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GUIA PARA EL ETS DE MATEMÁTICAS I
DESIGUALDADES
I. Hallar el conjunto de soluciones de la desigualdad indicada e ilustre dicho conjunto de
soluciones en la recta de números reales.
- 5x + 2 > x - 6 12)
𝑥𝑥+
2
𝑥𝑥
3+𝑥𝑥
- 3 – x < 5 + 3x 13) x
2
2
3 𝑥𝑥
1
2
≤ 0 14) x
2
3 – 2x ≥ 9 + 4x 15) ( x – 3 )(x + 5) > 0
13 ≥ 2x – 3 ≥ 5 16) x – 3x + 2 > 0
– 2 < 6 – 4x ≤ 8 17) 1 – x – 2x
2
- 2 > - 3 – 3x ≥ - 7 18) x
2
- 2 ≤ 5 – 3x < 11 19) 4x
2
4
𝑥𝑥− 3
2
𝑥𝑥− 7
- 2x
2
5
𝑥𝑥
3
4
1
3 𝑥𝑥− 7
4
3 − 2 𝑥𝑥
1
𝑥𝑥+
2
3 𝑥𝑥− 1
- x
3
2
II. En los ejercicios despeje a X
I 4x + 3 I = 7 5) I 7x I = 4 – x
I 3x – 8 I = 4 6) 2x + 3 = I 4x + 5I
I 5x – 3 I = I 3x + 5 I 7) I x+2/ x- 2 I = 5
I x – 2 I = I 3 – 2x I 8) I 3x+8 / 2x- 3 I = 5
III. En los ejercicios obtenga todos los valores de X para los cuales este número es real.
√
2
- √𝑥𝑥
2
2
- √𝑥𝑥
2
2
I. Expresa la desigualdad como intervalo y traza su grafica
x < - 2 6) x ≤ 5
x ≥ 4 7) x > - 3
– 2 < x ≤ 4 8) – 3 ≤ x < 5
3 ≤ x ≤ 7 9) -3 ≤ x < -
5 > x ≥ - 2 10) - 3 ≥ x > - 5
II. Expresa el intervalo como desigualdad en la variable X
1) (- 5 ,8] 5) [ 0 , 4 )
2) [ - 4 , - 1] 6) ( 3, 7 )
3) [ 4 , ∞) 7) ( -3, ∞)
4) ( -∞, - 5 ) 8) ( - ∞, 2]
III. Resuelve la desigualdad y expresa las soluciones en términos de intervalos siempre que
sea posible.
3x – 2 > 14 14) (2x – 3 )(4x + 5 ) ≤ ( 8x + 1)( x – 7 )
2x + 5 ≤ 7 15) (x – 3 )( x + 3) ≥ ( x + 5)
2
- 3 – 5x < 11 16) ( x – 4 )
2
x ( x +12 )
-2 – 3x ≥ 2 17) 4 / 3x – 2 ≥ 0
I x + 3 I < 0.01 18) I 6x – 5 I ≤ -
I 2x + 5 I < 4 19) I 3x – 9 I > 0
I 3x – 7 I ≥ 5 20) I 5x + 2 I ≤ 0
− 1
3|6− 5 𝑥𝑥
|
- 2 ≥ 1 21) I 2 – 3x / 5 I ≥ 2
2 I -11 -7x I + 2 ≥ 10 22) I 2x + 5 / 3 I < 1
I 7x + 2 I > -2 23)
3
|5− 2 𝑥𝑥|
- I x + 5 I = 3 24)
2
|2𝑥𝑥+3|
I x + 5 I < 3
I x + 5 I > 3
IV. En los siguientes ejercicios determinar todos los valores de A > 0 para cuales el
enunciado es cierto.
Si I x – 2 I < 1 entonces I 2x – 4 I < A
Si I x – 2 I < 2 entonces I 2x – 4 I < 3
Si I x + 1 I < A entonces I 3x – 3 I < 4
V. Hallar las desigualdades de la forma|𝑥𝑥 − 𝑐𝑐| < 𝛿𝛿 cuyas soluciones sean los intervalos
siguientes
VI. Exprese el numero en la forma polar y grafique en el plano
5 + 5 i 7) - 10 - 2i
6 + 3 i 8) - 6 – 2i
4 - 8 i 9) - 7i
8 - 2 i 10) 6
GUIA DE POLINOMIOS
Encuentra el cociente y el residuo si f(x) se divide entre p(x).
- f(x)= 2x
4
3
2
2
- f(x)= 3x
4
3
2
2
- f(x)= 3x
3
2
2
I. Demuestra que x – c es un factor de f(x) mediante el teorema del factor.
- f(x)= x
3
2
- f(x)= x
3
2
- f(x)= x
12
– 4096 ; C = - 2
II. Hallar un polinomio f(x) con coeficiente principal 1 y el grado y ceros dados.
Grado 3 ; ceros: - 2 , 0 , 5
Grado 3 ; ceros: ± 2 , 3
Grado 4 ; ceros: - 2 , ±1 ,
III. Encuentra todos los valores de K tale que f(x) se a divisible entre el polinomio lineal
dado.
- f(x)= Kx
3
2
+ K
2
+ 3K
2
+ 11 ; X + 2
- f(x)= K
2
X
3
IV. Encuentra un polinomio f(x) de grado 3 que tenga ceros indicados y satisfaga la
condición dada
- 1 , 2 , 3 ; f (-2) = 80 5) - 2¡ , 3 ; f (1) = 20
- 3 , - 2 , 0 ; f (-4) = 16
V. Halla un polinomio f(x) de séptimo grado tal que -2 y 2 sean ceros de multiplicidad 2, 0
es un cero de multiplicidad 3 y f ( - 1 ) = 27
VI. Halla todas las soluciones de la ecuación.
- 4x
2
4
2
2) X
3
5
4
3
2
3) X
4
= 256 9) 6x
5
4
3
2
- 4x
4
2
4
3
2
5) X
3
3
2
6) X
4
= 81 12) 3x
3
2
ÁLGEBRA LINEAL
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Gauss-Jordan.
- 2x – y + z = 3 3) x – 2y + 2z = 0
X + 3y – 2z = 11 2X + 3y + z = 1
3x – 2y + 4z = 1 3x – y – 3z = 1
- x – 3y + 2z = 1 4) 2x + 4y – 10z = -
X + y – z = 2 3x+ 9y – 21z = 0
3x – 5y + 3z = 4 x + 5y – 12z = 1
FUNCIONES
- Si , halla f(-2), f(0) y f(4)
- Si , halla f(-3), f(0) y f(2)
- Si , halla f(4), f(8) y f(13)
- Si , halla f(-2), f(0) y f(3)
- En los ejercicios del 5 al 10, si a y h son números reales, encuentra:
a) f(a), b) f(-a), c) -f(a), d) f(a+h), e) f(a)+ f(h),
f) , si h ≠ 0.
- En los ejercicios del 11 al 22 encuentra el dominio de f
- En los ejercicios 1 y 2 encuentra.
a) (f+g)(3) b) (f-g)(3) c) (fg)(3) d) (
𝑓𝑓
𝑔𝑔
- En los ejercicios del 3 al 8
a) (f+g)(x), (f-g)(x),(fg)(x) y (
𝑓𝑓
𝑔𝑔
)(x)
b) El dominio de f+g, f-g, fg y
𝑓𝑓
𝑔𝑔
- En los ejercicio 9 y 10 determina.
a) c)
b) d)
- En los ejercicios de 11 al 20 encuentra.
a) c)
b) d)
- En los siguientes ejercicios halla a)(fog)(x) y el dominio y b)(gof)(x) y su dominio.
- Expresar el área de un triángulo equilátero en función de la longitud de un lado.
- Un triángulo rectángulo con hipotenusa c se hace girar alrededor de uno de sus catetos a
fin de formar un cono. Expresar el volumen del cono en función de la longitud x del otro
cateto.
- De un tronco circular de diámetro d se corta una viga rectangular de anchura x. Expresar el
área de la sección de la viga en función de la anchura x.
- Una hoja metálica rectangular de perímetro 30 cm se enrolla formando un cilindro de altura
h. Expresar el volumen del cilindro en función de h.
- Expresar el área del rectángulo de la figura en función de la coordenada x de un punto P.
- Una cuerda de 28 cm de longitud debe cortarse en dos pedazos. Con uno de ellos se
formara un cuadrado y con el otro se formara un círculo. Expresar el área total limitada por
el cuadrado y el círculo en función del perímetro del cuadrado.
- Se rellena con agua un depósito cuya forma es la de un cono invertido. Expresar el
volumen de agua del depósito en función de la altura alcanzada.
x
C
d
x
(a,o)
(o,b)
P(x,y)
III. Gráficos
- Considerando la siguiente figura como la gráfica de cierta función f, realizar un
bosquejo de la gráfica de la función g(x)=-2f(x-1)+
Especificar la nueva posición de los puntos A(-2,-1); B(-1,0); C(0,1) y D(1,0).
r
h
b) Usando la gráfica de f, construir la gráfica de la función h(x)= 3-2f(2x+1) y obtener
una expresión o fórmula para h(x).
- Considere la función
a) Determine dominio, raíces o puntos en donde la función vale cero, gráfica y rango de f.
b) A partir de la gráfica de f, construir la gráfica de h(x)= 1-2f(x+3)
LIMITES
1. lim
𝑋𝑋→− 1
𝑥𝑥
2
− 1
𝑥𝑥
2
+3𝑥𝑥+
2.. lim
𝑋𝑋→ 2
𝑥𝑥
2
− 4 𝑥𝑥+
𝑥𝑥
2
− 2 𝑥𝑥
3. lim
𝑋𝑋→ 2
3
2
3
- lim
𝑋𝑋→𝑎𝑎
2
3
3
- lim
𝑋𝑋→ 1
4
2
4
2
- lim
𝑋𝑋→ 1
4
3
- lim
𝑋𝑋→ 2
- lim
𝑋𝑋→ 0
- lim
𝑋𝑋→ 7
2 −√𝑥𝑥− 3
𝑥𝑥
2
− 49
- lim
𝑋𝑋→− 4
3 −√5+𝑥𝑥
1 −√ 5 −𝑥𝑥
- lim
ℎ→ 0
√𝑥𝑥
+ℎ
3
− √𝑥𝑥
3
ℎ
- lim
𝑋𝑋→ 3
�𝑥𝑥
2
− 2 𝑥𝑥+6−�𝑥𝑥
2
+2𝑥𝑥− 6
𝑥𝑥
2
− 4 𝑥𝑥+
- lim
𝑋𝑋→ 8
𝑥𝑥
2
− 8
𝑥𝑥
2
+3𝑥𝑥+
- lim
𝑋𝑋→ 1
√𝑥𝑥
3
− 1
√𝑥𝑥
4
− 1
- lim
𝑥𝑥→ 2
1
𝑥𝑥− 2
12
𝑥𝑥
3
− 8
- lim
𝑥𝑥→ 0
1
𝑥𝑥
- lim
𝑥𝑥→ 1
𝑥𝑥
3
− 2 𝑥𝑥
2
+2𝑥𝑥− 1
𝑥𝑥− 1
- lim
𝑥𝑥→ 0
𝑥𝑥
3
�𝑥𝑥
2
+25− 5
- lim
𝑥𝑥→ 1
√ 9 𝑥𝑥+19− 6 𝑥𝑥− 1
𝑥𝑥
2
− 19 𝑥𝑥− 10
- Dada 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
|𝑥𝑥|
𝑥𝑥
calcular:
) lim
𝑥𝑥→ 0
−
(𝑏𝑏) lim
𝑥𝑥→ 0
𝑐𝑐) lim
𝑥𝑥→ 0
- Dada 𝑓𝑓
𝑥𝑥−𝑎𝑎
|𝑥𝑥−𝑎𝑎|
(𝑎𝑎) lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
− 𝑓𝑓(𝑥𝑥); (𝑏𝑏) lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑥𝑥→𝑎𝑎
- Dada 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = |𝑥𝑥 − 2| − 𝑥𝑥 + 2, 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐
) lim
𝑥𝑥→ 2
−
) lim
𝑥𝑥→ 2
) lim
𝑥𝑥→ 2
- Dada 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �
2
lim
𝑥𝑥→− 1
−
lim
𝑥𝑥→− 1
DERIVADA Y CONTINUIDAD.
26. Calcula la siguiente derivada:
𝑥𝑥− 1
𝑥𝑥
27. Hallar y´´ de 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥
2
2 𝑥𝑥
28. Hallar la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la gráfica de la función en el
punto indicado:
2
29. El volumen de un globo esférico crece a razón de 8 metros cúbicos por minuto. ¿Con
qué velocidad está creciendo el radio cuando éste mide exactamente 10 metros? ¿Con
qué velocidad está creciendo el área de la superficie del globo en ese instante?
( á 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐𝑦𝑦𝑒𝑒 = 4𝜋𝜋𝑐𝑐
2
4
3
3
30. Hallar los puntos críticos y clasificar todos los valores extremos de
2
1
𝑥𝑥
1
10
31. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima y perímetro 24.
32. Una partícula se mueve en la órbita circular 𝑥𝑥
2
2
= 25. Cuando pasa por el punto
(3,4) su ordenada está decreciendo a razón de 2 unidades por segundo. ¿Cómo está
variando la abscisa?
33. Considerando la función definida por
2
a) Realiza un bosquejo de la gráfica de la función
b) Realiza un bosquejo de la gráfica de la función
c) Obtener el dominio y rango. (valor 2 puntos)
34. Hallar las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal en el punto indicado.
2
2
50. Hallar los puntos críticos y clasificar los valores extremos
2
+ 5𝑥𝑥 − 1, 𝑥𝑥 ∈ [−2,0]
51. Un arquitecto quiere diseñar una ventana en forma de rectángulo coronado por un
semicírculo. Si el perímetro de la ventana está limitado a 24 metros, ¿qué dimensiones
debería elegir el arquitecto de manera que la ventana permita entrar la mayor cantidad de
luz?
Un trozo de alambre se divide en dos para hacer un cuadrado con una parte y un
triángulo equilátero con la otra. Indicar cómo debería cortarse el alambre para :
a) Maximizar la suma de las áreas del cuadrado y del triángulo.
b) Minimizar la suma de las áreas del cuadrado y del triángulo.
52. Hallar los puntos críticos y clasificar los valores extremos de
4
2
+ 6 y hacer un bosquejo de la grafica de la función.
53. Hallar dos números positivos cuya suma sea S y cuyo producto sea
máximo.
CÁLCULO INTEGRAL
54. Se dan 𝑑𝑑𝑦𝑦 = (2𝑥𝑥 + 1)𝑑𝑑𝑥𝑥, y=7 cuando x=1. Hallar el valor de y cuando x=3.
4 𝑥𝑥+
√𝑥𝑥
2
+3𝑥𝑥+
(𝑥𝑥−3)
𝑥𝑥
3
+𝑥𝑥
2
2
1
2
−𝑠𝑠𝑝𝑝
− 3 𝑝𝑝
𝑠𝑠
2
+6𝑠𝑠+
(𝑠𝑠−1)(𝑠𝑠−2)(𝑠𝑠+4)
𝜋𝜋
−𝜋𝜋
𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐
2
𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥
1+𝑝𝑝𝑔𝑔𝑥𝑥
sec 𝑎𝑎𝑥𝑥
𝑝𝑝𝑔𝑔 𝑎𝑎𝑥𝑥
4
6
𝐼𝐼
3
1
2
0
3
2
2
68. Calcular por integración el área del triángulo limitado por la recta 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥, el eje
de las x y la ordenada x=4. Verificar el resultado, obteniendo el área como la mitad
del producto de la base por la altura.
𝑎𝑎𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑥𝑥
4
+𝑏𝑏
4
𝑒𝑒
𝑥𝑥
𝑒𝑒
𝑥𝑥
4
72. Se dan 𝑑𝑑𝑦𝑦 = (2𝑥𝑥 + 1)𝑑𝑑𝑥𝑥, y=7 cuando x=1. Hallar el valor de y cuando x=3.
2
(𝑥𝑥−3)
𝑥𝑥
3
+𝑥𝑥
2
2
1
� 2 𝑝𝑝
2
− 8 𝑝𝑝− 8 �
(𝑝𝑝−2)(𝑝𝑝
2
+4)
3
1
2
0
3
2
2
78. Calcular por integración el área del triángulo limitado por la recta 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥, el eje
de las x y x=4. Verificar el resultado, obteniendo el área como la mitad del producto
de la base por la altura.
𝑎𝑎𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑥𝑥
4
+𝑏𝑏
4
𝑒𝑒
𝑥𝑥
𝑒𝑒
2 𝑥𝑥
4
82. Se dan 𝑑𝑑𝑦𝑦 = (2𝑥𝑥 + 1)𝑑𝑑𝑥𝑥, y=7 cuando x=1. Hallar el valor de y cuando x=3.
2
3
2
2
� 2 𝑝𝑝
2
− 8 𝑝𝑝− 8 �
( 𝑝𝑝−2)(𝑝𝑝
2
+4)
