Ejercicios de aproximación normal a la binomial
1) El gerente de ventas de TV cable estima en 30% la proporción de clientes morosos.
Si se selecciona al azar una muestra de 200 clientes
A) Halle la probabilidad de que más de 50 de ellos sean morosos.
B) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 70 clientes sean morosos?
C) Calcule la probabilidad de que el número de clientes morosos de la muestra
difiera del promedio en no más de 14 clientes, si en verdad es 0.2 la proporción
de clientes morosos.
SOLUCIÓN
Sea k el número de clientes morosos en la muestra. Entonces k tiene distribución
binomial B(n, p), donde n = 200, p = 0.3.
a) La probabilidad de que más de 50 clientes de la muestra sean morosos es:
P
[
k>50
]
=P[k ≥ 51]= ∑
K=51
200
❑Ck
200 ¿
Utilizando la aproximación a la normal N (µ,
σ2
), de la variable binomial k se tiene:
μ=np=200×0.3=60
σ=
√
npq=
√
200×0.3 ×0.7=6.48
Y que
Z=k−60
6.48
es aproximadamente distribuida como normal N (0, 1). Luego,
P
[
k>50
]
≅P
[
k ≥ 50.5
]
=P
[
Z ≥ 50.5−60
6.48
]
=P
[
Z ≥−1.47
]
=0.9292
b)
P
[
k=70
]
=C
70
200
¿
Utilizando la aproximación a la normal de la variable binomial k se tiene que
Z=k−60
6.48
es
aproximadamente distribuida como normal N(0, 1). Por tanto,
P
[
k=70
]
≅P
[
69.5≤ k ≤ 70.5
]
=P
[
1.47≤ Z ≤ 1.62
]
=0.0182.
c) En este caso,
Z=k−np
√
npq =k−200×0.2
√
200×0.2 ×0.8 =k−40
5.657
es aproximadamente distribuida
como normal N (0, 1). Por tanto.
P¿
