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ESTRUCTURAS II
PROBLEMAS
FELIPE MARTÍN CHICA
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Problemas estructuras 2, Apuntes de Diseño Estructural y Arquitectura
problemas de estructuras 2
Tipo: Apuntes
2013/2014
1 / 192
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ESTRUCTURAS II
PROBLEMAS
FELIPE MARTÍN CHICA
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ESTRUCTURAS II PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE NUDOS RÍGIDOS Y DE HORMIGÓN ARMADO (3ª edición)
Felipe Martín Chica, Arquitecto
Profesor de Estructuras II de la E. T. S. A. de Granada
INDICE
- A mis alumnos Página
- Introducción
- Nomenclatura y criterio de signos..................................................................................
- Método de la Pendiente-Deformación (desarrollo del método)......................................
- Problema nº 1.- Estructura intranslacional con barras inclinadas y cargas en barras PRIMERA PARTE: PENDIENTE-DEFORMACIÓN
- “ nº 2.- “ translacional “ “ “ “ nudos
- “ nº 3.- “ “ “ “ ortogonales “ nudos
- “ nº 4.- “ “ “ “ inclinadas “ barras.....
- “ nº 5.- “ “ “ “ “ “ “
- “ nº 6.- “ “ “ “ “ simétrica
- “ nº 7.- “ “ con descenso de apoyos “
- “ nº 8.- “ “ con apoyos elásticos.................................
- Problema nº 9.- Armado de una sección sometida a flexión simple SEGUNDA PARTE: HORMIGÓN ARMADO
- Problema nº 10.- “ “ “ “ “...............................
- Problema nº 11.- Determinación de momento conociendo armadura de tracción........
- Problema nº 12.- Peritaje de una sección
- Problema nº 13.- “ de un voladizo....................................................................
- Problema nº 14.- Armado de un pilar sometido a momento y axil
- Problema nº 15.- “ de una viga “ “ “
- Problema nº 16.- Dimensionado y armado de una zapata aislada
ESTRUCTURAS II INTRODUCCION continuamente en nuestro trabajo. Esta ha sido la intención, otra cosa es que se haya conseguido. Y si esta colección de problemas puede resultaros útil, (aunque solo sea desde el lícito punto de vista de superar una asignatura), únicamente vosotros lo po- dréis confirmar; por eso es imprescindible que, si es así, colaboréis con vuestra opinión y sugerencias para que en posibles futuras publicaciones puedan ir depurándose los errores, erratas, defectos, excesos, etc. que, a buen seguro, existirán en esta primera edición. Sería una ayuda inestimable - e irreemplazable- para mí y, lo que es más im- portante, para los futuros compañeros; ayuda que, tanto yo como ellos, esperamos sa- ber agradecer. En otro orden de cosas, este libro surge por una obligación que tengo contraída con vosotros, obligación que, ni mucho menos, excluye una buena dosis de devoción. Me habéis transmitido más de una vez la inquietud generalizada de resolver hasta el final los ejercicios que se plantean en clase. Entiendo que los ejercicios son imprescin- dibles para completar y reafirmar el conocimiento profundo y definitivo de los concep- tos teóricos, pero no olvidemos que estos conceptos conciernen, exclusivamente, al planteamiento del problema y, por ello, no es tan indispensable el resto del desarrollo, puesto que este desarrollo se reduce mayormente a un proceso mecánico de operaciones algebraicas y aritméticas suficientemente conocidas que, no nos engañemos, pertenecen a cursos ya superados y que puede (y conviene, en todo caso), terminarlo de forma indi- vidual. De todas formas este conjunto de ejercicios se presenta con las soluciones, no solamente concernientes a los enunciados, sino al resto de cálculos completos de la es- tructura correspondiente, pues estos enunciados obedecen en muchos casos a ejercicios propuestos en exámenes de cursos anteriores. De ahí también que las preguntas estén planteadas en un orden totalmente aleatorio y no con el orden lógico que le corresponda en el cálculo de cada una de ellas, con el objeto que sea el alumno el que determine di- cho orden de operaciones. Finalmente, como por desgracia suele cumplirse el dicho de que “cada maestrillo tiene su librillo”, no existe texto alguno de teoría ni de prácticas que se ajuste perfecta- mente al programa del curso ni al modo en que se explican y desarrollan los ejercicios en clase y por ello el alumno demanda, con toda lógica, una publicación que se adapte a esta forma de resolución de problemas, que complementará con el desarrollo del tema- rio impartido en clase. Vaya esta colección de problemas para paliar, si es posible, las deficiencias antes apuntadas. En esta segunda edición se han corregido las deficiencias detectadas en la primera. Granada, octubre de 2002.
ESTRUCTURAS II INTRODUCCION INTRODUCION Los ejercicios que aquí se presentan corresponden al programa de la asignatura Estructuras II de la Escuela Técnica Superior de Arquitectura de la Universidad de Gra- nada, como complemento a la exposición teórica impartida en las clases. De acuerdo con dicho programa, se agrupan en dos bloques bien diferenciados. El primero incluye un conjunto de ocho problemas de estructuras planas de nudos rígidos para su resolu- ción por el Método Pendiente-Deformación y el segundo otros tantos de Hormigón Ar- mado. En el primer bloque se desarrolla un ejercicio correspondiente a una estructura intranslacional, siendo el resto estructuras translacionales. Dentro de éstas se presentan problema con barras inclinadas, estructura simétricas y antimétricas, así como un ejem- plo de apoyos elásticos. En el segundo bloque se presentan ejercicios de dimensionado y armado de sec- ciones rectangulares de hormigón sometidas a tensiones normales (flexión simple y compuesta), peritaje de secciones y el cálculo de una zapata centrada. Por la complejidad del proceso en el método de la Pendiente-deformación, se dan a continuación una serie de instrucciones y pasos a seguir para la resolución de los problemas, mientras que para los ejercicios de hormigón armado no se considera nece- sario, pues éstos se explican por sí mismos, dada su simplicidad y sencillez, ya que en general se trata de aplicar directamente las fórmulas deducidas en clases de teoría.
ESTRUCTURAS II INTRODUCCION METODO PENDIENTE-DEFORMACION El método Pendiente-Deformación, también conocido como Pendiente-Flecha, Pendiente-Deflection, método de las Masas Elásticas, etc, tiene su fundamento en la correspondencia biunívoca existente entre las deformaciones que aparecen en los extre- mos de una barra y las solicitaciones existentes en dichos extremos como consecuencia de un sistema de acciones que actúa sobre la estructura. Es por esto por lo que se puede considerar a este método como principio y base de todos los demás. (Método de Cross, Método de Cani, e, incluso, el Método Matricial, aunque éste se fundamente en hipóte- sis de cálculo algo diferentes, cual es la consideración de las elongaciones de las barras). Esta relación entre solicitaciones y deformaciones se materializa en unas fórmu- las algebraicas - cuya deducción puede verse en los apuntes de clase- y que han recibido varias denominaciones a lo largo de su existencia: Fórmulas de Mohr, Fórmulas Ma- dres, Fórmulas de la Pendiente-Deformación, Fórmulas de las Masas Elásticas, Fórmu- las de Comportamiento Elástico, Fórmulas de la Pendiente-Flecha, y alguna que otra más. Nosotros las llamaremos Fórmulas de comportamiento elástico. Aplicación del método.-* Aunque en los ejercicios se detalla paso a paso el pro- ceso, daremos aquí unas indicaciones generales en los pasos a seguir y, sobre todo, por qué son necesarios éstos y por qué, precisamente, en este orden. Para la resolución de los problemas por el método Pendiente-deformación nos ceñiremos siempre al siguiente orden de operaciones: 1.- Eliminación de voladizos.- La primera operación será la eliminación de las barras que están estáticamente determinadas, es decir, aquellas barras en las que, me- diante la aplicación exclusiva de los principios de la estática, podemos conocer las soli- citaciones existentes en cualquiera de sus punto, como son los voladizos. Puesto que las acciones que existan directamente aplicadas a estos voladizos ejercen su efecto sobre la estructura a través, evidentemente, de la sección en contacto con ella, en esta sección hemos de sustituir la barra por este efecto que, en general, será un cortante, un axil y un momento flector, y que denominamos sistema equivalente ; es decir, la barra más las acciones que existan sobre ella son sustituidas por este sistema equivalente.
- (^) Aconsejo al alumno que este apartado se relea detenidamente después de haber realizdo algunos de los ejercicios.
ESTRUCTURAS II INTRODUCCION 2.- Simplificaciones por simetrías y antimetrías.- El segundo paso será obser- var si, por las condiciones geométrico-resistentes, la estructura puede considerarse simé- trica o antimétrica. Hacemos hincapié en que no es absolutamente imprescindible que una estructura sea simétrica de geometría y de material para poderla considerar como simétrica desde el punto de vista resistente: los parámetros que definen las propiedades resistentes de una barra son, entre otros, el producto ( EI ) del módulo de elasticidad por su inercia, que son los datos que se introducen en las fórmulas de la Pendiente- Deformación, y a estas fórmulas “no les importa” si los materiales y las secciones con las que están constituidas dos barras simétricamente colocadas son iguales o distintos, sino el valor de este producto. Basta, pues, que este producto sea simétrico para poder aplicar las condiciones de simetría y antimetría. Si se cumplen las condiciones de simetría en la estructura, pero el sistema de cargas no es simétrico ni antimétrico, habremos de aplicar el teorema de Andrée para convertir la estructura en suma de otras dos, una simétrica y otra antimétrica y, de esta forma, proceder a las simplificaciones pertinentes en cada uno de los estados. En los problemas se explica, paso a paso, el proceso a seguir. 3.- Momentos debidos a las acciones directamente aplicadas sobre las ba- rras.- En tercer lugar calcularemos los momentos de extremo en aquellas barras que estén sometidas a acciones. Si la barra en la estructura está conectada a otras mediante nudos rígidos, estos momentos serán los correspondientes una pieza perfectamente em- potrada en ambos extremos; mientras que si un extremo es una articulación, el momento será el de una barra apoyada-empotrada. Si la barra está conectada por sendas articula- ciones, no habrá lugar el aplicarle las fórmulas de comportamiento elástico, pues solo existirán en ella cortantes y esfuerzos axiles. Estos momentos de empotramiento ya calculados serán necesarios para luego in- troducirlos en las fórmulas de comportamiento elástico. 4.- Grado de translacionalidad.- Para calcular el grado de translacionalidad de una estructura basta con introducirle en los nudos el número mínimo de apoyos móviles para que sea intranslacional. Este número de apoyos será el grado de translacionalidad y es necesario conocerlo para poder dibujar la deformada sin giros. En los ejercicios se explica el proceso paso a paso.
ESTRUCTURAS II INTRODUCCION las solicitaciones existentes en ellos. Para cada barra tendremos dos fórmulas, una para cada extremo: En el extremo inicial: En el extremo final: ( *** F * F** ) *** F * I 2 ***
L
EI
L
EI
L
EI
M M 4 ± δ
= donde el primer término del segundo miembro corresponde al momento de empotra- miento perfecto debido a las acciones directamente aplicadas sobre la barra y el asteris- co representa el nombre de una barra genérica. Estas ecuaciones pueden aplicarse a todo tipo de barras rectas de sección cons- tante, donde las magnitudes desconocidas, (incógnitas del problema), serán tres por ba- rra: giro en el extremo I , giro en el extremo F y desplazamiento δ relativo entre ellos. Ahora bien, si una barra está unida por un extremo mediante una articulación es conve- niente aplicarle, no las ecuaciones anteriores, sino las correspondientes a una barra (elásticamente) empotrada-articulada, cuya deducción puede verse en los apuntes de clase y que tienen la forma siguiente: Barra articulada en el extremo I: ( )^ *** F 2 * ***^ **A F
F**
L
EI
L
EI
M = M + 3 ± δ Barra articulada en el extremo F: donde el primer término del segundo miembro corresponde al momento de empotra- miento debido a las acciones directamente aplicadas en una barra empotrada-apoyada. ( )
2
F
I
I
I**
L
EI
L
EI
L
EI
M = M + 4 + ± δ M 0 b I = ( )
2
I ***^ **A I
I**
L
EI
L
EI
M = M + 3 ± δ
M 0
F =
ESTRUCTURAS II INTRODUCCION Utilizando estas fórmulas podemos observar que se elimina el giro incógnita correspondiente a la articulación, por lo que el sistema de ecuaciones a obtener se habrá reducido, como se explica más detenidamente en los ejercicios. Condiciones de compatibilidad de deformaciones.- A continuación introduci- remos en las fórmulas anteriores unos datos que, por las características particulares de cada estructura, son conocidos. Estos datos (condiciones) pueden ser de dos tipos:
- Condiciones de (^) continuidad .- Puesto que estamos trabajando con mate- ria continua, los movimientos que sufre un nudo han de ser los mismos que los que sufren todos los extremos de barras que en él confluyan, ya que se trata de uniones rígidas.
- Condiciones de contorno .- Para lo que nos concierne, el contorno lo forma el conjunto de aparatos de apoyo de la estructura. Cada uno de ellos pre- sentará un determinado tipo de ligaduras que son conocidas por la propia forma del aparato. De las seis magnitudes existentes en estos puntos, tres componentes de corrimiento (desplazamiento horizontal, desplazamiento vertical y giro) y tres componentes de solicitación (axil, cortante y momento), siempre conoceremos tres de ellas. Estas tres son la condiciones de contorno a introducir en las fórmu- las de comportamiento elástico que, junto con las de continuidad , servirán para su simplificación. Además es muy conveniente hacer unos cambios de variables para evitar el tener que arrastrar los términos EI a lo largo de todo el proceso, trabajando con unas nuevas variables que serán el producto de esta rigidez por cada uno de los corrimientos incógni- tas, como se detalla en los ejercicios. 8.- Ecuaciones de equilibrio de nudos.- Por cada giro incógnita necesitamos una ecuación de equilibrio de nudos. ¿Cuál de las tres ecuaciones de la estática es la más conveniente en el equilibrio de cada nudo? Justamente aquélla en la que no aparez- can los axiles de las barras, pues los axiles no están directamente relacionados con las incógnitas de corrimientos. Esta ecuación es, precisamente, la correspondiente al equili- brio de momentos del nudo cuyo giro desconocemos. Así pues, aislaremos y dibuja- remos cada uno de los nudos susceptibles de giro e impondremos en ellos la condición de equilibrio de momentos. Hemos de tener cuidado al dibujar el nudo: lo dibujaremos lo suficientemente extenso para que puedan apreciarse con toda nitidez todas las solicitaciones de los ex-
ESTRUCTURAS II INTRODUCCION 11.- Cálculo de los momentos de extremo.- Sustituyendo^ en las fórmulas de comportamiento elástico los valores de las variables obtenidos anteriormente, determi- naremos los momentos en los extremos de todas las barras de la estructura. Los signos nos indicarán el sentido de estos momentos, de acuerdo con el criterio de signos elegi- do. 12.-Diagrama de momentos flectores y esquema de fibras traccionadas.- Con los valores obtenidos en el apartado anterior dibujaremos el diagrama de momentos flectores, recordando que ya no tiene sentido el hablar de momentos positivos ni negati- vos, pues su dirección está ya determinada; solo hemos de tener en cuenta que estos gráficos se dibujarán del lado de las fibras que están traccionadas. Los puntos de corte del diagrama de momentos con los ejes de las barras nos indicarán los puntos en donde las tracciones cambian de cara y, por tanto, de curvatura (puntos de inflexión de las de- formadas). Esto nos permite dibujar sobre la gráfica el esquema de fibras traccionadas, que nos indicará claramente la parte convexa de la curvatura en cada zona de las barras. 13.- Cálculo de corrimientos.- Deshaciendo los cambios de variable efectuados al principio del problema (punto nº 7) e introduciendo el valor de la rigidez EI , obten- dremos el valor de los corrimientos (desplazamientos y giros) de los nudos de la estruc- tura. El signo de estos valores nos indicará el verdadero sentido de ellos. 14.- Deformada a estima.- Con ayuda de los valores obtenidos^ en los dos apar- tados anteriores, podremos dibujar la deformada aproximada que va a sufrir la estruc- tura. Para ello observaremos:
- el esquema de las fibras traccionadas, que nos darán la concavidad o convexidad de la deformada
- la ley de momentos flectores (a mayor momento, más concavidad)
- signos de lo giros de los nudos
- valores relativo de éstos (es decir, ver qué valores son mayores y cuáles menores)
- sentido de los desplazamiento, según el signo de ellos respecto a l deformada sin giros
- valores relativos de éstos
- puntos de inflexión de las deformadas (puntos de momento nulo). 15.- Determinación de cortantes.- Aislando cada una de las barras de la estruc- tura, podremos calcular los cortantes de extremo, así como el resto de solicitaciones en
ESTRUCTURAS II INTRODUCCION cualquier punto de ellas, pues no olvidemos que, una vez conocidos los momentos de extremo, las barras aisladas se reducen a elementos simplemente apoyados con todas las cargas conocidas. Es conveniente insistir en que, cada vez que aislemos una parte de la estructura, no hemos de olvidar introducir todos aquellas acciones que existan sobre ella. No obstante, algunos de estos cortantes ya tienen su expresión en función de los momentos (apartados correspondientes al equilibrio de grupos co-translacionales), por lo que, para su cálculo, bastará sustituir allí el valor de los momentos ya conocidos. 16.- Determinación de axiles y reacciones.- Análogamente, para el cálculo de axiles y reacciones bastará con aislar los nudos y aplicar en ellos las dos primeras ecua- ciones de la estática: equilibrio de fuerzas en sentido horizontal y equilibrio en sentido vertical. (Estrictamente hablando, basta con hacer estos dos equilibrios en cualquier par de direcciones elegidas arbitrariamente).
PENDIENTE-DEFORMACIÓN PROBLEMA Nº 1 PROBLEMA Nº 1 Dado el pórtico de la figura, determinar:
- Momentos flectores en los extremos de las barras.
- Ley de momentos flectores de la estructura.
- Giro en los nudos
- Deformada a estima.
- Cortantes en los extremos de las barras y reacciones en los apoyos.
α α ! "#$ % &' (() α* Eliminación de voladizos.- No existen voladizos. Simplificaciones por simetrías y antimetrías.- No existe simplificación posi- ble, al no ser simétrica la estructura. Grado de translacionalidad y deformada sin giros (de los nudos).- El grado de translacionalidad es cero, pues ningún nudo puede sufrir desplazamiento. La estructura es, pues, intranslacional.