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Algebra lineal y Geometr´´ ıa Daniel Hern´andez Serrano Departamento de MATEM ATICAS´
HOJA DE PROBLEMAS. ALGEBRA LINEAL Y GEOMETR´ ´IA.
GRADO EN INGENIER´IA INFORM ATICA. Curso 2016/17.´
- Espacios Vectoriales
1.1. Espacios y subespacios vectoriales.
- Probar que el conjunto de matrices cuadradas diagonales con coeficientes en un cuerpo k tiene estructura de espacio vectorial sobre k.
- Demu´estrese que el conjunto C = {(x, y, y, −x), x, y ∈ R} con la operaci´on: (x, y, y, −x) + (w, z, z, −w) = (x + w, y + z, y + z, −(x + w)) y con el producto escalar para λ ∈ R: λ(x, y, y, −x) = (λx, λy, λy, −λx) , es un espacio vectorial sobre R.
- Averiguar si V ⊂ R^3 es un subespacio vectorial real. a) V = {(a, b, 0) : a, b ∈ R} b) V = {(a, b, c) : a + b + c = 0} c) V = {(a, b, c) : a^2 + b^2 + c^2 ≥ 1 } d ) V = {(a, b, c) : a = b + c} e) V = {(a, b, c) : a, b, c ∈ Q}
- Determina si los siguientes subconjuntos de M (2 × 2 , R) son subespacios vectoriales: a) H 1 =
a b −b c
∣ (^) a, b, c ∈ R
b) H 2 =
a 1 + a 0 0
∣ (^) a ∈ R
c) El conjunto de las matrices antisim´etricas. d ) El conjunto de las matrices A que cumplen A^2 = A. e) El conjunto de matrices cuyo determinante no es cero.
- Prueba que el conjunto R[x] de los polinomios en una variable x con coeficientes reales tiene estructura de espacio vectorial sobre R. Prueba tambi´en que Rn[x] ⊂ R[x], el subconjunto de polinomios de grado menor o igual que n, es un subespacio vectorial.
- Estudia si los siguientes subconjuntos de C^2 son C-subespacios vectoriales: a) U =
(z 1 , z 2 ) ∈ C^2 | z¯ 1 = z 2
b) Si α ∈ C, Vα =
(z 1 , z 2 ) ∈ C^2 | z 1 = α · z 2
- Prueba que el conjunto de matrices de tama˜no m × n sobre un cuerpo k con la suma de matrices usual y el producto por un escalar usual es un k-espacio vectorial.
1.2. Dependencia lineal, bases, dimensi´on y coordenadas.
- Demostrar que el subespacio E = {(a, b, 0) : a, b ∈ R} de R^3 est´a generado por cualquiera de los pares de vectores siguientes: a) e = (1, 1 , 0), e′^ = (1, 0 , 0) b) e = (2, − 1 , 0), e′^ = (− 1 , − 1 , 0)
- Determinar x e y en el vector (3, 2 , x, y) ∈ Q^4 para que pertenezca al subespacio generado por (1, 4 , − 5 , 2), (1, 2 , 3 , 1).
- Pru´ebese que el subespacio de R^3 generado por los vectores (1, 1 , 1), (0, 1 , 0) coincide con el subes- pacio generado por (2, 3 , 2) y (1, 0 , 1). 1
- Sea A =
3 m
a) Encontrar el valor de m para que existan matrices cuadradas no nulas B tales que AB = 0. b) Demostrar que dichas matrices (incluida el 0) forman un subespacio vectorial. Encontrar un sistema de generadores linealmente independientes.
- Demostrar que los vectores (− 5 , 2 , 8 , −16), (− 5 , 3 , 17 , −14), (1, 1 , 11 , 6) de R^4 son linealmente in- dependientes.
- Pru´ebese que el subespacio de R^3 generado por los vectores (1, 1 , 1), (0, 1 , 0) coincide con el subes- pacio generado por (2, 3 , 2) y (1, 0 , 1).
- Demostrar que los vectores (m, 1 , 0), (− 1 , m, 0) y (0, 1 , 1) son linealmente independientes en R^3 , sea quien sea m. Comprobar que esta propiedad no se cumple en C^3.
- Consid´erense las matrices
9 x − 3 y
. Determinar x e y para que dichas ma- trices sean linealmente independientes.
- Determinar x e y en el vector (3, 2 , x, y) ∈ Q^4 para que pertenezca al subespacio generado por (1, 4 , − 5 , 2), (1, 2 , 3 , 1).
- Calcula una base y la dimensi´on de los siguientes subespacios vectoriales de R^3 : a) V = {(a, b, 0) : a, b ∈ R} b) V = {(a, b, c) : a + b + c = 0} c) V = {(a, b, c) : a = b + c}
- En un espacio vectorial E sobre el cuerpo de los n´umeros complejos C se dan tres vectores a, b, c y se consideran los vectores u = b + c, v = c + a, w = a + b a) Probar que los subespacios vectoriales engendrados por a, b, c y por u, v, w son el mismo. b) Demostrar que los vectores u, v, w son linealmente independientes s´ı y s´olo si lo son a, b, c.
- Determinar λ para que los vectores (2, 4 , 6), (1, 2 , 3), (5, λ, 15) est´en en un mismo plano (subespacio de dimensi´on 2).
- Determinar en Q^5 una base del subespacio generado por los vectores (1, 2 , − 4 , 3 , 1), (6, 17 , − 7 , 10 , 22), (2, 5 , 0 , − 3 , 8), (1, 3 , − 3 , 2 , 0).
- Demostrar que el subconjunto H = {(x, y, z) ∈ R^3 : x + 2y − z = 0} es un subespacio de R^3 y calcular una base del mismo. ¿Cu´al es su dimensi´on?.
- Comprobar que los vectores (1, 0 , 0), (0, 2 , 0), (0, 0 , 3) forman una base del espacio vectorial R^3 y calcular las coordenadas del vector (4, 6 , 12) respecto de esta base.
- Comprobar que los vectores e = (1, − 1 , 0), e′^ = (2, 1 , 0), e′′^ = (0, 1 , 1) forman una base. Encontrar las coordenadas respecto de la misma del vector (1, 1 , 1).
- Comprobar que las matrices
forman una base del espacio
vectorial de las matrices de orden 2. Calcular las coordenadas de la matriz
respecto de esta base.
- Consideremos el espacio vectorial R 2 [x] de los polinomios p(x) de grado menor o igual que 2 con coeficientes en R. a) Demostrar que los polinomios 1 + x, x + x^2 , 1 + x^2 forman una base. b) Hallar las coordenadas del polinomio 3 + 2x + 5x^2 en dicha base.
- En R 3 [x] sea el subespacio vectorial:
E =
p(x) ∈ R 3 [x]
0
p(x)dx = 0
Encuentra una base de E y calcula la dimensi´on de E.
1.3. Suma, intersecci´on y suma directa de subespacios.
- Sea F el subespacio de R^3 generado por (1, 1 , −1) y G el subespacio de ecuaciones 3 x − y = 0, 2x + z = 0. Determinar F ∩ G.
- Consid´erense los siguientes subespacios de R^4 : E 1 =< (1, 0 , − 1 , 0), (2, − 1 , 2 , 0), (3, − 2 , 3 , 0) > y E 2 =< (0, 1 , 1 , 0), (1, 1 , 3 , 0), (− 2 , 1 , 1 , 1) >.
j ) T : C^2 → C^3 , T (z 1 , z 2 ) = (z 1 , ¯z 2 , z 1 z 2 ).
k ) tr : Matn×n(k) → k, tr(A) =
∑^ n
i=
aii donde A = (aij ).
- Sea T ∈ Endk(E). Prueba que el conjunto S de vectores que permanecen invariantes por T forman un subespacio vectorial de E.
- En R 3 [x] sea la aplicaci´on T : R 3 [x] → R 3 [x] definida por T
p(x)
= (x − 3)p′(x). Prueba que T es una aplicaci´on lineal. Calcula los polinomios invariantes por T.
2.2. N´ucleo e imagen de una aplicaci´on lineal.
- Sea R^3 f −→ R^2 la aplicaci´on definida por: f (x, y, z) = (x − y + z, x + y − z) Probar que es una aplicaci´on lineal y calcular bases y dimensi´on del n´ucleo y la imagen. ¿Es epiyectiva?
- Sea T : R^3 → R^3 la aplicaci´on definida por: T (x, y, z) = (y − z, −x + 4z, y + z) Probar que es una aplicaci´on lineal. Hallar el n´ucleo y la imagen. ¿Es un isomorfismo?
- Sea la aplicaci´on T : Mat 2 × 2 (R) → R^3 definida por:
T
a b c d
= (a + 2c + d, a + 3b + 5c − 7 d, a − b + c − d).
Prueba que T es lineal. Calcula su n´ucleo e imagen.
- En R 3 [x] se define la aplicaci´on T : R 3 [x] → R 3 [x] por T (p(x)) = (x − 1)p′(x). a) Demostrar que T es lineal. Calcular su n´ucleo y su imagen. b) Calcular los polinomios p(x) tales que T (p(x)) = p(x).
- Sea T ∈ Endk(E). Pru´ebese que el conjunto S de vectores que permanecen invariantes forman un subespacio vectorial.
- Sobre el espacio vectorial E de las matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes reales, se consi- dera la aplicaci´on T : E → E definida por:
T
a b c d
5 a − 3 b 6 a − 4 b −a + 92 b + 3c − 2 d 6 a − 3 b − d
Probar que T es lineal y calcular su n´ucleo y su imagen.
2.3. Matriz asociada a una aplicaci´on lineal. Cambios de base.
- Calcular la matriz asociada a la aplicaci´on lineal f : R^3 → R^2 (x, y, z) 7 → (x + 3y − 2 z, y − z) en las bases {(1, 0 , 0), (0, 1 , 0), (0, 0 , 1)} de R^3 y {(1, −1), (1, 1)} de R^2.
- Consid´erese la aplicaci´on lineal f : R^3 → R^3 definida por f (x, y, z) = (2x + y, −z, 0). Calcular su matriz y a partir de ella: a) Determinar ker f y hallar una base de dicho subespacio. b) Hallar Im f y el rango de f. c) ¿Pertenece (6, − 2 , 0) al ker f ?.
- Sea E un espacio vectorial de dimensi´on 3 y {e 1 , e 2 , e 3 } una base del mismo. Un endomorfismo T de E verifica que: T (e 1 ) = e 1 + e 2 , T (e 3 ) = e 3 , ker T =< e 1 + e 2 > Deducir la matriz de T y calcular Im T , ker T 2 y ker T 3.
- Calcular la matriz de la aplicaci´on lineal T : R^3 → R^3 tal que T (1, 0 , 0) = (0, 1 , 0) y cuyo n´ucleo est´a generado por los vectores (0, 1 , 1), (1, 0 , 1), (2, 1 , 3).
- Sea T : R^3 →Mat 2 × 2 (R) la aplicaci´on lineal T (x, y, z) =
y − z z − x x + 2y − z 2 x + y
. Se pide: a) Calcula la matriz de T en las bases usuales. b) Sean las bases C = {(0, 1 , 1), (1, 0 , 1), (− 1 , 0 , 0)} de R^3 y C′^ =
0 0
de Mat 2 × 2 (k). Calcula la matriz de T en estas bases. c) Halla una base de ker T e Im T , precisando sus dimensiones.
- Sea B = {u 1 , u 2 , u 3 } una base del espacio vectorial E. a) Probar que los vectores u′ 1 = 2u 1 − u 2 + u 3 , u′ 2 = u 1 + u 3 , u′ 3 = 3u 1 − u 2 + 3u 3 forman una base de E. b) Calcular las coordenadas del vector u = u 1 − 4 u 3 en la base de (a). c) Hallar las coordenadas respecto de la base inicial del vector v = − 2 u′ 1 + 3u′ 2 + u′ 3.
- Sea T el endomorfismo de R^3 cuya matriz en la base {e 1 , e 2 , e 3 } es
. Hallar la
matriz de T en la base {e′ 1 , e′ 2 , e′ 3 } siendo:
e 1 = e′ 1 , e 2 =
e′ 2 , e 3 = e′ 3 + e′ 1 −
e′ 2
- Considera la aplicaci´on:
f : R 2 [x] −→ R 2 [x] p(x) 7 → p(−1) + p(1)(x − 1) + p(0)(x − 1)^2 a) Demuestra que f es lineal. b) Da la matriz de f asociada a la base est´andar { 1 , x, x^2 }. c) Da la matriz de f asociada a la base B′^ = {− 1 , (x − 1), (x − 1)^2 }. d ) Da las coordenadas en la base B′^ del vector f
(2, 1 , 1)B′
- Espacio Dual.
- Comprueba que {¯e 1 = (0, 1 , 1), e¯ 2 = (1, 0 , 0), ¯e 3 = (2, − 1 , 0), } es una base de R^3 y calcula su base dual.
- Sean las formas lineales de R^3 :
ω¯ 1 (x, y, z) = x + 2y + 3z, ω¯ 2 (x, y, z) = x + 6y + 8z y ¯ω 3 (x, y, z) = x + 10y + 14z. Demuestra que {ω¯i}^3 i=1 forma una base de (R^3 )∗. Calcula las coordendas de la forma lineal ω(x, y, z) = 3x + 4y + 10z en dicha base.
- En R 2 [x] considera la base est´andar B = { 1 , x, x^2 } y su base dual B∗^ en el espacio correspondiente. Sea C = { 1 − x, 2 x − x^2 , 1 + 3x^2 } otra base de R 2 [x] y la forma lineal ω dada por ω
p(x)
p(1) − p′(2). a) Expresa la base dual de C, C∗^ = {θ 1 , θ 2 , θ 3 }, en coordenadas de la base B∗. b) Calcula las coordenadas de ω en las bases B∗^ y C∗. ¿Qu´e relaci´on hay entre dichas coordenadas?
- Dados los siguientes subespacios de R^4 :
V = 〈(1, − 1 , 2 , 1)〉 , V ′^ = 〈(1, − 1 , 2 , 1), (2, 0 , − 1 , −1)〉 y V ′′^ = 〈(1, − 1 , 2 , 1), (2, 0 , − 1 , −1), (3, 3 , 1 , 0)〉
Calcula una base de cada uno de los incidentes y analiza si la forma lineal ω(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = 2 x 1 − x 2 − 3 x 3 + 3x 4 , pertenece a alguno de esos incidentes.
- Sea E un espacio vectorial real de dimesi´on 4 y B una base. Sea E 1 el espacio generado por los vectores (1, 0 , 1 , 0)B y (2, − 3 , 4 , 0)B y T : E → R la aplicaci´on lineal dada por:
T
(λ 1 , λ 2 , λ 3 , λ 4 )B
= − 3 λ 1 + λ 2 −
λ 3 + 2λ 4.
- Sean r 1 , r 2 y r 3 las siguientes rectas en R^3 :
r 1 ≡
x + y + x = 0 x + 2y = 0
r 2 ≡
2 x + 2y + z = 0 x + y = 2
r 3 ≡
2 x + 3y + z = 2 y − z = 0 a) Demostrar que r 1 y r 3 son paralelas y que r 2 se cruza con ambas. b) Calcular las ecuaciones param´etricas e impl´ıticas de un plano paralelo a las tres rectas.
- Geometr´ıa Eucl´ıdea.
5.1. Generalidades sobre m´etricas.
- Dado un k-espacio vectorial E de dimensi´on 3, demuestra que la aplicaci´on: E × E → k ((x, y, z), (x′, y′, z′)) 7 → xx′^ + yy′^ + 3zz′^ − 2 xz′^ − 2 zx′ define una m´etrica sim´etrica.
- Dar las ecuaciones de las m´etricas definidas por las matrices:
T 2 =
T 2 =
Calcula su radical y decide si son o no irreducibles.
- Sea {e 1 , e 2 } una base del k-espacio vectorial E y T 2 la m´etrica cuya matriz asociada en dicha base es
. Calcular la matriz de T 2 en la base e′ 1 = 3e 1 + 2e 2 , e′ 2 = e 1 + e 2.
- En un k-espacio vectorial E de dimensi´on 3, se considera el tensor T 2 cuya matriz asociada en
la base dada es T 2 =
. Calcular la restricci´on de T 2 al subespacio generado por los
vectores e′ 1 = e 1 − e 2 + e 3 , e′ 2 = 2e 1 + e 2 − 2 e 3.
- Sobre el R-espacio vectorial E de dimensi´on 4, con base {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 }, se considera la m´etrica de matriz: (^)
a) Calcular el radical de T 2. b) Calcular la expresi´on de T 2 en la base {e 1 − e 3 , e 2 − e 4 , e 1 + e 2 + e 3 , e 2 − e 3 − e 4 }.
- Sea:
T 2 =
la matriz de una m´etrica. a) Comprobar que es sim´etrica e irreducible. b) Calcular el subespacio ortogonal a V = 〈(1, 1 , 2), (1, 0 , 1)〉. ¿Son sumplementarios V y V ⊥? c) Calcular el subespacio ortogonal al plano π de ecuaci´on y = 0. ¿Son sumplementarios π y π⊥?
- Demuestra que la aplicaci´on:
C × C −T→^2 R (z, z′) 7 → Im(z · z′) = parte imaginaria de z · z′ define una m´etrica sim´etrica sobre el R-espacio vectorial de los n´umeros complejos C = 〈 1 , i〉 y calcula su matriz asociada en la base 〈 1 , i〉. ¿Es eucl´ıdea?
- Demuestra que la aplicaci´on: R^3 × R^3 → R ((x, y, z), (x′, y′, z′)) 7 → xx′^ + yy′^ + 3zz′^ − 2 xz′^ − 2 zx′ define una m´etrica, calcula su matriz asociada en la base can´onica y comprueba que es sim´etrica.
- En el espacio eucl´ıdeo R^3 con la m´etrica habitual calcula los ´angulos que forma la recta:
x − 1 2
y − 2 2
z − 3 5 con los ejes coordenados.
- En el espacio eucl´ıdeo R^3 calcula la matriz de la m´etrica eucl´ıdea en la base {e 1 , e 2 , e 3 } definida por: |e 1 | = 1, |e 2 | = 2, |e 3 | =
2 , ∠(e 1 , e 2 ) = 90o, ∠(e 1 , e 3 ) = 45o, ∠(e 2 , e 3 ) = 60o Dados los vectores e = 2e 1 − 3 e 2 y e′^ = e 1 + e 2 − e 3 calcula su producto escalar e · e′^ y el ´angulo que determinan.
- En un plano eucl´ıdeo se da una base con las condiciones siguientes:
|e 1 | = 1, |e 2 | = 2, ∠(e 1 , e 2 ) = 60o Calcula la matriz de la m´etrica en esta base y el ´angulo que determinan las rectas de ecuaciones 3 x + 2y = 0, x − y = 0, siendo {x, y} las coordenadas en esa base.
- En el espacio eucl´ıdeo tridimensional se considera el sistema de referencia de base {e 1 , e 2 , e 3 } dada por las condiciones: |e 1 | = |e 2 | = |e 3 | = 1, ∠(e 1 , e 2 ) = 60o, ∠(e 1 , e 3 ) = ∠(e 2 , e 3 ) = 90o Calcula la distancia entre los puntos P y Q de coordenadas en este sistema de referencia P = (1, 1 , 0) y Q = (− 2 , 3 , 1).
- En un plano eucl´ıdeo se da una base {e 1 , e 2 } con las condiciones |e 1 | = 2, |e 2 | =
2, ∠(e 1 , e 2 ) = 45o. Calcula la ecuaci´on de la circunferencia de radio unidad y centro el punto P = 2e 1 + e 2.
- En el espacio eucl´ıdeo R^3 con la m´etrica habitual, hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto (1, 1 , 1) y corta perpendicularmente a la recta x− 1 1 = y 2 = z− 1 1.
- Determinar la ecuaci´on del plano que pasa por el punto (2, − 3 , −4) y es perpendicular a la recta x− 7 1 =^
y+ 3 =^
z− 3 − 4.
- Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto (1, 1 , 1) y corta perpendicularmente a la recta x− 1 1 =^
y 2 =^
z− 1
Determinar la ecuaci´on del plano que pasa por el punto (2, − 3 , −4) y es perpendicular a los planos π 1 : x + 2y − z = 0, π 2 : 7x − 2 y + z = 0.
Sea {e 1 , e 2 } una base del k-espacio vectorial E y T 2 la m´etrica cuya matriz asociada en dicha base
es
. Calcular la matriz de T 2 en la base e′ 1 = 3e 1 + 2e 2 , e′ 2 = e 1 + e 2.
- En R^2 se define un producto escalar eucl´ıdeo T 2 cuya matriz asociada en la base {e 1 , e 2 } es: ( 2 1 1 2
a) Calcula |e 1 |, |e 2 | y el ´angulo que determinan e 1 y e 2. b) Calcula la matriz asociada a T 2 en la base {e¯ 1 = e 1 +e 2 , ¯e 2 = e 1 −e 2 }. ¿Es esta base ortogonal? ¿Y ortonormal?
- Sea E un R-espacio vectorial de dimensi´on 3, se considera una m´etrica eucl´ıdea en E cuya matriz asociada en la base {e 1 , e 2 , e 3 } es: (^)
a) Calcula la restricci´on de esta m´etrica al subespacio E¯ de E generado por los vectores {e¯ 1 = e 1 + e 2 , e¯ 2 = e 3 }. b) Calcula una base ortonormal de E¯.
- En el espacio eucl´ıdeo R^3 se define una m´etrica eucl´ıdea cuya matriz asociada en la base {e 1 , e 2 , e 3 } es: (^)
a) Calcula los m´odulos de e 1 , e 2 y e 3 y los ´angulos que determina entre s´ı. b) Calcula una base ortonormal.
