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Problemas de Variedades Diferenciales

Angel Montesinos Amilibia

Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa,

Universidad de Valencia,

Campus de Burjasot, 46100 Burjasot (Valencia)

7 de octubre de 2004

Indice general

1 Variedades diferenciables. Nociones b´asicas 2

2 El espacio tangente. La diferencial de una aplicaci´on 5

3 Teoremas de la funci´on inversa y de la funci´on impl´ıcita 7

4 Campos vectoriales 10

5 Campos tensoriales. Formas diferenciales. Derivada de Lie 15

TEMA 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES. NOCIONES B ASICAS´ 3

Problema 1.7. Generalizar la construcci´on anterior al caso de Sn, y probar que se obtiene una estructura C∞.

Problema 1.8. ¿Es posible construir un atlas sobre la esfera Sn, que respete su topolog´ıa usual como subespacio de Rn+1, y que contenga una sola carta?

Problema 1.9. Definir un atlas sobre la superficie cil´ındrica de radio r > 0 y altura h > 0,

C = {(x, y, z) ∈ R^3 | x^2 + y^2 = r^2 , 0 < z < h}

Problema 1.10. Se define la banda de M¨obius M como el cociente de [0, 1] × R bajo la relaci´on de equivalencia que identifica el punto (0, y) con el (1, −y), siendo y ∈ R. Demostrar que M admite una estructura de variedad diferenciable de clase C∞.

Problema 1.11. Consideremos el “ocho” E = {(sen 2t, sen t) ∈ R^2 | t ∈ R}. Probar (1) (E, φ), donde φ : E →]0, 2 π[ est´a definida por φ(sen 2t, sen t) = t si t ∈]0, 2 π[, es un atlas C∞^ para E. (2) Probar lo mismo para (E, ψ), donde ψ : E →]−π, π[ est´a definida por φ(sen 2t, sen t) = t si t ∈] − π, π[. (3) ¿Definen los dos atlas la misma estructura diferenciable sobre E?

Problema 1.12. Consideremos el subconjunto N de R^2 , el lazo, definido por:

N = {(x, y) ∈ R^2 | x^2 + y^2 = 1} ∪ {(0, y) | 1 < y < 2 }

Probar: (1) La funci´on φ : N →] − 1 , 1[ dada por φ(sen 2πs, cos 2πs) = s si 0 ≤ s < 1 , y φ(0, s) = 1 − s si 1 < s < 2 , es una carta que define una estructura C∞^ para N. (2) Lo mismo para la funci´on ψ : N →] − 1 , 1[ dada por ψ(sen 2πs, cos 2πs) = 1 − s si 0 < s ≤ 1 , y ψ(0, s) = 1 − s si 1 < s < 2. (3) Las dos estructuras diferenciables anteriores son diferentes.

Problema 1.13. Definir un atlas sobre el conjunto M de todas las matrices reales r × s.

Problema 1.14. Probar que las funciones reales f (t) = 3

t, y g(t) = t^3 , son un ejemplo de aplicaciones tales que g ◦ f y g son de clase C∞, mientras que no lo es f.

Problema 1.15. Sea

G =

cos φ − sen φ u sen φ cos φ v 0 0 1

 ∣∣ (^) φ, u, v ∈ R

Probar que con el producto matricial, G es un grupo. Dar a G una estructura diferenciable que lo convierta en grupo de Lie, y que lo haga difeomorfo a S^1 × R^2.

TEMA 1. VARIEDADES DIFERENCIABLES. NOCIONES B ASICAS´ 4

Problema 1.16. Sea G = {(a, b, c) ∈ R^3 | a > 0 , b > 0 }, conjunto en el que definimos la multiplicaci´on (a 1 , b 1 , c 1 )(a 2 , b 2 , c 2 ) = (a 1 a 2 , b 1 b 2 , a 1 c 2 + c 1 b 2 ).

Demostrar: 1) G es un grupo con esa multiplicaci´on. 2) Si se da a G la estructura habitual de variedad diferenciable como abierto de R^3 , se convierte en un grupo de Lie.

Problema 1.17. Sea U = {x ∈ Rn^ : ‖ x ‖< 1 }. Probar que la aplicaci´on f : U → Rn definida por f (x) = (^1) −‖xx‖ 2 es un difeomorfismo.

Problema 1.18. Probar que la aplicaci´on f : R^2 → R^2 , f (x, y) = (xey^ + y, xey^ − y) es un difeomorfismo.

Problema 1.19. Sean (E, φ) y (E, ψ) las dos estructuras diferenciables del “ocho” que se estudiaron en el problema 1.11. Construir un difeomorfismo entre ellas.

Problema 1.20. Se considera f : R^3 → R^3 , f (x, y, z) = (x cos z − y sen z, x sen z + y cos z, z). Probar que f

S^2 es un difeomorfismo.

Problema 1.21. Definimos en el conjunto Rn+1{ 0 } una relaci´on de equivalencia ∼ por la condici´on de que dos vectores de ese conjunto son equivalentes cuando son proporcionales. El espacio cociente PRn^ = Rn+1{ 0 }/ ∼ recibe el nombre de espacio proyectivo real de dimensi´on n. Sea [x^1 ,... , xn+1] ∈ PRn^ la clase de equivalencia de (x^1 ,... , xn+1) ∈ Rn+1{ 0 }. Para cada i = 1,... , n + 1, sea Ui el subconjunto de puntos de PRn^ cuyos representantes tienen la coordenada i−´esima distinta de 0. Probar que las aplicaciones φi : Ui → Rn^ dadas por

φi([x^1 ,... , xn+1]) =

x^1 xi^

xi−^1 xi^

xi+ xi^

xn+ xi

constituyen un atlas C∞^ para PRn.

Problema 1.22. Con las notaciones anteriores, sea π : Rn+1{ 0 } → PRn^ la aplicaci´on que env´ıa cada elemento a su clase de equivalencia. Se puede considerar adem´as la aplicaci´on obvia πs : Sn^ → PRn. Comprobar, utilizando el atlas identidad para Rn+1{ 0 }, el del problema 1.7 para Sn^ y el obtenido en el problema anterior, que π y la inclusi´on i : Sn^ → Rn+1{ 0 } son aplicaciones diferenciables. Utilizando un diagrama conmutativo, probar que πS tambi´en lo es.

Problema 1.23. Probar que los siguientes conjuntos son grupos de Lie: (1) Cualquier espacio vectorial real o complejo de dimensi´on finita con la suma. (2) C∗^ = C{ 0 }, con la multiplicaci´on de n´umeros complejos. (3) S^1 con la multiplicaci´on inducida por C. (4) G × H, siendo G y H grupos de Lie. (5) T n^ = S^1 × · · · × S^1 , grupo t´orico. (6) Aut(V ), donde V es un espacio vectorial real o complejo de dimensi´on finita, con la composici´on. En particular, lo son, pues, Gl(n;R) = Aut(Rn), Gl(n;C) = Aut(Cn). (7) K = R∗^ × R, con la multiplicaci´on (s, t)(s′, t′) = (ss′, st′^ + t). (8) Gl(n;R) × Rn, n > 1 , con la multiplicaci´on dada por (A, x)(A′, x′) = (A ◦ A′, Ax′^ + x). ¿Qu´e nombre dar´ıas a estos dos ´ultimos grupos?

TEMA 2. EL ESPACIO TANGENTE. LA DIFERENCIAL DE UNA APLICACI ON´ 6

Problema 2.4. La curva γ en R^2 est´a definida por γ(t) = (cos t, sen t), t ∈]0, π[, y la aplicaci´on f : R^2 → R por f (x, y) = 2x + y^3. Calcular el vector v tangente a γ en el punto γ(π 4 ) y determinar v(f ).

Problema 2.5. Consideremos la curva σ en R^2 definida por σ(t) = (t^2 − 1 , t^3 − t). Obtener σ(t) y σ′(t) para t = 1 y t = − 1. Comparar σ(1) con σ(−1) y σ′(1) con σ′(−1).

Problema 2.6. 1) Sea E el “ocho” del problema 1.11 con la estructura diferenciable definida por la carta φ(sen 2s, sen s) = s si s ∈]0, 2 π[. Probar que si j : E → R^2 es la inclusi´on, entonces j es diferenciable.

1. Sea N el “nudo” del problema 1.12 con la carta definida en 1.12,(1). Probar que la inclusi´on j : N → R^2 no es diferenciable.

Problema 2.7. Sea E el “ocho” con la estructura diferenciable definida por la carta φ(sen 2s, sen s) = s si s ∈]0, 2 π[. Consideremos el vector v = (^) dsd

∣(0,0), que es tangente

a E en el origen de R^2 , y sea j : E → R^2 la inclusi´on. (1) Calcular j∗(v). (2) Realizar el mismo c´alculo cuando E tiene la estructura diferenciable dada por la carta ψ(sen 2s, sen s) = s si s ∈] − π, π[ y comparar con el resultado anterior.

Problema 2.8. Sean M y N dos variedades diferenciables con M conexa y f : M → N una aplicaci´on diferenciable. Probar que f∗ = 0 si y s´olo si f es constante.

Problema 2.9. Probar que si γ es una curva diferenciable en la variedad diferenciable M , entonces γ′^ es una curva diferenciable en la variedad tangente T M.

Problema 2.10. Sean M y N dos variedades diferenciables y sean p ∈ M, q ∈ N. Probar que existe un isomorfismo natural entre T(p,q)(M × N ) y TpM ⊕ TqN.

Problema 2.11. Sea G un grupo de Lie de dimensi´on 2. Sea g ∈ G y Lg : G → G la traslaci´on a la izquierda. Sea (e 1 , e 2 ) una base de ThG, sea (f 1 , f 2 ) una base de TghG, y ( a b c d

la matriz de Lg∗h : ThG → TghG. Obtener la matriz de la aplicaci´on Lg∗ h : T (^) gh∗G → T (^) h∗ G en las bases duales.

Problema 2.12. Sean C = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 = 1} y f : R^3 → R^3 la aplicaci´on f (x, y, z) = (x cos a − y sen a, x sen a + y cos a, 2 z), siendo a ∈ R. Sea φ : C → R^2 { 0 } la aplicaci´on dada por φ(x, y, z) = (xez^ , yez^ ).

1. Probar que φ es biyectiva, calcular su inversa y probar que f (C) = C.
2. La aplicaci´on φ es efectivamente una carta que proporciona a C una estructura de variedad diferenciable. Siendo p = (1, 0 , 0) ∈ C, calcular, utilizando la carta φ y considerando f como una aplicaci´on de C en C : f∗

∂φ^1

p −^3

∂ ∂φ^2

p

Tema 3

Teoremas de la funci´on inversa y de

la funci´on impl´ıcita

Problema 3.1. Probar que la aplicaci´on diferenciable ψ : R → R^2 dada por ψ(t) = (t^2 , t^3 ) no es una inmersi´on.

Problema 3.2. Sea M = {(x, y) ∈ R^2 | x^2 +y^2 < 1 }. Definimos una aplicaci´on diferenciable

f : M → R^2 mediante f (x, y) =

y 1 −x^2 +y^2 ,^ exp(x

(1) Determinar el conjunto S de los puntos m de M para los cuales f∗m es inyectiva. (2) Probar que f (S) es un conjunto abierto.

Problema 3.3. (1) Probar que la funci´on de R^3 a R dada por f (x, y, z) = x^2 + y^2 − z^2 − 1 define mediante f −^1 ({ 0 }) una subvariedad regular de R^3. (2) Apoy´andose en la demostraci´on del Teorema de la funci´on impl´ıcita, encontrar un atlas de f −^1 ({ 0 }).

Problema 3.4. Consideremos la inclusi´on j : S^2 → R^3 , y la aplicaci´on inducida j∗ : T S^2 → T R^3 = R^3 × R^3. Probar que esta aplicaci´on es una subvariedad regular de R^6. Ayuda: Considerar la aplicaci´on φ : R^3 × R^3 → R^2 dada por

φ((x, y, z), (u, v, w)) = (x^2 + y^2 + z^2 , xu + yv + zw)

y probar que j∗(T S^2 ) = φ−^1 ({(1, 0)}).

Problema 3.5. Sea S^1 = {z ∈ C : |z| = 1}. Consideremos la aplicaci´on φ : R → S^1 × S^1 dada por φ(u) = (e^2 πiau, e^2 πiu), siendo a ∈ R. Averiguar, seg´un los valores de a, si φ es una inmersi´on, o subvariedad, o subvariedad regular.

Problema 3.6. La aplicaci´on f : R^2 → R^2 { 0 } est´a definida por

f (u, v) = (eu^ cos v, eu^ sen v).

(1) Determinar el Jacobiano de f y probar que su determinante no se anula en punto alguno del plano. (2) ¿Puede tomarse f como una carta en un entorno de cualquier punto?

7

TEMA 3. TEOREMAS DE LA FUNCI ON INVERSA Y DE LA FUNCI ´ ON IMPL´ ´ICITA 9

Problema 3.13. Sea M el conjunto de las matrices reales n × n y sea O(n) el subconjunto formado por las que cumplen tM M = I, siendo I la matriz identidad. (1) Probar que O(n) es una variedad. ¿Cu´al es su dimensi´on? Sugerencia: utilizar el Teorema de la funci´on impl´ıcita y para ello definir una aplicaci´on de M en el subconjunto de las matrices sim´etricas. (2) Identificar TI O(n) con el subconjunto A de las matrices antisim´etricas. Sugerencia: ¿Qu´e condici´on ha de cumplir la tangente en t = 0 a una curva en O(n) que para t = 0 pasa por I? (3) Probar que si A ∈ A y M ∈ O(n) entonces M A ∈ TM O(n). Sugerencia: como la anterior pero ahora la curva pasa por M para t = 0. Probar que la aplicaci´on ψ : (M, A) 7 → (M, M A) es un difeomorfismo de O(n) × A sobre T O(n). (4) Deducir de (3) que O(n) es paralelizable (se dice que una variedad r−dimensional M es paralelizable si en M existen r campos vectoriales diferenciables que son linealmente independientes en cada punto de M ).

Problema 3.14. Probar que un subconjunto W de la variedad diferenciable n−dimensional M , definido por p ecuaciones f 1 (m) = 0,... , fp(m) = 0, donde f 1 ,... , fp son funciones diferenciables en M , es una subvariedad regular si la aplicaci´on de M en Rp^ dada por m 7 → (f 1 (m),... , fp(m)) es de rango p en cualquier punto m ∈ W.

Problema 3.15. Sea f : R^3 → R^2 la funci´on definida por f (x, y, z) = (x^2 − y^3 , a + z^2 − x^3 ) y sea S = f −^1 ({ 0 }).

1. Encontrar los valores de a para los cuales se satisfacen las hip´otesis del Teorema de la funci´on impl´ıcita.
2. a = 1 es uno de esos valores de manera que S es entonces una subvariedad regular de R^3. Comprueba que p = (1, 1 , 0) ∈ S y encuentra una carta de S, φ : U → R, en un entorno de p.

Problema 3.16. Sea h : R^3 → R la funci´on definida por h(x, y, z) = y^2 + 2z^2 − a, siendo a ∈ R. Sea S^2 = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1} y pongamos ˜h = h ◦ i : S^2 → R, donde i : S^2 → R^3 es la inclusi´on. Ponemos P := h˜−^1 ({ 0 }) ⊂ S^2.

a) Probar que, si a = 1, los puntos p 1 = (0, 1 , 0), p 2 = (0, − 1 , 0) pertenecen a P y que h˜∗p 1 y h˜∗p 2 no son suprayectivas. Probar que en ese caso no se cumplen las hip´otesis del Teorema de la funci´on impl´ıcita (HTFI) respecto a i : P → S^2.

b) Encontrar los valores de a para los cuales P 6 = ∅.

c) Encontrar los valores de a para los cuales se cumplen las HTFI respecto a i : P → S^2.

Tema 4

Campos vectoriales

Problema 4.1. Sea M = {(x, y) ∈ R^2 : x > 0 } y sea f : M → R la aplicaci´on definida por f (x, y) = x. (1) Probar que X(x,y) =

( (^) x r^3 ,^

y r^3

, siendo r =

x^2 + y^2 , es un campo vectorial diferen- ciable en M. (2) Calcular f∗(Xp), siendo p ∈ M.

Problema 4.2. Consideremos sobre R^3 los campos vectoriales

X = xy

∂x

• x^2

∂z

, Y = y

∂y

y la aplicaci´on f : R^3 → R dada por f (x, y, z) = x^2 y. Calcular (1) [X, Y ](1, 1 ,0). (2) (f X)(1, 1 ,0). (3) X(f )(1, 1 ,0). (4) f∗(1, 1 ,0)X(1, 1 ,0).

Problema 4.3. Escribir en coordenadas cil´ındricas los campos vectoriales X, Y ∈ X(R^3 ) definidos por

X = 2

∂x

∂y

∂z

, Y = −(x^2 + y^2 )y

∂x

• (x^2 + y^2 )x

∂y

Problema 4.4. Sea f : R^3 → R la funci´on diferenciable definida por f (x, y, z) = x^2 +y^2 − 1 , que determina la subvariedad regular S = f −^1 ({ 0 }) de R^3. Consideremos sobre R^3 los campos vectoriales siguientes:

X = (x^2 − 1)

∂x

• xy

∂y

• xz

∂z

, Y = x

∂x

• y

∂y

• 2xz^2

∂z

¿Son esos campos tangentes a S? N´otese que X ∈ X(R^3 ) es tangente a S sii X(f ) = 0 en S.

TEMA 4. CAMPOS VECTORIALES 12

Problema 4.12. Sea f : M → N una aplicaci´on diferenciable y sean X e Y campos vectoriales f -relacionados. Probar que f aplica curvas integrales de X en curvas integrales de Y.

Problema 4.13. Consideremos los siguientes tres campos vectoriales en R^3 :

e 1 =

∂x

, e 2 =

∂x

∂y

, e 3 =

∂x

∂y

• (1 + x^2 )

∂z

(1) Probar que esos tres campos vectoriales constituyen una base para el C∞(R^3 )- m´odulo de campos vectoriales diferenciables en R^3. (2) Escribir los elementos de la base dual (e^1 , e^2 , e^3 ) de la (ei), en t´erminos de dx, dy, dz. (3) Comprobar la identidad de Jacobi entre e 1 , e 2 y e 3.

Problema 4.14. Utilizando las notaciones del problema 1.16, sea A = (a, b, c) ∈ G y sea λA : G → G las traslaci´on a la izquierda definida por A. Sean x, y, z las funciones coordenadas en R^3 (y por tanto, de la carta usual de G). (1) Calcula λA∗e

∂x

e

, λA∗e

∂y

e

, λA∗e

∂z

e

siendo e el neutro de G. (2) Define campos vectoriales X, Y, Z ∈ X(G) mediante

XA = λA∗e

∂x

e

, YA = λA∗e

∂y

e

, ZA = λA∗e

∂z

e

y calcula [X, Y ], [Y, Z], [Z, X].

Problema 4.15. Sea M = R^2 y N = R^4. Consideremos los campos vectoriales sobre M: X = x (^) ∂x∂ + y (^) ∂y∂ , Y = −y (^) ∂x∂ + x (^) ∂y∂. Sea ψ : M → N la aplicaci´on dada por ψ(x, y) =

(x^2 − y^2 , x^2 + y^2 , x + y, x − y). (1) Calcular [X, Y ]. (2) Demostrar que X e Y son linealmente independientes en cada punto de M −{(0, 0)} y escribir los elementos duales α, β de X e Y en funci´on de la base dx, dy. (3) Calcular ψ∗ ◦ X y ψ∗ ◦ Y.

Problema 4.16. (muy largo) En R^3 , con coordenadas x, y, z se consideran los tres campos vectoriales siguientes:

X =

1 + x^2 − y^2 − z^2 2

∂x

• (xy − z)

∂y

• (xz + y)

∂z

Y = (yx + z)

∂x

1 + y^2 − z^2 − x^2 2

∂y

• (yz − x)

∂z

Z = (zx − y)

∂x

• (zy + x)

∂y

1 + z^2 − x^2 − y^2 2

∂z

(1) Probar que para cada m ∈ R^3 , Xm, Ym, Zm constituyen una base ortogonal de R^3 , y que los tres vectores tienen la misma norma.

TEMA 4. CAMPOS VECTORIALES 13

(2) Calcular los corchetes de Lie [X, Y ], [Y, Z], [Z, X] y expresarlos en la base X, Y, Z. (3) Sea Ω = R^3 − { 0 } y consideremos la aplicaci´on φ : Ω → Ω definida por φ(x, y, z) = −(x, y, z)/(x^2 + y^2 + z^2 ). Probar que φ es un difeomorfismo y calcular φ∗ ◦ X ◦ φ−^1 , φ∗ ◦ Y ◦ φ−^1 , φ∗ ◦ Z ◦ φ−^1. (4) Usando para S^3 un atlas formado por la proyecci´on estereogr´afica respecto al polo norte y menos la proyecci´on estereogr´afica respecto al polo sur, deducir a partir de (3) la existencia de tres campos vectoriales en S^3 que son linealmente independientes en cada punto. Para ello, comp´arese φ con el difeomorfismo de cambio de esas dos cartas.

Problema 4.17. Probar que los conjuntos siguientes son ´algebras de Lie: (1) Cualquier espacio vectorial sobre el que todos los corchetes de vectores son nulos (a esto se llama ´algebra de Lie abeliana) (2) R^3 con el producto vectorial de vectores. (3) El espacio vectorial de las matrices cuadradas reales n × n con el corchete [A, B] = AB − BA. (4) Un espacio vectorial 2-dimensional con base x, y, definiendo [x, x] = [y, y] = 0 , [x, y] = −[y, x] = y, y extendiendo linealmente el corchete. (5) End(V ), siendo V un espacio vectorial n-dimensional, poniendo [f, g] = f ◦g −g ◦f.

Problema 4.18. En el problema 1.21 se defini´o un atlas para el espacio proyectivo PRn. Se sabe que es posible dotar a PR^3 de estructura de grupo de Lie, y a ella nos vamos a referir en lo que sigue. Sean u, v, w las funciones coordenadas de la carta φ 1 : U 1 → R^3 de PR^3 , y sea η ∈ U 1 un elemento tal que φ 1 (η) = (p, q, r). En el subconjunto abierto A = λ− η 1 (U 1 ) ∩ U 1 est´a definida la aplicaci´on φ 1 ◦ λη

U 1 ,^ y se tiene concretamente en^ A:

u ◦ λη =

p + u + qw − rv 1 − pu − qv − rw

, v ◦ λη =

q + v + ru − pw 1 − pu − qv − rw

, w ◦ λη =

r + w + pv − qu 1 − pu − qv − rw

(1) Calcula λη∗∂u^ ∂

∣e^ ,^ λη∗∂v^ ∂

∣e^ ,^ λη∗∂w^ ∂

∣e^ ,^ siendo^ e^ el neutro, que viene dado por^ e^ =

[1, 0 , 0 , 0].

(2) Se definen campos vectoriales U, V, W ∈ X(PR^3 ) mediante Uη = λη∗∂u^ ∂

∣e^ ,^ Vη =

λη∗∂v^ ∂

∣e^ ,^ Wη =^ λη∗∂w^ ∂

∣e^.^ Expresarlos en el dominio^ U 1 de^ φ 1.^ (Evidentemente,^ U, V, W

son campos invariantes a la izquierda en PR^3 ). Soluci´on:

U = (1 + u^2 )

∂u

• (uv + w)

∂v

• (uw − v)

∂w

etc. (3) Calcula tambi´en en la misma carta [U, V ], [V, W ], [W, U ].

Problema 4.19. PR^2 denota el espacio proyectivo 2-dimensional, dotado de las cartas descritas en el problema 1.21. Se supone demostrado que π : R^3 { 0 } → PR^2 es una sumersi´on.

a) Demostrar que si ponemos f (π(x, y, z)) = π(x^2 − y^2 , yz, y^2 + z^2 ), el resultado no depende del representante. Tenemos as´ı una aplicaci´on f : PR^2 → PR^2.

Tema 5

Campos tensoriales. Formas

diferenciales. Derivada de Lie

En los problemas 5.1 hasta 5.9 se supondr´a que V es un espacio vectorial real de dimensi´on n, en el cual se ha elegido una base (ei) cuya dual se denota por (ei), para i = 1,... n. Cuando se hable de componentes de tensores, se sobreentender´a que se refieren a esas bases.

Problema 5.1. Sean aij , bij las componentes de dos tensores de tipo (0, 2) y supongamos que para todo vector de V de componentes xi^ se cumpla aij xixj^ = bij xixj^. Probar que (1) aij + aji = bij + bji, (2) Si aij = aji y bij = bji para todo par i, j = 1,... , n, probar que aij = bij.

Problema 5.2. Sean aij^ las componentes de un tensor sim´etrico de tipo (2, 0) y bij las de un tensor antisim´etrico de tipo (0, 2). Calcular aij^ bij.

Problema 5.3. Sean aij , bij las componentes de dos tensores de tipo (0, 2), a y b, tales que b 6 = 0 y que aij bkl − ailbjk + ajkbil − aklbij = 0, para cualesquiera valores de los ´ındices i, j, k, l. Probar que existe un cierto n´umero real λ para el cual aij = λbij para todo par i, j = 1,... , n.

Problema 5.4. Sean aij las componentes de un tensor de tipo (1, 1) que satisface aij ajk = δki. Probar que (1) det(aij ) = ± 1. (2) Si det(aij ) = − 1 , entonces det(aij + δji ) = 0. (3) Si det(aij ) = 1 y n es impar entonces det(aij − δji ) = 0.

Problema 5.5. Sean aij las componentes de un tensor sim´etrico a de tipo (0, 2) y bj las de una 1-forma b, que satisfacen la condici´on aij bk +ajkbi +akibj = 0 para ´ındices cualesquiera i, j, k. Probar que o bien a = 0, o bien b = 0.

Problema 5.6. Sea a un tensor de tipo (0, 2). Probar que a = a(ei, ej )ei^ ⊗ ej^. As´ı, las componentes de a son aij = a(ei, ej ). Si (ui) fuera otra base de V de modo que ui = cji ej , ¿c´omo se expresar´ıan las componentes ˜aij = a(ui, uj ) en funci´on de las aij , cij?

TEMA 5. CAMPOS TENSORIALES. FORMAS DIFERENCIALES. DERIVADA DE LIE 16

Problema 5.7. Sean ω^1 ,... , ωk^ ∈ V ∗. Probar que esas 1-formas son linealmente indepen- dientes si y s´olo si ω^1 ∧ · · · ∧ ωk^6 = 0.

Problema 5.8. Sean ω^1 ,... , ωr^ ∈ V ∗^ tales que ω^1 ∧ · · · ∧ ωr^6 = 0. Probar que una condici´on necesaria y suficiente para que θ ∈ ΛaV pertenezca al ideal de Λ•V generado por ω^1 ,... , ωr es que θ ∧ ω^1 ∧ · · · ∧ ωr^ = 0.

Problema 5.9. Sea A un tensor de tipo (0, 4) verificando (a) Aijkl = −Ajikl, (b) Aijkl = −Aijlk, (c) Aijkl + Aiklj + Ailjk = 0, para cualesquiera ´ındices i, j, k, l. Probar (1) Aijkl = Aklij. (2) Si A(v, w, v, w) = 0 para todo par v, w ∈ V, entonces A = 0.

Problema 5.10. Sean A, B dos campos tensoriales de tipo (1, 1) sobre la variedad diferen- ciable M. Para cada par de campos vectoriales X, Y ∈ X(M ) definimos:

S(X, Y ) =[AX, BY ] + [BX, AY ] + AB[X, Y ] + BA[X, Y ] − A[X, BY ] − A[BX, Y ] − B[X, AY ] − B[AX, Y ]. Probar que S es un campo tensorial antisim´etrico de tipo (1, 2) en M , llamado tensor de Nijenhuis de A y B. Sea J un campo tensorial de tipo (1, 1) en M. El tensor de Nijenhuis de J est´a definido por N (X, Y ) = [JX, JY ] + J^2 [X, Y ] − J[X, JY ] − J[JX, Y ]. (1) Probar que N es un campo tensorial de tipo (1, 2) en M. (2) Obtener su expresi´on local en una carta de M en funci´on de las componentes de J.

Problema 5.11. En R^2 se consideran los campos:

X =(x^2 + y)

∂x

• (y^2 + 1)

∂y

Y =(y − 1)

∂x

θ =(2xy + x^2 + 1)dx + (x^2 − y)dy

y la aplicaci´on f : R^3 → R^2 dada por f (u, v, w) = (u − v, v^2 + w). Calcular: (1) X, Y ; (2) θ(X)(0,0); (3) f ∗θ.

Problema 5.12. En R^2 se consideran los campos:

X =x

∂x

• 2xy

∂y

Y =y

∂y

ω =(x^2 + 2y)dx + (x + y^2 )dy

Calcular [X, Y ] y dω, y demostrar que se satisface la siguiente f´ormula que define la diferencial exterior:

dω(X, Y ) = X(ω(Y )) − Y (ω(X)) − ω([X, Y ]).

TEMA 5. CAMPOS TENSORIALES. FORMAS DIFERENCIALES. DERIVADA DE LIE 18

Problema 5.23. Sea ιX la multiplicaci´on interior respecto al campo vectorial X. Probar que para cualquier forma diferencial ω, se tiene LX , ιY = ι[X.Y ]ω.

Problema 5.24. Sea f : M → M un difeomorfismo. Si X ∈ X(M ), pongamos f∗X ∈ X(M ) definido por f∗X = f∗ ◦X ◦f −^1. Probar que para toda forma diferencial α en M se cumple ιX f ∗α = f ∗ιf∗X α.

Problema 5.25. Sea M una variedad diferenciable y T ∗M su variedad cotangente. Defin- imos la 1-forma can´onica ω en T ∗M como sigue. Si σ ∈ T (^) m∗M, el valor de ω en σ, ωσ, es la aplicaci´on lineal de TσT ∗M en R definida por ωσ(X) = σ(π∗(X)), siendo X ∈ TσT ∗M y π : T ∗M → M la proyecci´on natural. T´omese una carta φ : U → A para M con coordenadas φi, y consid´erese la carta inducida para T ∗M en π−^1 (U ) con coordenadas (x^1 ,... , xn, y 1 ,... , yn), que vienen definidas por xi^ = φi^ ◦ π, yi(σ) = σ( (^) ∂φ∂i

π(σ)).^ Expresar ω en esa carta. Calcular tambi´en la expresi´on de Ω = dω ∧.. .n)^ ∧ dω en esa carta.

Problema 5.26. Consideremos el grupo de Lie G = {(a, b, c) ∈ R^3 : a > 0 }, con la multiplicaci´on definida por

(a 1 , b 1 , c 1 )(a 2 , b 2 , c 2 ) = (a 1 a 2 , a 1 b 2 + b 1 , a^21 c 2 + c 1 ).

Se utilizar´an para G las coordenadas x, y, z, de modo que x(a, b, c) = a, y(a, b, c) = b, z(a, b, c) = c. (1) Sea A = (a, b, c) ∈ G. Calcular la traslaci´on a la izquierda, por A, de las funciones coordenadas, es decir x◦λA, y ◦λA, z ◦λA. Calcular las retroacciones o im´agenes rec´ıprocas λ∗ Adx, λ∗ Ady, λ∗ Adz. (2) Selecciona entre las formas diferenciales siguientes las que son invariantes a la izquierda: ω^1 = ydx − z^2 dy, ω^2 = (^) x^13 dy ∧ dz, y calcula dω^2. (3) Calcula el campo vectorial invariante a la izquierda U tal que, siendo e el neutro de G, se tiene

Ue =

∂x

e

∂z

e

(4) Calcula la derivada de Lie de la forma ω^1 respecto al campo vectorial X = y^2 ∂x∂ + 2 z (^) ∂y∂.

Problema 5.27. Utilizando las notaciones y resultados del problema 4.18, den´otense por α, β, γ las 1-formas diferenciales invariantes a la izquierda que son duales de U, V, W, respectivamente. (1) Expresa α, β, γ como combinaci´on lineal de du, dv, dw. (2) Calcula expl´ıcitamente λ∗ ηdα. (3) Calcula dγ y d(α ∧ β). (4) Calcula la derivada de Lie de α, β, γ respecto a U.

Problema 5.28. Como conjunto, el grupo G estudiado en el ejercicio 1.15 es igual que S^1 × R^2 , con lo cual podemos dotar a G de la misma estructura diferenciable que S^1 × R^2. Con esa estructura diferenciable, G es un grupo de Lie. Sea U el subconjunto de G

TEMA 5. CAMPOS TENSORIALES. FORMAS DIFERENCIALES. DERIVADA DE LIE 19

equivalente a (S^1 − {(1, 0)}) × R^2. Utilizaremos en U la carta Ψ : U →]0, 2 π[×R^2 de coordenadas φ, u, v de modo que si para abreviar llamamos

m(α, a, b) =

cos α − sen α a sen α cos α b 0 0 1

se tiene φ(m(α, a, b)) = α mod 2π, u(m(α, a, b)) = a, v(m(α, a, b)) = b. (1) Sea A = m(α, a, b) ∈ G. Calcula la traslaci´on a la izquierda, por A, de las funciones coordenadas, es decir φ ◦ λA, u ◦ λA, v ◦ λA. Calcula las retroacciones o im´agenes rec´ıprocas λ∗ Adφ, λ∗ Adu, λ∗ Adv. (2) Selecciona entre las formas siguientes las que son invariantes a la izquierda: ω^1 = cos φ du, ω^2 = sen φ du + cos φ dv, ω^3 = du ∧ dv. (3) Calcula los campos invariantes a la izquierda F, U, V tales que, siendo e el neutro de G, se tiene:

Fe =

∂φ

e

, Ue =

∂u

e

, Ve =

∂v

e