problemas estadistica, Ejercicios de Estadística

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PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA PSICOLOGÍA

I

Dpto. de Metodología de las Ciencias del Comportamiento

PROBLEMAS PROPUESTOS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

( X - 3 )^ = ( X - 3 )^ + ( X - 3 )^ + ( X - 3 )^ =

= (3 - 3 )^ + (-1 - 3 )^ + (4 - 3 )^ =

También:

( X - 2 3 X + 3 ) = ( X + 6 X + 9) + ( X - 6 X + 9)

+ ( X - 6 X + 9) = (9 - 18 + 9) + (1 +

i^2122232 2 2 2

i^2 i 2 12 1 22 2 32 3

( ( X - 3) )^ = (( X - 3) + ( X - 3) + ( X - 3) )^ =

= (0 - 4 + 1 )^ = (-3 )^ = 9

Observar que: ( X - 3 ) ( ( X - 3) )

i^21 2 2 2 2

i^2 i^2

Problema 6.-

Dado i = 1

5

 ( AX^ i + B) = 65; B = 3; X = 2, ¿cuánto valdrá A, y cuál será la

media de Y 1 = AX 1 + B, Y 2 = AX 2 + B, ... , Yn = AXn + B?

Solución:

X = X n 2 = X X = 10 (AX B) = AX + B = A X + 5B = 65;

A 10 + 5 3 = 65; A =

Y = A X + B

Y = AX + B = 5 2 + 3 = 13 ó

Y =

(AX + B)

n

i i i i i i

i i (^) i

Problema 7.-

Calcular la altura media del grupo total a partir del cuadro siguiente:

Grupos nº de personas (^) X 1º 250 1'64 mts 2º 160 1'58 mts 3º 300 1'65 mts

Solución:

T

1 2 r (^) r 1 2 r

T

1 2 3 1 2 3

X =

n X + n X + ... + n X n + n + ... + n

X =

n X + n X + n X n + n + n =

= 1 1578 / 710 = 1 63 mts

1 2

1 2 3

= •^ ^ •^ ^ • 

Problema 8.-

Calcular el porcentaje de católicos, protestantes y judíos dentro del grupo total, conociendo el número de personas y el porcentaje de católicos, protestantes y judíos dentro de cada uno de los subgrupos siguientes:

a.- Si n 1 = n 2 = n

V =

nX + nY n + n =^

X + Y

b.- X = Y.

V =

n X + n Y n + n =^

X( n + n ) n + n = X

pero X = Y + X 2

= 2X

ya que Y = X

1 2 1 2

1 2 1 2

Por tanto, el enunciado es falso ya que sólo se verifica para las condiciones dadas en a.- y b.-

Problema 11.-

Las puntuaciones obtenidas por dos sujetos en tres pruebas A, B y C fueron:

Sujeto 1º Sujeto 2º

Prueba A 20 10 Prueba B 40 20 Prueba C 15 30

Se seleccionará el sujeto cuya puntuación global sea mejor, teniendo en cuenta que las ponderaciones de dichas pruebas (en función del puesto a desempeñar) son: prueba A: 2; prueba B: 2; prueba C: 6. ¿A quién seleccionará Vd.?

Solución:

Sujeto 1º

X =

A = 20 2 = 40

B = 40 2 = 80

C = 15 6 =

1

Sujeto 2º

X =

A = 10 2 = 20

B = 20 2 = 40

C = 30 6 =

Se seleccionará el sujeto 2º puesto que su puntuación global (24) es mejor que la del sujeto 1º (21).

Problema 12.-

Dadas las siguientes puntuaciones en las variables X e Y, hallar las puntuaciones que faltan si se sabe que la media ponderada de X e Y es 6 y que X + Y = 12. X: 3, 6, 9, 4, ( ).; Y: 8, 9, ( ), 7, 5, 6.

Solución:

Sea V la variable formada por las puntuaciones de X y de Y, la media ponderada de X e Y será:

V = (X + Y) n + n

= X +^ Y

n + n

= n X +^ n Y T (^1 2 1 2) n + n

1 2 1 2

V

X Y

X

X Y

X

X Y

X

t =^

n + n n + n

• Y = 12

= 12 - Y

= 12 - Y

1 2 1 2

Y

66 = 5(12 - Y ) + 6Y 66 = 60 - 5Y + 6Y

X

nX = X X = = 30 luego X = 30 - (3 + 6 + 9 + 4) = 8

nY = Y Y = 6 6 = 36 luego Y = 36 - (8 + 9 + 7 + 5 + 6) = 1

5

3

Problema 14-

De 1.800 a 1.850 la razón peso/altura fue de 0'885 y de 1.850 a 1.900 la razón fue de 0'920. Hallar el promedio de esta relación.

Solución:

Media geométrica: X = ( X )( X )...( X )

X 0 885 0 920 = 0 8142 = 0 9023303

g n^1 2 n

g =^ ^ • ^ ^ 

Problema 15.-

Para hacer una subprueba de un cierto test, empezando por el ítem nº 1 se tarda 35 minutos. Si empezamos por el último se tarda solamente 25 minutos. Calcular el tiempo medio.

Solución:

Media armónica: X =

n 1 x +^

x + ... +^

x

X = 2

= 25 + 35^2

= 29 minutos.

a 1 2 n

a

Problema 16.-

Aplicado el test de Raven a 209 sujetos, sin limitación de tiempo, se obtiene la siguiente distribución. Averigüe el porcentaje de sujetos que emplearon más de 55 minutos o menos de 27.

Minutos nj

60-64 3 55-59 2 56-54 8 45-49 12 40-44 29 35-39 60 30-34 59 25-29 26 20-24 8 15-19 2

Solución:

55 minutos está dentro del intervalo 54'5 - 59'5, cuya frecuencia es 2. 59'5 - 55 = 4' 5

4'5 - a

a =

Emplearon más de 55 minutos 4'8 sujetos. 27 minutos está dentro del intervalo 24'5 - 29'5, cuya frecuencia es 26. 27 - 24'5 = 2'

5 - 26 2'5 - b

b =

Emplearon menos de 27 minutos 23 sujetos. 23 + 4'8 = 27' Emplearon más de 55 minutos o menos de 27 minutos 27'8 sujetos. 

n (^) j = 209

c c% =^

Solución

Xj nj

22-15 50 8-11 100 4- 7 75 0- 3 25 Solución:

Bastará con aumentar 1'5 puntos el P 80 de la distribución dada. n (^) j = 250 250 - 100% x - 80% x = 200

P 80 = 11'

Nuevo P 80 = 11'5 + 1'5 = 13

Problema 19.-

Calcule la amplitud semiintercuartil a partir de los siguientes datos:

X nj

6 - 8 1 9 - 11 3 12 - 14 6 15 - 17 2

Solución:

ASI =

Q - Q

n = 12

Q = P

a = 12 75 100

3 1

j

3 75

75% - a

El punto de la distribución que deja por debajo 9 casos está en el intervalo 11'5 - 14'5, con una frecuencia de 6. Necesitamos calcular cuanto ocupan de la amplitud de ese intervalo 9 - (1 + 3) = 5, de esos 6 casos.

• b

b =

Q 3 = 11 5 + 2 5 = 14

De forma similar: Q 1 = P 25

c =

25% - c

El intervalo crítico en este caso es 8'5 - 11'5, con una frecuencia de 3. 3

2 - d

d =

Q = 8 5 + 2 = 10 5

ASI =

1

Problema 20.-

En una muestra de 5 sujetos (A, B, C, D, E), se consideran las siguientes variables: talla, en centímetros, (T); juicio, en higiene, emitido por el profesor, (J); edad, en años, (E); cociente intelectual, (CI); sexo, (S); religión (R). Los resultados en las variables aparecen a continuación:

Sujetos T J E CI S R A 115 malo 7 140 F judía B 150 muy bueno 10 90 M católica C 170 medio 14 135 M musulmán D 80 bueno 3 120 F católica E 162 muy malo 11 115 M protestante

Elija, si existen, los estadísticos de tendencia central y de variabilidad más adecuados para cada variable. Justifique debidamente cada respuesta.

Solución:

T = variable cuantitativa continua (nivel de razón). Luego: Estadísticos de tendencia central: si consideramos que la puntuación 80 hace muy asimétrica la distribución, elijo la Mediana (Md), Si no, la media aritmética (X)^. (También en lugar de Md., media armónica, o media geométrica).

b.- PO =

X

n =

c.- Grupo C 1 :

x^2

2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

S =^

(X - X )

n

Sx = 3 16 = 1 78

2

Grupo C 2 :

C = X

n

S =

(X - X )

n =

Sx = 3 16 = 1 78

x^2

2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

2

d.- CV =

Sx | X|

Problema 22.-

En el grupo de Medicina hay tres grupos (A, B, C) y cada uno de estos grupos recibe las clases de "Anatomía" de un profesor diferente. En el examen de anatomía se obtuvieron los siguientes datos:

Grupo N X Sx

A 100 10 3 B 50 7 4 C 100 3'5 2

Sospechándose que el nivel de exigencia no ha sido el mismo en todos los grupos, para dar las puntuaciones finales se les ha sumado un punto a todas las puntuaciones del grupo B y se ha multiplicado por dos todas las puntuaciones del grupo C. Obtenga la nueva media, varianza para cada uno de los grupos, y la nota media final en las calificaciones de Anatomía.

Solución:

Al aumentar un punto todas las puntuaciones del grupo B B = 7 + 1 = 8

S = 4

S = 16

B

B^2 Al multiplicar por dos todas las puntuaciones del grupo C C = 3 5 2 = 7

S = 2^ 2 = 4

S = 16

C

C^2

Nota media del primer curso de Medicina: X =

T = 8 4

Problema 23.-

Conteste razonadamente las siguientes cuestiones:

a.- ¿Qué medida de tendencia central elegiría usted para representar los siguientes tiempos de reacción correspondientes a una muestra de 5 personas: 8, 15, 15, 15, 100 milisegundos?

Y = AX + B

Sy = ASx, luego:

Y = (1 / 4) X - 1 = (24 / 4) - 1 = 5

Sy = (1 / 4) Sx = 12 / 4 = 3

Problema 25.-

Conteste "cierto" o "falso" y justifique cada respuesta.

a.- La varianza de una distribución es directamente proporcional a la suma de las desviaciones cuadráticas con respecto a la media. b.- Si todas las puntuaciones de una distribución de frecuencias son iguales, la desviación típica valdrá uno. c.- En un test cuyas puntuaciones oscilan entre 0 y 100, si obtenemos una puntuación de 88 se puede decir que estamos sobre la media de dicho grupo.

Solución:

(^2) x

2 S =

(X - X )

n ,

a.- Cierto. luego siendo n constante en una distribución, si

aumenta el numerador (  (X - X ) )^2 aumentará si disminuye el numerador, disminuirá

S ;^2 x S. x^2

b.- Falso. Cuando todas las puntuaciones son iguales, no hay variabilidad, luego la varianza es nula: K = K n

= nK n

= K

S =

(K - K )

n =^

(K - K )

k n = 0^ n = 0 2

2 2

c.- NO, dependerá de las puntuaciones. Puede ser que en un grupo todos los sujetos saquen por encima de 88 por ej. y en este caso estaría debajo de la media para dicho grupo.

Problema 26.-

La amplitud semiintercuartil, ¿es igual a Q 2?

Solución:

Falso. Será verdadero únicamente cuando la distribución sea simétrica, luego no siempre ASI = Q 2.

Problema 27.-

En un aula se ha aplicado el PMA de Thurstone, que como se sabe, mide cinco aptitudes diferentes (R, S, F, N, W). Los estadísticos obtenidos en el grupo para cada factor han sido los siguientes:

Factor R S F N W Media 50 48 60 70 55 Des. Típica 3 3 1 1'5 2

Un alumno de esta clase ha obtenido las siguientes puntuaciones:

Factor R S F N W Puntuación 56 52 59 67 55

Considerando la posición de ese alumno en su grupo, ordene de mayor a menor sus aptitudes.

Solución:

Habrá que calcular la puntuación típica en cada una de las aptitudes ordenándolas de mayor a menor.

ZR = (56 - 50)/3 = 2

ZS = (52 - 48)/3 = (^1) 

ZF = (59 - 60)/1 = -

ZN = (67 - 70)/1'5 = -

ZW = (55 - 55)/2 = 0

R : S : W : F : N