Problemas estadísticos, Ejercicios de Estadística

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UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

FACULTAD DE PSICOLOGÍA

ESTADÍSTICA - CÁTEDRA II

PROF. HORACIO F. ATTORRESI

GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS

RESUELTA

PROF. LILIANA PACCOSI

PRÁCTICA I

EJERCITACIÓN

EJERCICIO 1

Enuncie algunas fuentes de variación que puedan afectar la calificación en un parcial de estadística y distinga las que son susceptibles de ser estudiadas como sistemáticas. Explique cómo exhibiría la información si quisiera mostrar que la asistencia a los teóricos es una fuente sistemática de variación.

Recordemos que en la variabilidad de las conductas que se estudian, distinguimos:

• las variaciones que son imprevisibles porque no están asociadas a ninguna fuente de variación sistemática, se atribuyen así a un conjunto de fuentes fortuitas de variación
• las variaciones que son previsibles porque están asociadas a fuentes sistemáticas de variación

En la calificación en un parcial de estadística, algunas fuentes de variación podrían ser: la capacidad intelectual de cada alumno, el método de estudio, el tiempo dedicado al estudio, el nivel de ansiedad en el momento del examen, el nivel de cansancio con el que el alumno llega al momento del examen, la dificultad propia del examen (en el caso que se tome un examen distinto para cada banda horaria), circunstancias individuales previas al examen, etc. Todas, salvo la última pueden ser estudiadas como sistemáticas.

La asistencia a los teóricos como fuente sistemática de variación debería exhibirse de la siguiente manera:

Calificación Asistencia a los teóricos Asiste No asiste 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

EJERCICIO 2

Un equipo de psicopedagogos desea estudiar las habilidades adquiridas en el aprendizaje escolar de la lectoescritura mediante una prueba de rendimiento (en la escala usual de 1 a 10) y el nivel de agresividad (bajo / medio / alto) de niños provenientes de hogares con carencias económicas del Gran Buenos Aires. Determine la población, las unidades, las características a estudiar y su nivel de medición, las variables estadísticas, su clasificación y sus valores. Cualquier trabajo en el que se aplica la estadística se refiere a un conjunto de entidades que se conoce con el nombre de población. Llamamos población de individuos al conjunto de todos los elementos sobre los cuales se observa una o más características

b) Psicodiagnóstico correspondiente a un paciente según los cuadros clínicos (neurosis, psicosis, etc.) c) Nacionalidad de un sujeto. d) Cantidad de palabras correctamente leídas por un disléxico en un minuto. e) Cociente intelectual (Binet-Stern). f) Tiempo que tarda un alumno de Psicología en concluir su carrera. g) Temperatura en grados centígrados en Ciudad de Buenos Aires a las 0 hs. h) Orden de mérito obtenido por un aspirante en un concurso. i) Edad de una persona.

a) Cuasicuantitativa, nivel ordinal. En este caso, los valores asignados representan sólo un orden en el rendimiento de los 8 individuos. De dos individuos a los que se ha asignado números diferentes, puede decirse cuál de ellos presenta un mayor rendimiento, pero no cuánto mayor es el mismo.

b) Cualitativa, nivel nominal. Los valores asignados a esta variable son sólo atributos. Dados los valores correspondientes a dos pacientes, sólo podemos decir si poseen el mismo o diferente psicodiagnóstico.

c) Cualitativa, nivel nominal. La nacionalidad es un atributo del individuo e, igual que en el punto anterior, de dos sujetos sólo diremos si poseen la misma o diferente nacionalidad.

d) Cuantitativa discreta, nivel de razón. El cero de la variable es absoluto, indica que una persona disléxica no pudo leer correctamente al menos una palabra en un minuto. Es una variable discreta ya que no es posible que la persona lea, por ejemplo, dos palabras y media.

e) Cuantitativa continua, nivel intervalar o Cuasicuantitativa, nivel ordinal (es discutible). Una persona que posee un IQ de 100, tiene una inteligencia más cercana a alguien con un IQ de 110 que otra con un IQ de 60; parece ser una escala de intervalos, pero es difícil establecer que la escala realmente posea intervalos iguales entre las unidades adyacentes. Sin embargo, muchos investigadores consideran tales variables como si fuesen medidas en escalas de intervalos, en particular cuando el instrumento de medición es bastante estándar, como es el caso del WAIS.

f) Cuantitativa continua, nivel de razón (el cero de la escala no tiene por qué ser un valor posible para la variable).

g) Cuantitativa continua, nivel intervalar (el cero de la escala no es absoluto, no representa realmente ausencia de temperatura).

h) Cuasicuantitativa, nivel ordinal (los valores asignados a cada aspirante indican un orden o jerarquía).

i) Cuantitativa discreta (pues se considera en años o meses enteros), nivel de razón. El cero es una convención de la definición de “edad” pero no una convención de la escala. En nuestra cultura la edad se define como cantidad de años enteros (o meses para los pequeños) que transcurren a partir del nacimiento.

EJERCICIO 4

Una Consultora de Recursos Humanos está interesada en estudiar el clima laboral de una organización. Con este fin se efectúa una evaluación objetiva al contar la cantidad de “quejas” diarias que brindan 30 de sus 150 empleados. a) ¿Cuál es la característica objeto de estudio y cuál es la variable estadística con la que se la operacionaliza?

b) Clasifique y determine el nivel de medición de la variable. c) Determine la población de individuos y muestra de individuos d) Determine la población de observaciones y la muestra de observaciones.

a) La característica: clima laboral percibido por los empleados_._ La variable estadística: La manifestación observable que da cuenta del clima laboral percibido por los empleados es la “cantidad de quejas diarias de los empleados”.

b) Clasificación y nivel de medición de la variable: Cuantitativa discreta, la cantidad de quejas es un número entero no negativo. El nivel de medición es de cociente o razón, pues el cero en la escala indica que el empleado no ha realizado ninguna queja.

c) La población de individuos está constituida por el conjunto de empleados de la organización (que en este caso son 150). La muestra de individuos está constituida por las 30 empleados de la organización seleccionados.

d) Siendo la población de observaciones el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable estadística sobre la población de individuos, la misma está constituida por el conjunto de números que representan a la cantidad de quejas diarias de los 150 empleados de la organización. La muestra de observaciones es el conjunto de valores que toma la variable estadística pero, ahora, sobre la muestra de individuos; por lo tanto, está constituida por el conjunto de números que representan a la cantidad de quejas diarias de los 30 empleados de la organización seleccionados.

EJERCICIO 5

El Centro de estudiantes de la Facultad de Psicología de la UBA está interesado en conocer el grado de acuerdo de distintos actores de dicha facultad, respecto de la inclusión de la materia Matemática en el CBC de la carrera. Para ello al finalizar el primer cuatrimestre de 2005, tomó una muestra aleatoria de 1500 estudiantes y 400 docentes de la carrera. A continuación se presentan los resultados (no reales):

Grado de acuerdo Alumnos Docentes De acuerdo 20% 40% Indiferente 10% 30% En desacuerdo 70% 30% Total 100% 100%

a) Determine quiénes constituyen la población y quiénes la muestra de individuos. b) Determine la población y la muestra de observaciones c) Mencione la variable, clasifíquela e indique la escala de medición. d) Indique la posible fuente sistemática que provoque variaciones previsibles en el grado de acuerdo con la inclusión de la materia Matemática en el CBC.

El estudio se lleva a cabo sobre estudiantes y docentes de la Facultad de Psicología de la UBA, por lo tanto:

a) Hay dos poblaciones de individuos: una está constituida por el conjunto de estudiantes de la carrera de Psicología de la UBA, y la otra por el conjunto de docentes de la carrera de Psicología de la UBA. Hay dos muestras de individuos: una está formada por los 1500 estudiantes seleccionados de la carrera de Psicología de la UBA y la otra por los 400 docentes seleccionados de la misma carrera.

a) Hay un alumno instruido con el método tradicional que obtuvo una calificación de 3 puntos, cinco alumnos instruidos con el método tradicional obtuvieron una calificación de 4, siete alumnos obtuvieron 7 con el método de autoinstrucción, etc.

b) La población de individuos: está integrada por la totalidad de los alumnos de la Cátedra I de Estadística que cursaron la materia en el primer cuatrimestre de 2009. Muestra de individuos: hay dos muestras de individuos, cada una de 20 alumnos, que son los que participaron de la experiencia. Población de observaciones: hay dos poblaciones hipotéticas de observaciones, una está formada por las calificaciones que habrían obtenido los alumnos de la Cátedra I de Estadística del primer cuatrimestre de 2009 en la evaluación sobre prueba de hipótesis, si éstos hubieran sido instruidos por el método tradicional, y la otra población hipotética la integran las calificaciones que habrían obtenido bajo el método de autoinstrucción dichos alumnos. Muestra de observaciones: hay dos muestras de observaciones, una, las calificaciones bajo el método tradicional obtenidas por los 20 alumnos de este grupo, y la otra, las calificaciones bajo el método de autoinstrucción obtenidas por los otros 20 alumnos.

c) La variable estadística es la calificación obtenida por los alumnos en la evaluación acerca del tema “prueba de hipótesis”. Es una variable cuantitativa discreta.

d) Sí. Las calificaciones tienden a ser mayores para el grupo correspondiente al método de autoinstrucción. Aparentemente el método de instrucción es una fuente sistemática de variación para la calificación. Decimos “aparentemente” porque para llegar a la conclusión utilizamos la simple inspección ocular (más adelante veremos métodos adecuados de decisión estadística).

e) No, debido a las fuentes fortuitas de variación.

f) Capacidad individual, preferencia del sujeto a recibir un determinado tipo de instrucción, el docente a cargo de cada uno de los métodos, etc.

g) Si no existieran fuentes fortuitas de variación y toda la variabilidad en la calificación se debiera al método, entonces todas las calificaciones coincidirían dentro del mismo método y bastaría tomar una observación de cada uno para compararlos. Pero al existir otras fuentes de variación es necesario hacer una “serie de observaciones” para que el efecto de las fuentes fortuitas se vea compensado en el conjunto y deje ver la tendencia en el comportamiento de la variable. Por ejemplo: si se hubiera tomado una sola observación de cada grupo podría haber ocurrido que se eligiera el alumno que sacó 7 con el método tradicional y el que sacó 4 con el de autoinstrucción; no se sabría entonces si estas calificaciones son debidas a que el método tradicional es mejor o a que el azar hizo que el alumno más inteligente recibiera el método tradicional. Pero cuando a cada método se asigna al azar un conjunto de individuos, es poco probable que todos los más inteligentes queden en uno de ellos y el efecto de la inteligencia se verá compensado en dicho conjunto sin ocultar el efecto de la fuente sistemática.

EJERCICIO 7

Los datos de este ejercicio fueron obtenidos de un largo estudio por Mr. Joseph Raffaelle, de la universidad de Pittsburgh, para analizar la comprensión lectora (C) y la rapidez lectora (R), usando los puntajes obtenidos en los subtests del IOWA TEST OF BASIC SKILLS. Después de seleccionar aleatoriamente 30 estudiantes y dividirlos al azar en 6 submuestras de tamaño 5, los grupos fueron asignados aleatoriamente a dos tratamientos (clases abreviadas y clases no abreviadas) y tres maestros. Los datos son:

Clases abreviadas Clases no abreviadas R C R C

Maestro 1

Maestro 2

Maestro 3

a) Indique cuáles son las posibles fuentes sistemáticas de variación. b) Mencione las características a estudiar, su nivel de medición, las variables estadísticas y su clasificación. c) Mencione posibles fuentes fortuitas de variación.

a) Las posibles fuentes sistemáticas de variación son la modalidad de la clase y el maestro.

b) Las características por estudiar: “rapidez lectora” y “comprensión lectora”. El nivel de medición: de razón para la primera y discutible para la segunda, puede ser ordinal o intervalar (el tratamiento estadístico posterior que de ella hace el autor corresponde al nivel intervalar). Las variables estadísticas: “calificación en rapidez lectora” – cuantitativa discreta, aunque la característica sea continua – y “calificación en comprensión lectora”

• cuasicuantitativa o cuantitativa discreta según el nivel de medición adoptado -.

c) Posibles fuentes fortuitas de variación: la capacidad individual, el entrenamiento extra- escolar, el nivel cultural de los estudiantes, etc.

EJERCICIO 8 (Para reflexionar y discutir en conjunto)

En Attorresi et al. (2008) se presenta un cuestionario para medir la actitud altruista. Ésta consiste de 18 ítems con dos opciones: una corresponde a una actitud altruista y la otra no. El puntaje que se asigna al individuo corresponde a la cantidad de respuestas que denotan una actitud altruista. Suponiendo que Enrique, Luis, y Matías hayan obtenido 12 puntos, 16 puntos y 8 puntos respectivamente: a) Responda justificando las respuestas. ¿Afirmaría que... a1) ... la actitud altruista de Enrique difiere de la de Luis en la misma medida que difiere de la actitud altruista de Matías? a2) ... Luis es el doble de altruista que Matías? b) Mencione la característica objeto de estudio, su nivel de medición, el instrumento de medición y la variable estadística.

a) La expresión  

5

1

2 i

xi indica la suma de los cuadrados de los datos, es decir que,

primero se debe elevar al cuadrado cada puntuación X y luego sumar los valores así obtenidos.

En cambio, la expresión

5 2

1

 i 

xi indica el cuadrado de la suma de los cinco

valores, es decir que, primero debemos sumar los cinco valores y luego elevar al cuadrado la suma resultante.

 

5

1

2 i

xi = 15

 

5

1

2 i

xi = (15 + 13 + 20 + 15 + 18)

Son expresiones diferentes, ya que la potenciación no es distributiva respecto de la suma.

b) La expresión 

5

1

i

yi indica que cada puntuación Y se multiplica por dos y luego se

suman los productos parciales.

En la expresión  

5

1

i

yi , la suma de los cinco valores se multiplica por 2.

 

5

1

i

yi = 2∙60 + 2∙55 + 2∙68 + 2∙ 50 + 2∙65 = 596

 

5

1

i

yi = 2∙(60 + 55 + 68 + 50 + 65) = 596

Ambas expresiones son iguales. Esto se verifica por la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.

c) Esta expresión  

5

1

i

xi yi indica que debemos multiplicar los valores con igual

índice, es decir, el primer valor del puntaje X con el primer valor del puntaje Y, el segundo valor de X con el segundo valor de Y, y así hasta el último, y luego sumar todos los productos así obtenidos.

En cambio,   

5

1

5

1

i

i i

xi y indica que debemos multiplicar el resultado de la suma del

primer grupo de valores X por el resultado de la suma del segundo grupo de valores Y.

5

1

          ^  i 

xi yi

5

1

5

1

             ^   i 

i i

xi y

Las expresiones obtenidas resultan distintas.

PRÁCTICA II

EJERCITACIÓN

EJERCICIO 1

El siguiente diagrama circular muestra los resultados de una encuesta de opinión llevada a cabo sobre 30.646 personas de Ciudad de Buenos Aires y Gran Buenos Aires, publicada en el diario Clarín el 26 de octubre de 2005.

¿Alguna vez fue al psicólogo? a) Presente la información en una tabla donde se mencione la variable, se muestren sus valores, los ángulos de cada sector y la cantidad de personas que sustenta cada opinión. b) Mencione el nivel de medición de la variable. c) Indique si la escala está bien diseñada en términos de las propiedades que deben caracterizarla. Fundamente la respuesta.

a)

• La variable presente en la encuesta es “Hábito o Disposición de los habitantes de Ciudad de Buenos Aires y Gran Buenos Aires para frecuentar al psicólogo”. Es una variable cualitativa, ya que sus valores sólo expresan atributos, son nombres o categorías.
• La cantidad de personas que sustenta cada opinión se obtiene calculando el porcentaje respectivo directamente con una calculadora científica, construyendo una regla de tres simple, o expresando dicho porcentaje en su notación decimal.

Ejemplo: 100 % 30.646 personas 16 % x personas

x 

Es decir, 4903 personas sustentan la opinión “ Sí, voy actualmente ”.

Se obtiene el mismo resultado multiplicando 0 , 16  30. 646  4903 , 36

Análogamente se calculan los otros porcentajes:

9500 personas sustentan la opinión “ Sí, pero dejé la terapia ”.

8581 personas sustentan la opinión “ No, no creo en la psicología ”.

Sí, voy actualmente 16%

Sí, pero dejé la terapia 31%

No, no creo en la psicología 28%

No, pero lo haría 25%

Edad 5 6 7 8 9 10 11

Sustancia

No conservación 84 68^64 24 12 - - Intermedio 0 16^4 4 4 - - Conservación 16 16^32 72 84 - -

Peso

No conservación 100 84 76 40 16 16 0 Intermedio 0 4 0 8 12 8 4 Conservación 0 12 24 52 72 76 96

Volumen

No conservación 100 100 88 44 56^24 16 Intermedio 0 0 0 28 12^20 4 Conservación 0 0 12 28 32^56 80

a) Mencione la/s variable/s y la fuente sistemática de variación. b) Calcule los ángulos de un diagrama circular correspondiente a la distribución de frecuencias de la variable nivel de conservación del volumen en niños de 10 años. c) Indique el gráfico adecuado para comparar a los niños de 7 y 8 años en la percepción del nivel de conservación de las sustancias.

a) El cuadro contiene la información acerca de tres variables: “Percepción del nivel de conservación de sustancia”, “Percepción del nivel de conservación de peso” y “Percepción del nivel de conservación de volumen”. La fuente sistemática de variación es la “edad” de los niños.

b) Se deben calcular los ángulos correspondientes a los porcentajes 24%, 20% y 56%:

Los ángulos son: 86° 24’ (No conservación), 72° (Intermedio), 201° 36’ (Conservación)

c) Una posibilidad es el diagrama de rectángulos adyacentes. Este tipo de gráfico permite comparar dos o más conjuntos de datos diferentes; en este caso el conjunto de valores correspondientes a los niños de 7 años con el conjunto de valores de los niños de 8 años. A continuación, se muestra, a modo ilustrativo, el diagrama para ambas distribuciones. Las frecuencias porcentuales a utilizar para cada grupo son 64, 4 y 32 para los niños de 7 años, y 24, 4 y 72, para los niños de 8 años.

EJERCICIO 3

A continuación se exhibe una parte de los resultados de una encuesta de opinión sobre el nivel de la enseñanza primaria y secundaria. (Clarín, 27 / 02 /1994).

OPINIÓN SOBRE EL NIVEL DE LA ENSEÑANZA según alumnos y ex alumnos de 14 a 24 años. (En %) Ficha Técnica

- Tipo de encuesta: cuestionario estructurado con preguntas cerradas y abiertas. Las preguntas de este estudio forman parte de un cuestionario más amplio que abarca temas sociales y económicos. - Tamaño de la muestra: 1019 jóvenes (14 a 24 años) y 1002 adultos (25 años y más) - Tipo de muestra: probabilística y por cuotas según sexo, edad y ocupación. - Área geográfica: Ciudad de Buenos Aires y Gran Buenos Aires - Trabajo de campo: agosto 1992 Fuente: Demoskopia. a) ¿Cuántas distribuciones están representadas? Mencione las variables correspondientes, indique el nivel de medición de la escala utilizada y sus valores. b) Lea la ficha técnica. Vuelque los datos correspondientes a las opiniones sobre la primaria en tablas de distribución de frecuencias absolutas, relativas y porcentuales con sus correspondientes acumuladas. Si lo cree necesario para su ejercitación repítalo para la otra distribución. c) ¿Cuántos encuestados consideran que el nivel de enseñanza secundaria es, a lo sumo, medio? d) ¿Qué porcentaje considera que la enseñanza primaria es, por lo menos, medio?

a) Están representadas en el mismo diagrama dos distribuciones correspondientes a las variables “opinión de los jóvenes de 14 a 24 años respecto del nivel de la enseñanza primaria” y “opinión de los jóvenes de 14 a 24 años respecto del nivel de la enseñanza secundaria”. Se trata de variables cuasicuantitativas, el nivel de medición es ordinal, ya que sus valores indican un rango o jerarquía; dichos valores son bajo, medio y alto.

b) La frecuencia absoluta es la cantidad de veces que cada valor de la variable aparece en un conjunto de datos.

Para obtenerla, calculamos los porcentajes correspondientes a cada valor de la opinión de los 1019 jóvenes, sobre el nivel de la enseñanza primaria :

Nivel Bajo: 14,7% de 1019, es decir, 0 , 147  1019  149 , 793

150 personas

Nivel Medio: 67,3% de 1019, es decir, 0 , 673  1019  685 , 787

686 personas

Nivel Alto: 18% de 1019, es decir,^0 ,^18 ^1019 ^183 ,^42

183 personas

Una forma de comprobar que no se cometieron errores es comprobar que la suma de todos los valores obtenidos sea igual a n (tamaño de la muestra).

(^18) 17.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Bajo Medio Alto Bajo Medio Alto Primaria Secundaria

A continuación se realizan los cálculos correspondientes a cada valor de la opinión de los 1019 jóvenes, sobre el nivel de la enseñanza secundaria :

Frecuencias absolutas:

Nivel Bajo: 17,3% de 1019, es decir, 0 , 173  1019  176 , 287

176 personas

Nivel Medio: 67,2% de 1019, es decir, 0 , 672  1019  684 , 768

685 personas

Nivel Alto: 15,5% de 1019, es decir, 0 , 155  1019  157 , 945

158 personas

Frecuencias absolutas acumuladas:

Nivel Bajo: 176 Nivel Medio: 685 + 176 = 861 Nivel Alto: 158 + 861 = 1019

Frecuencias relativas:

Nivel Bajo: 0 , 173

Nivel Medio: 0 , 672

Nivel Alto: 0 , 155

Frecuencias relativas acumuladas:

Nivel Bajo: 0 , 173

Nivel Medio: 0 , 845

 o también 0,672 + 0,173 = 0,

Nivel Alto: 1

 o también 0,155 + 0,845 = 1

Frecuencias porcentuales:

Nivel Bajo: 0 , 173  100  17 , 3

Nivel Medio: 0 , 672  100  67 , 2

Nivel Alto:^0 ,^155 ^100 ^15 ,^5

Frecuencias porcentuales acumuladas:

Nivel Bajo: 0 , 173  100  17 , 3

Nivel Medio:^0 ,^845 ^100 ^84 ,^5

Nivel Alto: 1  100  100

La siguiente tabla muestra los cálculos efectuados anteriormente.

Opinión

Enseñanza Primaria Enseñanza Secundaria ni na pi pa Pi% Pa% ni na pi pa Pi% Pa% Alto 183 1019 0,18 1 18 100 158 1019 0,155 1 15,5 100 Medio 686 836 0,673 0,82 67,3 82 685 861 0,672 0,845 67,2 84, Bajo 150 150 0,147 0,147 14,7 14,7 176 176 0,173 0,173 17,3 17, 1019 1 100 1019 1 100

c) La cantidad de encuestados que consideran que el nivel de enseñanza secundaria es a lo sumo medio, está determinada por aquellos encuestados que consideran que el nivel de enseñanza es bajo o medio, es decir, debemos sumar 176 (bajo) más 685 (medio), lo que da un total de 861 personas. También se obtiene el mismo resultado, sumando los porcentajes correspondientes a dichos valores (17,3 y 67,2) y calculando este porcentaje sobre los 1019 jóvenes encuestados: 17,3% + 67,2% = 84,5% 0,845 ∙ 1019 = 861,055, es decir, 861 personas.

d) Las personas que consideran que el nivel de enseñanza primaria es por lo menos medio, significa que consideran que es medio o alto, por lo tanto, debemos sumar los porcentajes 67,3 (medio) y 18 (alto). El porcentaje buscado es 85,3%.

EJERCICIO 4

Estos son los resultados (no reales) de una encuesta efectuada a graduados de nuestra facultad que respondieron cuál ha sido la asignatura más compleja del primer año de la carrera. Observe la siguiente distribución de frecuencias relativas e identifique los ERRORES cometidos en su confección.

Asignatura pi pa Psicoanálisis 1,2 1, Neurofisiología 0,1^ 1, Psicología Genética - 0,8 0, Estadística 0,5 1 Total 1 ERROR 1) Se trata de una variable cualitativa. Por lo tanto, carece de sentido acumular las frecuencias (absolutas, relativas o porcentuales) de los valores de una variable que han sido medidos en escala nominal.

ERROR 2) Las frecuencias relativas son índices que oscilan entre 0 y 1. Por ende, es imposible encontrar valores de pi como 1,2 y – 0,8.

EJERCICIO 5

En Redondo y Garrido (2008) se evalúa la eficacia de cierto tratamiento de delincuentes sexuales que se hallaban en la prisión de Brians, Barcelona. Para ello se seleccionaron dos grupos mediante criterios que permitieron considerarlos equivalentes; el grupo al que se le aplicó el tratamiento consistía de 49 sujetos y el otro, llamado grupo control, de 74. Finalizado el período de tratamiento y una vez cumplida la sentencia, se llevó a cabo un seguimiento de los mismos durante aproximadamente 4 años y se registró si tuvieron reincidencias en delitos sexuales, otros delitos o no tuvieron reincidencias. Los resultados redondeados se exhiben en el siguiente gráfico.

Crimen No Sexual: 0 , 13

No Reincidencia: 0 , 69

Para obtener las frecuencias absolutas, en cada grupo, calculamos los porcentajes correspondientes a cada tipo de reincidencia:

Grupo Tratamiento :

Crimen Sexual: 4% de 49, es decir, 0 , 04  49  1 , 96

2 sujetos

Crimen No Sexual: 2% de 49, es decir, 0 , 02  49  0 , 98

1 sujeto

No Reincidencia: 94% de 49, es decir, 0 , 94  49  46 , 06

46 sujetos

Grupo Control :

Crimen Sexual: 18% de 74, es decir, 0 , 18  74  13 , 32

13 sujetos

Crimen No Sexual: 13% de 74, es decir, 0 , 13  74  9 , 62

10 sujetos

No Reincidencia: 69% de 74, es decir, 0 , 69  74  51 , 06

51 sujetos

La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos:

Grupo Tratamiento Grupo Control Tipo de Reincidencia ni pi Pi% ni pi Pi% Crimen Sexual 2 0,04 4 13 0,18 18 Crimen No sexual 1 0,02 2 10 0,13 13 No Reincidencia 46 0,94 94 51 0,69 69 49 1 100 74 1 100

b) Se ha empleado un diagrama de rectángulos adyacentes. c) La fuente sistemática es el tipo de tratamiento: haberlo recibido o no. d) El tratamiento parece ser eficaz dado que en esta muestra se observó un porcentaje considerablemente mayor (25% = 94% – 69%) de no reincidencia para el grupo que lo recibió.

EJERCICIO 6

La siguiente tabla de distribución de frecuencias corresponde a un estudio de habilidades numéricas para el cual se ha tomado la cantidad de problemas resueltos por un grupo de niños:

Xi ni na pi pa Pi% Pa% 16 – 20 150 a 11 – 15 0,7 b 6 – 10 30 c 1 – 5 40 Total - - -

a) Complete la tabla a partir de los datos presentados. b) Obtenga los puntos medios y los límites exactos de cada uno de los intervalos

a) El tamaño de la muestra es 150 (recordemos que la frecuencia acumulada del valor mayor es n ); corresponde al 100% de los datos. El valor de a es 100.

La frecuencia relativa acumulada correspondiente al intervalo 11 – 15 es 0,7. La frecuencia porcentual acumulada de dicho intervalo es 70:

b  0 , 7  100  70

El valor c lo calculamos por medio de una regla de tres simple:

150 niños 100% 30 niños c %

c   c = 20

Ahora estamos en condiciones de completar las frecuencias relativas y porcentuales acumuladas: Xi ni na pi pa Pi% Pa% 16 – 20 150 1 e^ 100 11 – 15 0,7 d 70 6 – 10 30 0,6 20 60 1 – 5 0,4 40 40 Total - - -

Las frecuencias porcentuales de los dos intervalos superiores se obtienen de la diferencia entre la porcentual acumulada de cada intervalo y la del intervalo inmediato anterior:

d = 70 – 60 = 10 e = 100 – 70 = 30

Conocida la frecuencia porcentual de cada intervalo, es fácil completar el resto de la tabla.

Frecuencias absolutas:

El 40% de 150 es igual a 0,4 ∙ 150 = 60 El 10% de 150 es igual a 0,1 ∙ 150 = 15 El 30% de 150 es igual a 0,3 ∙ 150 = 45

Frecuencias relativas:

Se divide la frecuencia porcentual por 100.

Frecuencias absolutas acumuladas:

Para cada intervalo sumamos su frecuencia absoluta más la absoluta acumulada del valor anterior.