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- Calcular las siguientes integrales trigonométricas:
(Todos los cambios de variable están justificados al final del ejercicio)
( ) a dx
sen x
1ª Forma:
Utilizando el cambio general:
2 2
t dt
x
tg t sen x dx
t t
2
2
dt
dx
t
t
sen x
t
2
1 + t
2
t 1 + t
dt x
dt Ln t C Ln tg C
t
2ª Forma:
Es impar en seno, hacemos el cambio:
2 2 2
cos x = t → − sen x dx = dt sen x = 1 − cos x = 1 − t
2 2
dx sen x dx dt dt
sen x sen x sen x t t
Descomponemos en fracciones simples:
2 2
A B A t B t
A t B t
t t t t t t
2
t A A
t t t
t B B
dx dt dt t cos x
Ln t Ln t C Ln C Ln C
sen x t t t cos x
NOTA: Ambas soluciones coinciden, ya que:
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
1 ( ) 2
( ) 1
2 2 2 2 2 2 2
( ) 1 2
1 ( )
2 2 2 2 2 2 2
x x x x x x x
cos sen cos sen sen cos sen
cos x x
tg
x x x x x x x
cos x
cos sen cos sen sen cos 2cos
− − − − + −
− ⎛ ⎞
= = = = −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
− + − + +
2 2
( ) 1
( ) 1 2 2
co s x x x
tg tg
co s x
− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
cos x x x x
Ln Ln tg Ln tg Ln tg
cos x
2
dx
b
sen x cos x
∫
Es impar en seno, hacemos el cambio:
2 2 2
cos x = t → − sen x dx = dt sen x = 1 − cos x = 1 − t
2 2 2 2 2 2 2
dx sen x dx dt dt
sen x cos x sen x cos x t t t t
∫ ∫ ∫ ∫
La hemos transformado en una integral racional a la que aplicamos el método de
descomposición en fracciones simples:
2 2 2
A B C D
t t t t t t
2 2
2 2 2
At t t B t t Ct t Dt t
t t t t t
2 2
1 = At t ( − 1)( t + 1) + B t ( − 1)( t + 1) + C t ( t + 1) + Dt ( t −1)
t B B
t C C
t D D
t A B C D A
2 2 2
1 1
2 2
t (1 t ) t t 1 t 1
Volviendo a la integral:
2 2 2 2
dx dt
dt
sen x cos x t t t t t
∫ ∫ ∫
Ln t Ln t K
t
Ln cos x Ln cos x K
cos x
cos x
Ln K
cos x cos x
CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES TRIGONOMETRICAS
2
2
2
2
Caso general
t
sen x
t
x t
t tg cos x
t
dx dt
t
sen a b sen a cos b cos a senb
cos a b cos a cos b sen a senb
Si tomamos
x x
a = y b = en las fórmulas anteriores:
2 2 2 2
x x x x x x x x x x
sen sen cos cos sen sen cos sen x sen cos
x x x x x x x x x x
cos cos cos sen sen cos sen cos x cos sen
sen x y cos x se pueden expresar en función de
x
tg
2
2
x
x
x x cos
sen
sen cos
x
x
cos
cos
x x
sen x sen cos
x
cos
x
cos
2
2 2
x
tg
t
x x t
tg tg
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
2
x x x x
cos sen cos sen
x x x x
cos cos cos tg
x x
cos x cos sen
x
tg
x
cos
2
2
2
t
x t
tg
2
x x
t tg arc tg t x arc tg t dx dt
t
2 2 2 2 2 2
Par en seno y coseno:
cos x
t
t
t tg x sen x
t
dx dt
t
2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2
2
cos x
tg x t
tg x tg x t
sen x cos x
tg x tg x tg x t
t tg x x arc tg t dx dt
t
2 2
Impar en coseno:
dt cos x dx
t sen x
cos x t
2 2
Impar en seno:
dt sen x dx
t cos x
sen x t
