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P2.- Para simular el comportamiento de fluencia de un plástico se eligen los modelos de Maxwell y de
Kelvin – Voigt. Las constantes elástica y viscosa del modelo de Kelvin-Voigt son 2 Gpa y 100x10^9 N.s/m^2 ,
respectivamente, y la constante viscosa del modelo de Maxwell es 200x10^9 N.s/m^2. Estimar un valor
adecuado para la constante elástica del modelo de Maxwell, suponiendo que ambos modelos predicen la
misma deformación de fluencia después de 50 segundos.
R.- 15.15 Gpa.
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SOLUCIÓN
MODELO DE MAXWELL
0 0
M^ ( ) t^ t^
E
Deformación de fluencia
MODELO DE KELVIN-VOIGT
(^0 0) ' ( ) 1 1
'
E (^) t t
KV t^ e^ e E E
E tiempo de retardo
(^) (^) (^)
Deformación de fluencia
MODELO DE MAXWELL
EM = ?????????
ηM = 200x10^9 N.s/m^2
0 0
M M M
t t
E
MODELO DE KELVIN-VOIGT
EKV = 2 GPa = 2x10^9 Pa ηKV = 100x10^9 N.s/m^2
τ’ =(ηKV/ EKV) =100/2=
(^0) '
t
KV KV
t e
E
Ha de cumplirse que:
M (50) KV (50)
luego: 50 (^0 0 0) ' 50 1 M M KV
e E E
9 9 9 9 1 9 1 9 1
M KV M M KV
E (^) x x x x E x
e E x e x x x e
de donde:
1
M M KV
e
E E
EM = 15.14x10^9 Pa (= 15.14 Gpa)
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
t G t t G t
^ ^
1 2 1 1 2
( )
t E G t E E e E E
(^) (^)
P21.- (a).- Un material polimerico se somete a ensayo de fluencia a una tensión constante de 8 MPa,
resultando la historia de deformación que se muestra en la figura. Probar que el comportamiento del
material puede ser descrito usando el modelo del solido estandar lineal (Modelo de Zener) con las
siguientes constantes:
E 1 = 1.6x10^9 N/m^2 , E 2 = 4.0x10^9 N/m^2 , η = 2.0x10^11 N.s/m^2
(b).- El material anterior se somete a una carga constante de 10 MPa durante 200 segundos, después de lo
cual la carga se elimina completamente. Calcular el tiempo requerido para que la deformación en el
material se reduzca al 50 % del valor que existía inmediatamente antes de la eliminación de la carga.
(^0 0) '
1 2
t t e E E
Como:
3
2
E
Fluencia (tensión constante, σ 0 ).
donde es el tiempo de retardo
0
( ) ( )
t J t
resulta: '
1 2
1 1 ( ) 1
t J t e E E
(^)
Para t = 0 J(0) = JU = 1/E 1
Para t = ∞ J(0) = JR = (1/E 1 )+ (1/E 2 )
De la gráfica se deduce:
JU = ε(0)/Tensión= 0.5x10-^2 / 8x10^6 =0.0625x10-^8 =6.25x10-^10 m^2 /N JR = ε(∞)/Tensión= 2.5x10-^2 / 8x10^6 =0.3125x10-^8 =3.125x10-^9 m^2 /N
JU = 1/E1, E 1 = 1/JU =1.6x10^9 N/m^2 JR = (1/E 1 )+ (1/E 2 ), (1/E 2 ) = JR - (1/E 1 ) , E 2 = 1.6x10^8 N/m^2
t=700 s
Para determinar la constante del amortiguador, η, se toma un punto intermedio de la curva,
por ejemplo t = 700 s, para el cual la deformación es del 2 %, entonces:
J(700) = ε( 700 )/Tensión= 2x10-^2 / 8x10^6 =0.25x10-^8 =2.5x10-^9 m^2 /N
Tensión constante = 8 MPa,
'
1 2
t
J t e
E E
De la expresión de la complianza de fluencia:
se deduce que:
700 700 ' ' 2 2 1 2 1
E
J e e E J
E E E
700 ' 2 2 1
E
e E J
E
Sustituyendo valores y operando
s
Ln
3 8 11 2 3 2 2
' , ' E 505 4.0 10 x x 2.02 10 x N s. / m
E
y como
(200) 0.00725 (0.725%) 2
Recuperación de fluencia.
( )
t
t (^) ce
'
t
ce
εc = 0.
' 0.00725^ 0.
t
e
t Ln Ln s
P15 .- (a).-Un material polimérico se puede representar mediante el modelo del sólido lineal
estandar o de Zener con una complianza de fluencia no relajada JU = 2x10-9^ m^2 /N (Instante
t = 0), una complianza de fluencia relajada JR = 3x10-9^ m^2 /N ( Instante t =∞ ) y un tiempo de
retardo τ’ = 1000 s. Determinar las constantes elásticas y la constante viscosa del amortiguador
del modelo que representa el comportamiento del polímero.
(b).- Con el polímero del apartado anterior se fabrica una barra de longitud L = 100 mm y
anchura T = 10 mm, la cual se somete al historial de carga de la figura. Si el espesor de la barra
es de 5 mm, determinar su longitud después de un periodo de tiempo de 1500 s.
Si la extensión máxima permitida es de 6 mm, determinar el espesor necesario que ha de tener
la barra, para el mismo historial de carga y el mismo periodo de tiempo.
P10/ P22 (JUNIO 2006)- Un material plástico se somete al historial de carga que se muestra en la figura.
Se supone que el comportamiento del material se puede representar mediante el modelo de Maxwell con
los siguientes parámetros : constante elástica 20 GN/m^2 y constante viscosa del amortiguador η= 1000 GN.s/m^2. Determinar la deformación del material en los siguientes instantes : (a).- t 1 = 150 segundos , (b).- t 2 = 250 segundos , (c).- t 3 = 350 segundos y (d).- t 4 = 450 segundos. Representar gráficamente la respuesta de la deformación. .
