Algebra tensorial, Apuntes de Matemáticas

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Variedades Diferenciales

Angel Montesinos Amilibia

Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa,

Universidad de Valencia,

Campus de Burjasot, 46100 Burjasot (Valencia)

23 de noviembre de 2005

Abstract

Apuntes para el m´odulo Variedades diferenciables de la Licenciatura de Matem´aticas en la Universidad de Valencia. Me he apoyado bastante en el libro de F.W. Warner Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Tambi´en he utilizado el libro de S.T. Hu, y el de Brickell y Clark.

• 0 Algebra tensorial. Algebra exterior
  • 0.1 Producto tensorial
  • 0.2 M´odulos y ´algebras graduadas
  • 0.3 Algebra tensorial
  • 0.4 Algebra exterior
  • 0.5 Multiplicaci´on interior
  • 0.6 Problemas
• 1 Nociones b´asicas
  • 1.1 Introducci´on
  • 1.2 Definiciones
  • 1.3 Aplicaciones diferenciables
  • 1.4 Concepto de grupo de Lie
• 2 Espacio tangente. La diferencial
  • 2.1 Curvas y espacio tangente
  • 2.2 Dimensi´on y bases del espacio tangente
  • 2.3 El espacio cotangente
  • 2.4 Las variedades tangente y cotangente
  • 2.5 La diferencial de una aplicaci´on
    • 2.5.1 Ejemplo: la tangente a una curva y la diferencial de una funci´on
• 3 Teoremas: funci´on inversa, funci´on impl´ıcita
  • 3.1 Teorema de la funci´on inversa
  • 3.2 Subvariedades
    • 3.2.1 Ejemplos
  • 3.3 Sumersiones
  • 3.4 Subgrupos de Lie
• 4 Campos vectoriales
  • 4.1 Concepto de campo vectorial
  • 4.2 Corchete de Lie
  • 4.3 Campos vectoriales relacionados por una aplicaci´on
  • 4.4 Algebra de Lie de un grupo de Lie
  • 4.5 Curvas integrales. Flujo
• INDICE GENERAL
• 5 Campos tensoriales
  • 5.1 Concepto de campo tensorial
  • 5.2 Campos tensoriales y aplicaciones entre variedades
  • 5.3 La diferencial exterior
  • 5.4 La derivada de Lie

Tema 0

Algebra tensorial. Algebra exterior

0.1 Producto tensorial de espacios vectoriales

Sean V 1 , V 2 ,... , Vr espacios vectoriales de dimensi´on finita sobre R (se podr´ıa trabajar exactamente igual sobre otro cuerpo cualquiera), y sean V 1 ∗ ,... , V (^) r∗ sus duales. Entonces ponemos V 1 ⊗ · · · ⊗ Vr = L(V 1 ∗ × · · · × V (^) r∗ ; R), donde el segundo miembro representa el espacio vectorial de las aplicaciones multilineales de V 1 ∗ × · · · × V (^) r∗ en R, y llamamos a V 1 ⊗ · · · ⊗ Vr el producto tensorial de los espacios V 1 ,... , Vr. Si en ese producto tensorial hubiera un solo factor, el espacio vectorial V , la notaci´on exigir´ıa que V = L(V ∗; R) = V ∗∗, pero es bien sabido que se cumple can´onicamente esa identificaci´on. Sean v 1 ∈ V 1 ,... , vr ∈ Vr vectores cualesquiera y pongamos v 1 ⊗ · · · ⊗ vr ∈ V 1 ⊗ · · · ⊗ Vr para denotar la aplicaci´on multilineal definida por (v 1 ⊗ · · · ⊗ vr)(σ^1 ,... , σr) = v 1 (σ^1 ) ·

... · vr(σr) para σ^1 ∈ V 1 ∗ ,... , σr^ ∈ V (^) r∗. Llamamos a v 1 ⊗ · · · ⊗ vr el producto tensorial de los vectores v 1 ,... , vr. Un elemento de la forma v 1 ⊗ · · · ⊗ vr recibe el nombre de descomponible, pues no todos los elementos de V 1 ⊗ · · · ⊗ Vr se pueden factorizar de esa manera; en general, ser´an sumas de elementos descomponibles.

Proposici´on 0.1. Sean n 1 , n 2 ,... , nr las dimensiones de V 1 , V 2 ,... , Vr, y tomemos para cada a = 1,... , r una base {eai }i=1,...,na de Va. Entonces

{e^1 i 1 ⊗ · · · ⊗ erir }i 1 =1,...,n 1 ; i 2 =1,...,n 2 ;...; ir =1,...,nr

constituye una base de V 1 ⊗ · · · ⊗ Vr y as´ı la dimensi´on de V 1 ⊗ · · · ⊗ Vr es n 1 ·... · nr.

Demostraci´on. Para cada a ∈ { 1 ,... , r}, sea {σia}i=1,...,na la base de V (^) a∗ que es dual de {eai }i=1,...,na , es decir viene definida mediante σia(eaj ) = δji. Si h ∈ V 1 ⊗ · · · ⊗ Vr,

ponemos hi^1 ...ir^ = h(σi 11 ,... , σ rir ). A causa de la multilinealidad de h, es claro que h queda un´ıvocamente determinado por los n 1 ·... · nr n´umeros hi^1 ...ir^. Adem´as, se tiene (hi^1 ...ir^ e^1 i 1 ⊗ · · · ⊗ erir )(σ 1 j^1 ,... , σj rr ) = hi^1 ...ir^ δj i 11... δ ijrr = hj^1 ...jr^ = h(σj 11 ,... , σ rjr ), es decir h = hi^1 ...ir^ e^1 i 1 ⊗· · ·⊗erir. Que el sistema de generadores {e^1 i 1 ⊗· · ·⊗erir } es una base es ahora evidente. A los n´umeros hi^1 ...ir^ se les llama componentes de h en la base {e^1 i 1 ⊗· · ·⊗erir }.

Obs´ervese que en la demostraci´on anterior hemos usado el convenio de sumaci´on de Einstein, lo que haremos habitualmente a lo largo del curso sin mencionarlo.

TEMA 0. ALGEBRA TENSORIAL. ALGEBRA EXTERIOR 5

de tal modo que el conjunto τ (V 1 × · · · × Vr) es un sistema de generadores de V 1 ⊗ · · · ⊗ Vr, y que tienen —el par (V 1 ⊗ · · · ⊗ Vr, τ )— la siguiente propiedad universal: para cada aplicaci´on A-multilineal h : V 1 × · · · × Vr → B, siendo B un A-m´odulo cualquiera, existe una ´unica aplicaci´on A-lineal ˜h : V 1 ⊗ · · · ⊗ Vr → B tal que h = h˜ ◦ τ. El A-m´odulo V 1 ⊗ · · · ⊗ Vr recibe el nombre de producto tensorial de V 1 ,... , Vr.

Ejercicio 0.5. Si, con la definici´on para espacios vectoriales de dimensi´on finita, ponemos τ (v 1 ,... , vr) = v 1 ⊗ · · · ⊗ vr, probar que L(V 1 ∗ × · · · × V (^) r∗ ; R) junto con τ satisface la propiedad universal. Esto demuestra la equivalencia de las dos definiciones en este caso.

0.3 Algebra tensorial sobre un espacio vectorial

Sea V un R-espacio vectorial de dimensi´on finita n, y V ∗^ su dual. Para cada (r, s) ∈ Z×Z ponemos

V (r,s)^ =

{ 0 }, si r < 0 ´o s < 0 R, si r = s = 0 V︸ ⊗ · · · ⊗︷︷ V︸ r veces

⊗ V ︸ ∗^ ⊗ · · · ⊗︷︷ V ︸∗

s veces

, en los restantes casos.

Construimos el R-espacio vectorial bigraduado ⊗V = ⊕ (r,s)∈Z×Z

V (r,s). Definimos la apli-

caci´on ⊗ : ⊗V ×⊗V → ⊗V mediante generadores, poniendo para K ∈ V (r,s), L ∈ V (r ′,s′) :

(K ⊗ L)(α^1 ,... , αr+r

′ ; v 1 ,... , vs+s′^ ) = K(α^1 ,... , αr; v 1 ,... , vs)L(αr+1,... , αr+r

′ ; vs+1,... , vs+s′^ )

As´ı , ⊗V se convierte en un ´algebra asociativa bigraduada sobre R porque V (r,s)^ ⊗ V (r ′,s′) ⊂ V (r+r ′,s+s′) , y recibe el nombre de algebra tensorial sobre V. A los elementos de V (r,s)^ se les llama tensores de grado (o tipo) (r, s). La dimensi´on de V (r,s)^ es nr+s^ (o cero, si V (r,s)^ = { 0 }). Si {ei} es una base de V y {σi} su dual (i, j = 1,... , n), entonces los elementos de la forma ei 1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ σj^1 ⊗ · · · ⊗ σjs^ constituyen una base de V (r,s). Algunos comentarios sobre la notaci´on. Sea, por ejemplo, g ∈ V (1,2); entonces escribir´e a veces g( ; , ) = g para resaltar gr´aficamente de qu´e grado es g, ya que g act´ua sobre σ ∈ V ∗, v, w ∈ V para dar g(σ; v, w). Como se ve, el punto y coma sirve para distinguir la parte destinada a los argumentos pertenecientes a V ∗^ de la destinada a los pertenecientes a V. Si σ ∈ V ∗, entonces g(σ; , ) ∈ V (0,2)^ de modo natural. En efecto, g(σ; , ) es la aplicaci´on que act´ua sobre v, w ∈ V para dar g(σ; v, w). N´otese que, en general, g( ; v, ) 6 = g( ; , v) y lo mismo en casos m´as complicados.

Ejercicios 0.6. 1) ¿De qu´e tipo tensorial son los siguientes objetos: a) un vector de V ; b) un n´umero de R; c) un endomorfismo de V ; d) un producto escalar en V? 2) Sea {ei} una base de V, {σi} su dual y pongamos I = ei ⊗σi^ ; probar que para cualesquiera α ∈ V ∗, v ∈ V se tiene I(α; ) = α, I( ; v) = v, I(α; v) = α(v); por tanto I corresponde al automorfismo identidad.

TEMA 0. ALGEBRA TENSORIAL. ALGEBRA EXTERIOR 6

Sea h ∈ V (r,s); supongamos que r > 0 , s > 0 y que a, b son n´umeros enteros tales que 0 < a ≤ r, 0 < b ≤ s. Escribimos C(a,b)h para denotar el tensor de V (r−^1 ,s−1)^ definido por

C(a,b)h(α^1 ,... , αr−^1 ; v 1 ,... , vs− 1 ) = h(α^1 ,... , αa−^1 , σi, αa,... , αr−^1 ; v 1 ,... , vb− 1 , ei, vb,... , vs− 1 ),

siendo {ei} una base cualquiera de V y {σi} su dual. Al tensor C(a,b)h se le llama contracci´on de h en el ´ındice contravariante a y en el ´ındice covariante b. Se deja como ejercicio probar que la contracci´on no depende de la base elegida {ei}, de modo que la definici´on es consistente.

Ejercicio 0.7. a) Si v ∈ V, σ ∈ V ∗, demostrar C(1,1)(v ⊗ σ) = σ(v); b) si g ∈ V (0,2), v, w ∈ V, demostrar C(1,1)C(1,1)(v ⊗ w ⊗ g) = g(v, w); c) si h es un endomorfismo de V, demostrar C(1,1)h = tr h.

0.4 Algebra exterior

Sea V un R-espacio vectorial n-dimensional. A las sub´algebras ⊕ p∈Z

V (p,0), ⊕ p∈Z

V (0,p)^ de

⊗V se las llama respectivamente ´algebra de tensores contravariantes sobre V y ´algebra de tensores covariantes sobre V. En este apartado y en el siguiente trabajaremos con la segunda, bien entendido que todo lo que hagamos se puede trasladar paso a paso a la primera. Un elemento α ∈ V (0,p)^ es simplemente un elemento de L(V × · · · × V ; R), y recibe el nombre de tensor covariante de grado p. Vamos a considerar ahora un subespacio de V (0,p), el de los tensores covariantes alternados de grado p, tambi´en llamados formas de grado p, o bien p-formas, sobre V. Sea α ∈ V (0,p). Decimos que α es una p-forma sobre V (o que es un tensor covariante alternado de grado p) si para cualesquiera elementos v 1 ,... , vp ∈ V y para cualquier per- mutaci´on π : { 1 , 2 ,... , p} → { 1 , 2 ,... , p} se tiene α(vπ(1),... , vπ(p)) = sg(π)α(v 1 ,... , vp), donde

sg(π) =

1 , si π es par − 1 , si π es impar

Las∧ p-formas sobre V constituyen un subespacio vectorial de V (0,p), que se denota por p (^) V.

Proposici´on 0.8. Sea α ∈

∧p V, y sean v 1 ,... , vp ∈ V :

1. si hay dos elementos iguales entre los v 1 ,... , vp, entonces α(v 1 ,... , vp) = 0;
2. si {v 1 ,... , vp} no es linealmente independiente, entonces α(v 1 ,... , vp) = 0;
3. si p > n, entonces α(v 1 ,... , vp) = 0, es decir,

∧p V = { 0 } si p > n.

Demostraci´on. (1) Sean r, s dos ´ındices distintos para los que vr = vs y consideremos la permutaci´on π que consiste en trasponer r con s. Como π es impar, sg(π) = − 1.

TEMA 0. ALGEBRA TENSORIAL. ALGEBRA EXTERIOR 8

Demostraci´on. (1) Utilizando la segunda f´ormula para el producto exterior, supongamos que τ ∈ Sp+q. Entonces

(α ∧ β)(vτ (1),... , vτ (p+q))

=

p!q!

π∈Sp+q

sg(π)α(vτ (π(1)),... , vτ (π(p)))β(vτ (π(p+1)),... , vτ (π(p+q)))

sg(τ ) p!q!

π∈Sp+q

sg(τ ◦ π)α(vτ (π(1)),... , vτ (π(p)))β(vτ (π(p+1)),... , vτ (π(p+q)))

= sg(τ )(α ∧ β)(v 1 ,... , vp+q),

porque la composici´on τ ◦π es una permutaci´on de { 1 , 2 ,... , p+q}, y si π recorre Sp+q, τ ◦π recorre exactamente Sp+q. El resto de la afirmaci´on se deja como ejercicio. Concretamente, si γ ∈

∧r V, se tiene (α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ), y as´ı se escribe sin ambig¨uedad α ∧ β ∧ γ, que viene dada por

(α ∧ β ∧ γ)(v 1 ,... , vp+q+r)

π∈S(p,q,r)

sg(π)α(vπ(1),... , vπ(p))β(vπ(p+1),... , vπ(p+q))γ(vπ(p+q+1),... , vπ(p+q+r))

p!q!r!

π∈Sp+q+r

sg(π) α(vπ(1),... , vπ(p))β(vπ(p+1),... , vπ(p+q))γ(vπ(p+q+1),... , vπ(p+q+r)),

y se deja al lector averiguar qu´e es S(p,q,r). (2) Es evidente, pues la permutaci´on { 1 , 2 ,... , p+q} → {p+1, p+2,... , p+q, 1 , 2 ,... , p} tiene paridad pq. (3) Se tiene, para 1 ≤ j 1 < · · · < jp ≤ n, ∑

1 ≤i 1 <··· 0, ´o por ivα = 0 para p ≤ 0. Observemos que C(1,1)(v ⊗ α) (∧v 1 ,... , vp− 1 ) = v(σi)α(ei, v 1 ,... , vp− 1 ) = α(v, v 1 ,... , vp− 1 ). Esto demuestra que ivα ∈ p− (^1) V y justifica el que a veces pongamos i vα^ =^ α(v,^ ).^ A la aplicaci´on^ iv :^

se le da el nombre de contracci´on (o multiplicaci´on interior) con v.

TEMA 0. ALGEBRA TENSORIAL. ALGEBRA EXTERIOR 9

Proposici´on 0.11. Sea v ∈ V ; entonces iv es una antiderivaci´on de grado − 1 en el ´algebra exterior

V.

Demostraci´on. Hemos de probar solamente que si α ∈

∧p V, β ∈

∧q V, se tiene iv(α ∧ β) = (ivα) ∧ β + (−1)pα ∧ ivβ. Esto, desde luego, es trivial para p = 0. Supongamos p = 1 y sean v 2 ,... , vq+1 ∈ V. Entonces, poniendo v 1 = v, tenemos

iv(α ∧ β)(v 2 ,... , vq+1) = (α ∧ β)(v 1 ,... , vq+1)

π∈S(1,q)

sg(π)α(vπ(1))β(vπ(2),... , vπ(q+1))

∑^ q+

j=

(−1)j+1α(vj )β(v 1 ,... , vˆj ,... , vq+1)

= α(v)β(v 2 ,... , vq+1) +

∑^ q+

j=

(−1)j+1α(vj )β(v, v 2 ,... , ˆvj ,... , vq+1)

(ivα) ∧ β

(v 2 ,... , vq+1) −

∑^ q+

j=

(−1)j^ α(vj )ivβ(v 2 ,... , ˆvj ,... , vq+1)

(ivα) ∧ β + (−1)^1 α ∧ ivβ

(v 2 ,... , vq+1);

y as´ı queda probado para p = 1. Suponi´endolo v´alido para todo α ∈

∧p V, sea γ ∈

V.

Entonces

iv

(γ ∧ α) ∧ β

= iv

γ ∧ (α ∧ β)

= (ivγ) ∧ (α ∧ β) − γ ∧ iv(α ∧ β)

(ivγ) ∧ α

∧ β − γ ∧ (ivα) ∧ β + (−1)p+1γ ∧ α ∧ ivβ

iv(γ ∧ α)

∧ β + (−1)p+1(γ ∧ α) ∧ ivβ.

Como todo elemento de

∧p+ V es una combinaci´on lineal de elementos de la forma γ ∧ α, con γ ∈

V y α ∈

∧p V, y iv es lineal, el resultado es cierto para formas de grado p + 1, o sea, es cierto para todo

V.

Nota 0.12. Algunos libros (por ejemplo, Kobayashi–Nomizu) utilizan una definici´on algo diferente del producto exterior. Si ∧′^ es el producto exterior de esos autores, se tiene, para α ∈

∧p V, β ∈

∧q V, la relaci´on siguiente con el producto exterior utilizado aqu´ı

α ∧′^ β =

p!q! (p + q)!

α ∧ β.

La definici´on de esos autores es m´as natural en cierto sentido (v´ease problema n. 9), pero tiene la desventaja de introducir denominadores. Por ejemplo, si α, β ∈

V, se tiene

α ∧ β = α ⊗ β − β ⊗ α, α ∧′^ β =

(α ⊗ β − β ⊗ α).

Tema 1

Variedades diferenciables: nociones

b´asicas

1.1 Introducci´on

En el curso de Geometr´ıa Diferencial Cl´asica se estudiaron las superficies en R^3 , y se vio c´omo las cartas permiten definir aplicaciones diferenciables de una superficie en otro espacio, o de otro espacio en una superficie, y se pod´ıa definir la diferencial de esas aplicaciones. En otras palabras, se puede calcular con objetos definidos sobre la superficie. Se extend´ıa as´ı el dominio del an´alisis a las superficies, y a su vez el an´alisis permit´ıa dar forma concreta a nociones geom´etricas. La mayor limitaci´on de este enfoque est´a en que las superficies se tomaban como objetos metidos en un espacio ambiente —en nuestro caso, R^3 —. En efecto, se ve que hay importantes objetos matem´aticos cuya definici´on natural no es la de subconjuntos de un Rn^ ambiente, y que sin embargo admiten una descripci´on local a la manera de las superficies, es decir por medio de cartas entendidas como biyecciones de regiones del objeto en abiertos de un espacio modelo, un Rn. Por ejemplo, el conjunto de todas las rectas vectoriales de Rn, llamado espacio proyectivo, o el conjunto de todas las rectas afines de Rn. Entre esos objetos se encuentran las variedades topol´ogicas. Al estudiarlas se pone el acento en la continuidad: son espacios topol´ogicos localmente homeomorfos a abiertos de Rn. Un paso m´as nos lleva a las variedades diferenciables; en ellas no solamente se exige la continuidad sino la diferenciabilidad: son variedades topol´ogicas localmente difeomorfas a abiertos de Rn. En principio no se las considera metidas en ning´un espacio ambiente sino que se las estudia en s´ı mismas, con una herramienta: las cartas. Esto hace m´as abstracto el enfoque, pero esa dificultad queda compensada por el gran alcance de las t´ecnicas que se desarrollan.

1.2 Definiciones

Definici´on 1.1. Una variedad diferenciable n-dimensional de clase Ck, 0 < k ≤ ∞, es un conjunto M junto con una familia de aplicaciones biyectivas llamadas cartas, φα : Uα → Aα, α ∈ I, donde I es un conjunto de ´ındices, Uα es un subconjunto de M y Aα es un

TEMA 1. NOCIONES B ASICAS´ 12

abierto de Rn, con las siguientes propiedades:

1. Los dominios de las cartas recubren M , es decir:

α∈I Uα^ =^ M.

1. Para cualquier par α, β ∈ I el dominio de la aplicaci´on φα ◦ φ− β 1 , esto es φβ (Uα ∩ Uβ ), es un abierto de Rn^ y la aplicaci´on

φα ◦ φ− β 1 : φβ (Uα ∩ Uβ ) → φα(Uα ∩ Uβ )

es de clase Ck.

Se dice entonces que la familia de cartas {φα}α∈I es un atlas de clase Ck^ de M o una estructura diferenciable de clase Ck^ de M. A n se le llama dimensi´on de M.

Para abreviar, si k = ∞, diremos que M es una variedad diferenciable n-dimensional. Es decir, por “diferenciable” entenderemos “diferenciable de clase C∞”, salvo indicaci´on en contra. Muchas veces hablaremos de “la variedad diferenciable M ” sin hacer menci´on expresa de su atlas, que se dar´a por sobreentendido; o bien, diremos simplemente que φ es una carta de M para dar a entender que pertenece a su atlas. Si φ : U → A es una carta, el conjunto A queda determinado por φ mediante A = φ(U ); por eso, se suele abreviar y se dice simplemente que (U, φ) es una carta de M. Es importante advertir que se admiten tambi´en variedades de dimensi´on cero. La definici´on de variedad en este caso requiere aceptar algunos convenios. En concreto, R^0 = { 0 } es el espacio vectorial real de dimensi´on cero, que consta de un solo punto. Por tanto, cualquier carta (no vac´ıa) de la variedad consistir´a en un solo punto, que ser´a as´ı un abierto. Se deduce que los puntos de la variedad son abiertos, y as´ı la variedad ser´a un espacio topol´ogico discreto. Las aplicaciones de solapamiento φα ◦ φ− β 1 , si no operan en el vac´ıo, se limitan a enviar un punto al otro; son, pues, constantes y por ello se las llama, por convenio, diferenciables. En otras palabras, cualquier espacio topol´ogico discreto puede considerarse como variedad de dimensi´on cero. Hay que suponer que el atlas es una familia “abierta”, no en el sentido topol´ogico, sino en el sentido de que se le pueden a˜nadir cartas. Pero n´otese que la adici´on de una carta ψ : V → A s´olo es posible (si queremos seguir teniendo un atlas) si se cumplen las condiciones de compatibilidad con las otras cartas del atlas. O sea, adem´as de ser ψ una biyecci´on de un subconjunto V ⊂ M en un abierto A ⊂ Rn, se ha de tener que para todo α ∈ I los dominios de las dos composiciones ψ ◦ φ− α 1 , φα ◦ ψ−^1 , es decir φα(Uα ∩ V ) y ψ(Uα ∩V ) son abiertos y que esas dos composiciones son diferenciables de la clase deseada. Los dos procedimientos m´as sencillos para obtener nuevas cartas compatibles vienen descritos en el ejercicio (4) del final de esta secci´on. Se trata de la composici´on de una carta con un difeomorfismo de Rn, y de la restricci´on de una carta a un abierto. Al conjunto M se le dota de una topolog´ıa mediante las cartas. Es aqu´ella en que son abiertos los subconjuntos de la forma φ− α 1 (W ), donde α ∈ I y W es un abierto de Rn, y tambi´en es un abierto la uni´on arbitraria de cualesquiera de esos subconjuntos. Con esa topolog´ıa, los dominios de las cartas, Uα, son abiertos de M y las propias cartas son homeomorfismos^1. (^1) El que para esta topolog´ıa las variedades sean localmente homeomorfas a abiertos de Rn (^) no impide

la existencia de “patolog´ıas” globales. Es costumbre excluir dos de ellas: que la variedad no sea separable o que tenga “demasiados abiertos”. Por eso, supondremos que las variedades son Hausdorff y que tienen una base numerable de abiertos.

TEMA 1. NOCIONES B ASICAS´ 14

1.3 Aplicaciones diferenciables

Puesto que las variedades diferenciables reciben una estructura de espacio topol´ogico, y siempre se las considera dotadas de esa estructura, la definici´on de aplicaci´on continua entre dos variedades diferenciables es la de siempre: la imagen inversa de un abierto es un abierto. Por el contrario, el concepto de aplicaci´on diferenciable entre variedades ha de introducirse de nuevas: sin ayuda de las cartas no puede en principio reducirse a conceptos anteriores.

Definici´on 1.3. Sea f : M → N una aplicaci´on de la variedad diferenciable M en la variedad diferenciable N (para abreviar, diremos en adelante “una aplicaci´on entre variedades”). Se dice que f es diferenciable si lo es en cada punto de M. Y se dice que es diferenciable en m ∈ M si existe una carta φ : U → A de M y una carta ψ : V → B de N tales que m ∈ U, f (U ) ⊂ V y que la composici´on ψ ◦ f ◦ φ−^1 : A → B, es una aplicaci´on diferenciable en φ(m). Si f es diferenciable y biyectiva y f −^1 es tambi´en diferenciable, decimos que f es un difeomorfismo y que M y N son difeomorfas.

Esta definici´on equivale a la siguiente: se dice que f : M → N es diferenciable si, para toda carta φ : U → A de un conjunto de cartas que recubren M y toda carta ψ : V → B de un conjunto de cartas que recubren f (M ), el subconjunto φ(U ∩ f −^1 (V )), que es el dominio de definici´on de la aplicaci´on ψ ◦ f ◦ φ−^1 , es abierto y la aplicaci´on ψ ◦ f ◦ φ−^1 : φ(U ∩ f −^1 (V )) → B, es diferenciable. Se deja como ejercicio probar que si f es diferenciable entonces es continua. La composici´on de aplicaciones diferenciables tambi´en lo es. Como consecuencia, los difeomorfismos definen una relaci´on de equivalencia en las variedades diferenciables. Pues bien, para todos los efectos se consideran equivalentes las variedades difeomorfas, al menos mientras no las dotemos de alguna estructura adicional. Se suele denotar por C∞(M, N ) el conjunto de las aplicaciones diferenciables de M a N. Si N = R, se abrevia esta notaci´on escribiendo C∞(M ). A los elementos de C∞(M ) se les llama funciones diferenciables en M. As´ı, al decir, por ejemplo, que f es una funci´on diferenciable en M, se entender´a siempre que es una aplicaci´on diferenciable de M en R.

TEMA 1. NOCIONES B ASICAS´ 15

Sea W ⊂ M un abierto y f : W → N una aplicaci´on. Decimos que f es diferenciable si lo es al considerar para W la estructura de variedad diferenciable que hereda de la de M. Entonces suele decirse, para evitar confusi´on con las aplicaciones globales, o sea definidas en todo M, que f es una aplicaci´on diferenciable local. Claramente, si f : M → N es diferenciable, su restricci´on a W es diferenciable. Entre las aplicaciones diferenciables locales se encuentran las cartas y las funciones coordenadas. Si φ : U → A es una carta de M , entonces φ y φ−^1 son diferenciables. En este curso denotaremos por r^1 ,... , rn^ : Rn^ → R las funciones coordenadas. Pues bien, llamaremos (funciones) coordenadas de la carta φ a las aplicaciones φi^ := ri^ ◦ φ, i = 1 ,... , n. Estas funciones son diferenciables, como hemos dicho.

Ejercicio 1.4. 1. Probar que la definici´on 1.3 de diferenciabilidad es consistente. Para ello basta probar que si m ∈ M y f es diferenciable en m al usar las cartas φ, ψ, tambi´en lo es si en su lugar se usan las cartas φ′^ : U ′^ → A′, ψ′^ : V ′^ → B′^ que tengan las mismas propiedades, es decir m ∈ U ′, f (U ′) ⊂ V ′, etc.

1. Probar que una aplicaci´on diferenciable entre variedades es continua.
2. Probar que la composici´on de aplicaciones diferenciables tambi´en lo es y que los difeomorfismos establecen una relaci´on de equivalencia.
3. Probar que las dos variedades del ejercicio (3) del apartado 2 son difeomorfas.
4. Probar que la inclusi´on de una subvariedad abierta es una aplicaci´on diferenciable
5. Sea n = dim M, U ⊂ M abierto y φ : U → A ⊂ Rn^ un difeomorfismo. Probar que φ es una carta.
6. Probar que las proyecciones de una variedad diferenciable producto M × N sobre las variedades factores son diferenciables. Y tambi´en que si m ∈ M, n ∈ N , las dos aplicaciones jm : N → M × N, jn : M → M × N, dadas por jm(n 1 ) = (m, n 1 ), jn(m 1 ) = (m 1 , n), son diferenciables.
7. Probar que si f 1 : M 1 → N 1 y f 2 : M 2 → N 2 son diferenciables entonces f 1 × f 2 : M 1 ×M 2 → N 1 ×N 2 , dada por (f 1 ×f 2 )(m 1 , m 2 ) =

f 1 (m 1 ), f 2 (m 2 )

es diferenciable.

1. Probar que si f 1 : M → N 1 y f 2 : M → N 2 son diferenciables entonces la aplicaci´on (f 1 , f 2 ) : M → N 1 × N 2 , dada por (f 1 , f 2 )(m) = (f 1 (m), f 2 (m)), es diferenciable.
2. Probar que las cartas y sus inversas son diferenciables.
3. Encontrar un ejemplo de funci´on diferenciable local que no es restricci´on de ninguna funci´on diferenciable global.
4. Probar que C∞(M ) es un anillo con unidad.

TEMA 1. NOCIONES B ASICAS´ 17

polinomios en las f (^) ij , y el determinante no se anula en A, vemos que la inversi´on es tambi´en diferenciable. Por tanto, Gl(n; R) es un grupo de Lie.

Ejercicio 1.6. 1. Demostrar que si G es un grupo de Lie, la aplicaci´on ψ(s, t) = st−^1 es diferenciable.

1. Demostrar que Rn^ con la suma de vectores es un grupo de Lie abeliano (esto es conmutativo).
2. Sea C el cuerpo complejo, y S^1 el subconjunto de C de n´umeros complejos de m´odulo igual a 1. Por una parte, S^1 es un grupo para la multiplicaci´on compleja. Por otra parte, S^1 es la circunferencia unidad en R^2. Demostrar que S^1 es un grupo de Lie.

Tema 2

El espacio tangente. La diferencial

de una aplicaci´on

2.1 Curvas y espacio tangente

Se trata de generalizar en esta lecci´on el concepto de recta tangente de una curva y de plano tangente de una superficie en R^3. En el caso de curvas y superficies, esos espacios tangentes ten´ıan una representaci´on concreta como subespacios afines del espacio ambiente. En el caso de variedades, al no existir espacio ambiente, el concepto de espacio tangente ser´a un poco m´as abstracto. Sea M una variedad diferenciable. Se llama curva diferenciable en M a una aplicaci´on diferenciable α :]a, b[→ M, siendo ]a, b[ un intervalo abierto de R. Sea m ∈ M y repre- sentemos por Curvas(M, m) el conjunto de las curvas diferenciables en M, α, tales que su intervalo de definici´on contiene al 0 y que α(0) = m. Sea F(m) el conjunto de todas las funciones diferenciables definidas en alg´un entorno de m. Definimos en Curvas(M, m) una relaci´on de equivalencia como sigue: si α, β ∈ Curvas(M, m), ponemos α ∼ β si para toda f ∈ F(m) se tiene (f ◦ α)′(0) = (f ◦ β)′(0). Denotaremos por TmM el conjunto de clases de equivalencia respecto a esa relaci´on, o sea TmM = Curvas(M, m)/ ∼, y por p : Curvas(M, m) → TmM a la proyecci´on natural que a cada curva le asigna su clase de equivalencia. TmM recibe el nombre de espacio tangente a M en m y a sus elementos se les llama vectores tangentes a M en m. Cada clase de equivalencia v = p(α) ∈ TmM , o sea cada vector tangente, define una aplicaci´on que asigna un n´umero real v(f ) a cada funci´on f ∈ F(m) mediante

v(f ) = (f ◦ α)′(0).

Esa aplicaci´on caracteriza al vector tangente, pues si w ∈ TmM es tal que v(f ) = w(f ) para toda funci´on f ∈ F(m), entonces v y w son clases de equivalencia iguales por definici´on. Llamamos a v(f ) acci´on de v sobre f o tambi´en derivada de f respecto a v. La raz´on de este nombre es clara de acuerdo con la definici´on. Adem´as, esa acci´on se comporta como una derivada en m. En efecto, si a ∈ R y f, g ∈ F(m), se tiene

v(af ) = av(f ), v(f + g) = v(f ) + v(g) (linealidad), v(f g) = f (m)v(g) + g(m)v(f ) (derivaci´on de un producto).

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