¡Descarga Problemas estaticos........ y más Ejercicios en PDF de Economía solo en Docsity!
Universidad Carlos III de Madrid
TEORÍA DE LOS JUEGOS
Lista de ejercicios de
juegos repetidos y bayesianos
- Considere el siguiente juego en forma normal:
Jugador 2
C N P
Jugadora 1
C 6, 6 0, 7 0, 0
N 7, 0 3, 3 0, 0
P 0, 0 0, 0 1, 1
a) Encuentre los equilibrios de Nash en estrategias puras.
Suponga ahora que se juega dos veces este juego. Después de la primera vez, los
jugadores observan lo que ha ocurrido y vuelven a jugar, de manera que pueden
condicionar su acción en la segunda vez a lo ocurrido en la primera. Los pagos finales
son la suma de los pagos de cada repetición.
b) Encuentre un equilibrio perfecto en subjuegos que implique jugar (C;C) la
primera vez.
- En el mercado de telecomunicaciones de un país hay dos empresas que enfrentan la
siguiente demanda
P ( q
a
+ q
b
) = 160 - q
a
- q
b
Los costes de producción son iguales para las dos empresas y vienen dados por la
función C(q) = 40q.
a) Halla el equilibrio de Nash de este juego cuando las empresas seleccionan
cantidades simultáneamente solo una vez.
b) Halla un tipo de descuento y un equilibrio perfecto en subjuegos para el cual las
empresas hacen colusión, (obtienen el máximo beneficio total posible) si el
juego se repite infinitamente.
- En el siguiente juego el gobierno puede imponer impuestos altos, I , o bajos, i , y los
consumidores adoptar un ahorro alto, A , o bajo, a. La matriz de pagos de este juego es:
A a
I 6, 6 3, 3
i 8, 3 4, 4
a) Si la política impositiva y las decisiones de ahorro se toman una vez al año y el
gobierno dura 4 años, ¿cuál será el equilibrio perfecto en subjuegos de este
juego?
b) Si gobierno y ciudadanos duran para siempre, ¿cuál es el factor de descuento
más pequeño necesario para que los pagos medios de un equilibrio perfecto en
subjuegos sean de (6,6) y cuáles son las estrategias que sostienen este equilibrio?
- Supongamos que dos empresas repiten de infinitas veces el juego del duopolio de
Bertrand. En cada periodo las empresas fijan los precios simultáneamente, la demanda
del producto de la Empresa i es 𝑎 − 𝑝
𝑖
si 𝑝
𝑖
𝑗
, es 0 si 𝑝
𝑖
𝑗
y es (𝑎 − 𝑝
𝑖
)/ 2 si
𝑖
𝑗
; los costes marginales son 𝑐 < 𝑎. Demostrar que si el factor de descuento es
entonces hay un equilibrio perfecto en subjuegos en estrategias de gatillo que
permite sostener el precio de monopolio.
- Calcula todos los equilibrios Bayesianos de Nash en estrategias puras del siguiente
juego bayesiano estático. El azar determina si las ganancias de dos jugadores, a los que
llamamos A y B , son como en el juego 1 o como en el juego 2, siendo cada juego
igualmente probable. El Jugador A es informado de si el azar ha escogido el juego 1 o 2,
pero el jugador B no sabe cuál de los dos juegos está jugando. El jugador A elige x o y ;
simultáneamente, el Jugador B elige m o n.
Juego 1 Juego 2
m n m n
x 1, 1 0, 0 x 0, 0 0, 0
y 0, 0 0, 0 y 0, 0 2, 2
- Suponga que dos sospechosos se enfrentan en el dilema del prisionero, con la
complicación añadida de que un sospechoso no sabe si el otro es un hombre de honor.
Se sabe que el Sospechoso 1 es un hombre sin honor con seguridad, pero no está claro
que el Sospechoso 2 lo sea. Si el Sospechoso 2 es un hombre sin honor, los pagos tienen
la forma habitual en este juego:
Sospechoso 2
Confesar No Confesar
Sospechoso 1 Confesar 1, 1 15, 0
No Confesar 0, 15 10, 10
Por el contrario si el Sospechoso 2 es un hombre de honor, preferiría pasar 20 años en la
cárcel antes que delatar a su colega. Más aún, incluso al Sospechoso 1 le sentaría mal
delatar a alguien tan honrado. Por tanto, si el Sospechoso 2 es un hombre de honor los
pagos son:
Sospechoso 2
Confesar No Confesar
Sospechoso 1 Confesar 1, 1 5, 20
No Confesar 0, 15 10, 30
Denote por p la probabilidad de que el Sospechoso 2 sea un hombre de honor.
a) Identifique las estrategias estrictamente dominadas para el Sospechoso 2 en el
juego de información imperfecta.
b) Identifique los equilibrios de Nash de este juego para cada valor de p.
- Una empresa (Jugadora 1) está establecida en un mercado y debe decidir si construir
o no una nueva planta. Los potenciales beneficios de esta acción dependen de si otra
empresa (Jugadora 2) entra o no en el mercado. La Jugadora 2 tiene incertidumbre
acerca de los costes de construir la planta que enfrenta la Jugadora 1, que pueden ser
a) Represente esta situación como un juego bayesiano.
b) Calcule el equilibrio bayesiano y los beneficios en el equilibrio.
Otros ejercicios
- Considérese el siguiente juego en forma normal:
A B C
A 3, 3 x , 0 - 1, 0
B 0, x 4, 4 - 1, 0
C 0, 0 0, 0 1, 1
a) Encuentre los equilibrios de Nash en estrategias puras para los distintos valores
de x.
Suponga ahora que se juega dos veces este juego. Después de la primera vez los
jugadores observan lo que ha ocurrido y vuelven a jugar. Los pagos finales son la suma
de los pagos de cada repetición.
b) Sea x = 5 ¿Es ( B , B ) un EN del juego cuando solo se juega una vez? ¿Se puede
encontrar un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos que implique jugar ( B , B )
en la primera etapa? En caso afirmativo, escriba las estrategias de los dos
jugadores que les permitiría alcanzar ese equilibrio. En caso negativo, explique
por qué no, utilizando para ello la definición de equilibrio de Nash perfecto en
subjuegos.
c) Sea x = 7 ¿Se puede encontrar un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos que
implique jugar ( B , B ) en la primera etapa? En caso afirmativo, escriba las
estrategias de los dos jugadores que les permitiría alcanzar ese equilibrio. En
caso negativo, explique por qué no.
- Sea el juego en forma normal G cuyos pagos están resumidos en la matriz de pagos:
L R
A 1 , 1 8 , 0
B 0 , 5 3 , 3
Considere el juego G repetido infinitas veces. ¿Cuál es el factor de descuento más
pequeño necesario para que los pagos medios en un equilibrio perfecto en subjuegos
sean (3, 3) y cuáles son las estrategias que sostienen este equilibrio?
- Un ejecutivo decide ir a comer a Casa Pepe. Le atiende un camarero, que puede
darle buen o mal servicio. El ejecutivo, tras observar cómo le han atendido, decide si
dar o no una propina. Al camarero le gusta que le den propina, pero le cuesta esmerarse
en el trabajo. A su vez, al ejecutivo le gusta que le atiendan bien y preferiría no dar la
propina. Cada uno maximiza su valor esperado. Para concretar, suponga que las
posibles propinas son 2 euros o cero. Para el ejecutivo el buen servicio tiene un valor de
6, y el mal servicio, cero. Al camarero le cuesta dar buen servicio 1 y mal servicio, cero.
a) Dibuje este juego en forma extensiva.
b) ¿Cuántas estrategias tiene el ejecutivo?
c) ¿Sería un equilibrio de Nash el que el ejecutivo decidiera pagar una propina solo
si le dieran buen servicio y que el camarero diera buen servicio? Razone muy
brevemente.
d) Exprese este juego en forma estratégica o normal.
e) Indique qué afirmaciones de las siguientes son correctas:
i) Para el camarero, dar buen servicio es una estrategia dominante.
ii) No dar nunca propina, independientemente de si le atienden bien o mal, es
una estrategia dominante para el ejecutivo.
iii) Está claro que lo mejor para el ejecutivo es dar propina si le atienden bien y
no darla si le atienden mal.
iv) Ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.
f) Indique el equilibrio de Nash en estrategias puras de este juego.
g) Indique si ese equilibrio da lugar a una asignación Pareto eficiente. Si la
respuesta es negativa, indique una combinación de estrategias que de lugar a una
asignación Pareto superior a la de equilibrio.
Suponga ahora que el ejecutivo va a comer a este restaurante todas las semanas y que
siempre le atiende el mismo camarero. Cada uno maximiza su valor esperado y nadie
descuenta sus pagos futuros (es decir, un euro hoy vale lo mismo que un euro en el
futuro). En este caso podrían llegar al siguiente acuerdo verbal: El camarero empieza
por dar buen servicio y lo seguirá haciendo en el futuro si recibe propina, pero si el
ejecutivo no le recompensa una semana, nunca más le volverá a atender bien. El
ejecutivo le dará propina siempre que reciba un buen servicio, pero si alguna vez no le
atiende bien dejará de pagar la propina para siempre. Si es por todos conocido que el
camarero se va a la mili el día primero del próximo mes.
h) ¿Se cumplirá el acuerdo en algún equilibrio perfecto en subjuegos?
- Calcule todos los equilibrios Bayesianos de Nash en estrategias puras del siguiente
juego bayesiano estático:
- El Jugador 1 puede elegir entre dos acciones, A y B. El Jugador 2 puede elegir
entre dos acciones, I y D.
- Los pagos dependen de los tipos de jugadores. El jugador 1 es de un solo tipo y
este es conocido por ambos.
- El Jugador 2 puede ser del tipo x o de tipo y. El Jugador 2 sabe su tipo pero el
Jugador 1 no sabe con certeza el tipo del Jugador 2.
- El Jugador 1 piensa que el Jugador 2 es del tipo x con probabilidad 2/3, y del
tipo y con probabilidad 1/3.
- Las ganancias se dan a continuación.
Tipo x Tipo y
I D I D
A 4, 1 3, 3 A 3, 6 1, 3
B 3, 6 2, 3 B 1, 1 5, 3
- El juego del gallina resultará familiar a los que hayan visto West Side Story o
Rebelde sin causa. Una versión simplificada de este juego es la siguiente. Dos jugadores
se lanzan en sus respectivos coches a toda velocidad el uno contra el otro. Las acciones
