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3er. Boletín Ciclo Verano
MATEMÁTICA
Santa Marta
Telf.
Turno: Mañana y tarde
CLASES DE FUNCIONES
Función Inyectiva
Una función f se llama inyectiva,
univalente o uno a uno; cuando cada
elemento del rango es imagen de un
solo elemento del dominio
Gráficamente una funcion es
inyectiva cuando toda recta
horizontal (paralela al eje “x”) corta
a la curva que representa a la
funcion en un solo punto.
Para que f(x) de inyectiva se debe
Cumplir.
f(x 1
)=f(x 2
) → x 1
=x 2
Función Suryectiva
Llamada también con los
Siguientes nombres.
- Función Epiyectiva
- Función Sobreyectiva
- Función Suprayectiva
Una función será suryectiva si
el rango de la función es igual
al conjunto de llegada.
Ran (f) = B
Función inversa
Para que una función tenga inversa,
dicha función tendrá que ser
inyectiva.
PASOS
1) Verificar si es Inyectiva
2) Despejar X
3) Cambio de variable
4) Propiedad
GRÁFICAMENTE
A
1
2
B
1
1
Datos Extras
IMPORTANTE
La condición de unicidad
de una funcion indica que
si dos elementos tienen
las primeras componentes
iguales, entonces la
segunda también debe ser
igual.Lo contrario no
necesariamente es
verdadero
Ejemplo
Si f es una funcion tal que :
(2,n) y (2,m) f → n=m
(a;7) y (b;7) f → no se
puede afirmar nada de a
y b.
Nota:
Si f:A→B es una funcion,
tal que :
(x;y) f y = f(x)
Donde:
y es la imagen de x
x es la preimagen de y
Ejemplos
(2;5) f f(2)=
(a+2;b+6) f
f(a+2)=b+
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PROBLEMAS
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FUNCIÓN INVERSA
FUNCIÓN INVERSA.
Es el conjunto de pares
ordenados obtenidos al
intercambiar la primera por la
segunda componente en cada
par ordenado de la función.
NOTACIÓN:
Se denota: f
- 1
ó f
f = {(x; y) / x ∈ Domf }
f
- 1
= {(y; x)/ y ∈ Dom f
- 1
PROCEDIMIENTO.
ER
PASO:
Despejar x = f
(y)
DO
PASO:
Cambiar: x Y
y x
y = f
- 1
(x)
CONDICIÓN.
f tiene que ser biyectiva.
PROPIEDADES.
❖ Dom f
- 1
= Ran f
❖ Ran f
- 1
= Dom f
❖ (f
- 1
- 1
= f
GRAFICA DE UN INVERSA.
Siendo f una función
biyectiva, las gráficas de f y f
- 1
son simétricas con
respecto a la gráfica de la
función identidad Y = x.
x
y y = x
45º
(0; 5)
(5; 0)
f
1
f
−
APLICACIÓN
Sea la función h
(x)
=x
2
+ 1; x≥0,
halle su función inversa.
Solución:
Al no conocer su conjunto
de llegada h es
implícitamente suryectiva.
Grafiquemos la función:
x
y
h
1
h es creciente h es
inyectiva.
h es biyectiva tiene
inversa h
Dom f
- 1
= Ran f = [1; +
Ran f
- 1
= Dom f = [0; +
Hallemos su inversa h
y = h
(x)
=x
2
+ 1 x
2
=y - 1
Extraemos la raíz
cuadrada:
2
x = y − 1 x = y − 1
Como x ≥ 0
x = y − 1
Finalmente: cambiemos x
por Y
1
( )
1
x
y h x
−
= = − ; x ∈ [1;
Datos Extras
IMPORTANTE
¿SABIAS QUE? A la
función sobreyectiva
también se le conoce con
los nombres de suryectiva
o epiyectiva
Acuerdate que:
Para que una función
pueda tener inversa
deberá cumplirse:
*Debe ser inyectiva
***** El dominio de la función
será el rango de la
inversa, y el rango de la
función será el dominio de
la función inversa
No olvides que:
**Toda función par es
simétrica en torno al eje
“x”
**Toda función impar es
simétrica en torno al
origen de coordenadas
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PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMA 1.
PROBLEMA 2.
PROBLEMA 3.
PROBLEMA 4.
PROBLEMA 5.
PROBLEMA 6.
PROBLEMA 7.
PROBLEMA 8. L
PROBLEMA 9.
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REPASO ARITMÉTICA
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REPASO ESTADÍSTICA
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