A y ω ∈ B}.
• El complementario de un conjunto AC^ = {ω ∈ Ω : ω /∈ A}.
• La diferencia de conjuntos B − A = {ω ∈ Ω : ω ∈ B / ω /∈ A}.
• La diferencia sim´etrica de conjuntos A∆B = (A ∪ B) − (A ∩ B). 6

Definici´on de probabilidad y c´alculo

de probabilidades

Definici´on de probabilidad

F´ormula de Laplace Si el espacio muestral est´a formado por N posibles resultados y todos ellos tienen la misma probabilidad (equiprobables) podemos decir que la probabilidad de que ocurra el suceso A es

p(A) = NA N

= n´umero de casos favorables a A n´umero de casos posibles

Ejemplo Si lanzamos un dado no trucado, la probabilidad de sacar un n´umero par es

p(A) =

n´umero de n´umero pares n´umero de casos posibles =

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Definici´on de probabilidad

Supongamos que el dado est´a trucado hemos observado emp´ıricamente que los n´umeros 2, 4, 5 y 6 solo aparecen un 10% de las veces, mientras que tanto el 1 como el 3 aparecen el 30% de las veces. Las probabilidades en este caso ser´ıan:

p(2) = p(4) = p(5) = p(6) =

100 ,^ p(1) =^ p(3) =^

Entonces, en este caso como calcular´ıamos la probabilidad de que salga un n´umero par? p(A) =? No podemos aplicar la definici´on de Laplace.

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Definici´on de probabilidad

Definici´on axiom´atica Una aplicaci´on p : Ω −→ R es una probabilidad si cumple

i) 0 ≤ p(A) ≤ 1 ii) p(Ω) = 1 iii) Si A 1 ,... , An,... son sucesos disjuntos dos a dos, es decir, Ai ∩ Aj = ∅ para todos i, j, entonces

p

i=

Ai

∑^ ∞

i=

p (Ai ).

La definici´on de Laplace tambi´en cumple estos tres axiomas.

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C´alculo de probabilidades

Demostraciones

i) p(∅) = 0

Ω = Ω∪∅ ⇒ p(Ω) = p(Ω)+p(∅) ⇒ 1 = 1+p(∅) ⇒ p(∅) = 0.

ii) p(AC^ ) = 1 − p(A)

Ω = A ∪ AC^ ⇒ p(Ω) = p(A) + p(AC^ ) ⇒ 1 = p(A) + p(AC^ ).

iii) Si A ⊂ B, entonces p(A) ≤ p(B)

B = A ∪ (B − A) ⇒ p(B) = p(A) + p(B − A) y p(B − A) ≥ 0.

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C´alculo de probabilidades

Demostraciones

iv) p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)

A ∪ B = A ∪ (B − (A ∩ B)) ⇒ p(A ∪ B) = p(A) + p(B − (A ∩ B))

Adem´as B = (B − (A ∩ B)) ∪ (A ∩ B)

p(B) = p(B−(A∩B))+p(A∩B) ⇒ p(B−(A∩B)) = p(B)−p(A∩B),

por lo que

p(A ∪ B) = p(A) + p(B − (A ∩ B)) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B).

v) Si A y B son incompatibles, p(A ∪ B) = p(A) + p(B)

Si A y B son incompatibles A ∩ B = ∅ y sabemos que p(∅) = 0, por lo que aplicando la propiedad (iv) se obtiene el resultado. 13

C´alculo de probabilidades

Ejercicio En un cierto espacio de probabilidad hay dos sucesos A y B de los cuales se sabe que p(A) = 0.4, p(A ∪ B) = 0.7 y p(BC^ ) = 0.55. Calcular p(A ∩ B). Soluci´on: Sabemos que p(BC^ ) = 0. 55 ⇒ p(B) = 1 − p(BC^ ) = 0.45. Adem´as p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) ⇒ p(A ∩ B) = p(A) + p(B) − p(A ∪ B) p(A ∩ B) = 0.4 + 0. 45 − 0 .7 = 0.15.

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C´alculo de probabilidades

Ejercicio Se sabe que entre los 120 estudiantes de un colegio mayor hay 60 que estudian Biolog´ıa, 50 que estudian Farmacia y 20 que estudian las dos cosas simult´aneamente. Escogiendo un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que estudie Biolog´ıa o Farmacia, y la probabilidad de que estudie Biolog´ıa o Farmacia pero que no estudie las dos cosas simult´aneamente. Soluci´on: Si llamamos B =”estudia Biolog´ıa”, y F =”estudia Farmacia”, tenemos que calcular p(B ∪F ) = p(B)+p(F )−p(B ∩F ) = 60 120

+^50

=^3

p((B ∪ F ) − (B ∩ F )) =

120 −^

120 =^

120 =^

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