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Física
Grado de BIOLOGÍA
Curso 20 18 – 2019
Problemas Tema 1
Magnitudes y vectores
EJERCICIOS
1. Considera la ecuación v = 13 zxt^2. Las dimensiones de las variables x , v y t son [ x ] = L , [ v ] = LT-^1 y [ t ] = T.
¿Cuáles deben ser las dimensiones de la variable z para que la ecuación sea consistente?. Sol : [ z ] = T -
2. Un punto material se mueve en línea recta con una aceleración a t ( ) a t 0 a e 1^ t a sen 2 ( t ). Determinar
las dimensiones de a 0 , a 1 , a 2 , y . Sol .: [ a 0 ] = LT -3^ ; [ a 1 ] = [ a 2 ] = LT –^2 ; [] = [] = T –^1_._
3. Si en las siguientes expresiones [a] = L/T^2 , [v] = L/T, [x] = L y [t] = T, ¿cuál de ellas es dimensionalmente
incorrecta? a) v^2 2 ax, b) v at ; c) at^2 t
x v ; d) a
v x
2 Sol .: c
4. Dados los vectores de la figura, hallar:
a) Su suma geométricamente. b) Las componentes de cada vector en el sistema de referencia dado. c) Las componentes del vector suma. d) El ángulo que forman el vector suma y el vector mayor.
Sol .: b) ( 6 , 0 ), ( 5 32 , 52 ), ( 2 , 2 3 );c)(4 5 3 , 5 2 3) 2 2
; d) 35,56º
5. Dados los puntos P (-1, 0, 2) y Q (2, -3, - 5), hallar: a) el vector r QP; b) el vector unitario paralelo a r,
ur ; c) el ángulo que forma el vector rcon cada uno de los ejes de coordenadas.
Sol : a) (^) r ( 3,3,7); b) r
u ( ; ; 67 67 67
) c) x = 111 , 5º ; y = 68,5º ; z = 31,1º
6. El vector adel dibujo tiene un valor de 10 unidades. Determinar las coordenadas de este vector: a) respecto de los ejes XY; , b) respecto de los ejes X’Y’. Sol : a) ax 5 3 , a (^) y 5 ; b) a (^) x 7,7; ay ' 6 , 4.
7. Dados los vectores: a i j 4k, b 3i j 7k y c 4i 7 j 6k,
hallar:
a) a b, c a, a b , a b , a (b c); b) El ángulo entre a
y b
. Sol : a) ( - 4 , 2 ,- 3) ; (5 , 6 , 2) ; - 24 ; (-11 ,- 19 , 2) ; - 165; b) 137,43º
8. Dado el vector
(^2 ) a 5t i t j t k, calcular
da dt
y
2 1 a dt
Sol : 10 32
da t i j t k dt
2 1
^ a dt^ ^ i^ ^ j^ k
9. Hallar un vector unitario en el plano OYZ y perpendicular al vector v 2 i j 3 k Sol .: ( 3 j k ) / 10 10. El vector a
tiene por origen el punto A (0, 2, 3) y por extremo el punto B (2, 0, 1) y el vector b
tiene por origen C (2, 1, 1) y por extremo D (2, 3, 2). Hallar: a) un vector que sea perpendicular a a
y a b
, y que su componente x valga 1. b) el momento del vector b
respecto del origen de coordenadas. c) el momento del vector a
respecto del punto C. d) el momento del vector a
respecto del punto D. e) el momento del vector a
respecto del eje que contiene al vector b
.
Sol.: a) ) 5
( 1 , ; b i j k
5 2 8 ; c) i j k
2 4 2 ; d) i j k
12 6 6 ; e) 17
18
11. Dados los vectores a i j k
2 · 2 · y b j k
, calcular: a) El ángulo que forman ambos vectores. b) El vector unitario en la dirección de a
. c) Un vector de módulo 8 unidades y paralelo al vector b
. d) Un vector del plano XZ de módulo 4 y perpendicular al vector a
. e) El producto vectorial a b
f) Un vector de módulo 12 que sea perpendicular a a
y perpendicular a b
g) El momento del vector a
respecto del origen de coordenadas sabiendo que dicho vector está aplicado en el punto A ( 2, 1, 1). h) El momento del vector a
respecto del eje Z.
12. Una espeleóloga está explorando una cueva y sigue un pasadizo 180 m al oeste, luego 210 m en una
dirección 45º al sureste, y después 280 m a 30º al noreste. Tras un cuarto desplazamiento no medido, vuelve al punto inicial. Determinar la magnitud y la dirección del cuarto desplazamiento. Sol. : 144 m, 41º al suroeste
13. Dada la figura de la derecha:
a) Escriba cada uno de los vectores en términos de los vectores unitarios y_._ b) Obtenga la magnitud y la dirección del producto vectorial c) Calcule la magnitud y la dirección de
Sol. : a) = -8 ; =7,5 +13 ; =-10,9 -5,07 ; =-7,99 +6,02 b) 63,9 m^2 ; -
c) 63,9 m^2 ;
14. Se requiere programar un brazo robot de una línea de ensamble que se mueva en el plano XY. Su primer
desplazamiento es ; el segundo es , de magnitud 6,40 cm y dirección 63º medida en el sentido del eje +X y eje -Y. La resultante de los dos desplazamientos también debería tener una magnitud de 6.40 cm, pero una dirección de 22º medida en el sentido del eje +X y eje +Y. a) Obtenga las componentes de b) Obtenga la magnitud y la dirección de Sol. : a) Ax=3,03 cm Ay=8,1cm b) 8,65 cm a 69,5º del eje +X y eje +Y
a) Calcular la velocidad del nadador y la de la corriente del río. b) Calcular la anchura del río y a qué punto de la otra orilla llega cuando nada perpendicularmente a la corriente sabiendo que tarda 4 minutos en llegar a la otra orilla. c) ¿En qué dirección ha de nadar para cruzar perpendicularmente el río? ¿Cuánto tarda en cruzarlo de esta forma? Sol. a) vnad= 1 m/s; vcorri= 0,5 m/s; b) 240 m, 120 m río abajo del punto de partida; c) 120º con la corriente; t = 277 s.
25. La figura muestra una viga que pesa 124 N y que está apoyada en equilibrio con las fuerzas indicadas en la figura. La tercera fuerza sobre la viga es el peso de 124 N. Hallar la magnitud y la dirección de. Sol. : 46 N, 139º 26. Se conocen los siguientes vectores = 5 -6,5 y = -3,5 +7. Un tercer vector está en el plano XY y es
perpendicular a. El producto escalar de con es 15. Con esta información, obtenga las componentes del
vector. Sol. : Cx=8 ; Cy=6,
27. En las ecuaciones siguientes, la distancia x esta en metros, el tiempo t en segundos y la velocidad v en metros por segundo ¿Cuáles son las unidades del SI de las constantes C 1 y C 2? a) x=C 1 + C 2 t b) x = 1/2 C 1 t^2 c) v^2 = 2C 1 x d) x = C 1 cosC 2 t e) v^2 = 2C 1 – (C 2 x)^2
