Problemas Resueltos Estatica, Ejercicios de Mecánica

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ProblemasProblemas de Esde Estática. J. Martíntática. J. Martín

Problemas Resueltos Problemas Resueltos

dede

EstáticaEstática

11 Fuerzas y MomentosFuerzas y Momentos

22 Equilibrio del puntoEquilibrio del punto

33 Equilibrio del sólido sin rozamientoEquilibrio del sólido sin rozamiento

44 Equilibrio del sólido con rozamientoEquilibrio del sólido con rozamiento

55 Equilibrio del sistema de sólidosEquilibrio del sistema de sólidos

66 Entramados y armadurasEntramados y armaduras

77 Mecanismos : poleas, cuñas, tornillosMecanismos : poleas, cuñas, tornillos

88 Método de los trabajos virtualesMétodo de los trabajos virtuales

99 Fuerzas distribuidas : cables y vigasFuerzas distribuidas : cables y vigas

1010 Centros de gravedadCentros de gravedad

Fuerzas y momentos Fuerzas y momentos

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

La resultante es la suma de las dos fuerzas.La resultante es la suma de las dos fuerzas.

De la ley del coseno se tieneDe la ley del coseno se tiene 300300 400400 22 300300 400400 coscos 6060

22 22 FF == ++ ++ ×× ×× ×× ⇒⇒ FF == 608608 ,, 22 NN

De la ley del seno se tieneDe la ley del seno se tiene

sensen 00 ,, 42734273 2525 ,, 33 ºº

coscos 3030 ºº

sensen

== ⇒⇒ == ⇒⇒ ==

Solución en componentes.Solución en componentes.

La resultante es la suma de las componentes de cada una de las fuerzas .La resultante es la suma de las componentes de cada una de las fuerzas.

FF == 400400 ii++ 300300 ((coscos 6060 ººii++sen60ºsen60ºjj)) ⇒⇒ FF== 550550 ii++ 150150 33 jj

00 ,, 47234723 2525 ,, 33 ºº

550550

150150 33

tantan == == ⇒⇒ ==

Problema 1Problema 1 Determinar la resultante de las dos fuerzas indicadas en la figura, dando el módulo y elDeterminar la resultante de las dos fuerzas indicadas en la figura, dando el módulo y el

ángulo que forma la horizontal.ángulo que forma la horizontal.

FF

60º60º

300 N300 N

400 N400 N

αα

αα

400 N400 N

300 N 300 N

60º60º

yy

OO

FF

xx

400 N400 N

300 N300 N

60º60º

ProblemasProblemas de Esde Estática. J.tática. J. MartínMartín

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

GráficaGráfica.. Se dibuja aSe dibuja a escalaescala la sumala suma de lasde las fuerzas. Midiendofuerzas. Midiendo el móduloel módulo dede la resultantela resultante se obtienese obtiene FF ==

49 N49 N ;; midiendo elmidiendo el ángulo queángulo que forma conforma con la horizontalla horizontal es obtienees obtiene 26º26º

Problema 2Problema 2 Determinar el valor del módulo y la dirección de la fuerza FDeterminar el valor del módulo y la dirección de la fuerza F 22 que hay que aplicar alque hay que aplicar al

bloque de la figura adjunta para que la resultante de ambas fuerzas sea una fuerza vertical de 900 N sibloque de la figura adjunta para que la resultante de ambas fuerzas sea una fuerza vertical de 900 N si

el móduloel módulo de lade la fuerzafuerza FF 11 es de 500 N.es de 500 N.

Problema 3Problema 3 (^) Determinar la resultante del sistema de fuerzas concurrentes que se indica en la figuraDeterminar la resultante del sistema de fuerzas concurrentes que se indica en la figura

adjunta sabiendo queadjunta sabiendo que FF 11

= 150 N ,= 150 N , FF

22

== 200200 NN ,, FF

33 == 8080 NN yy FF 44

= 180 N.= 180 N.

xx

yy

FF 22 FF 11

FF 33

FF 44

60º60º

30º30º

45º45º

30º30º

FF 22 == 544,8544,8 NN ;; αα = 29,1º= 29,1º

FF

αα

FF 11

FF 22

FF 33

FF 44

FF 11

FF 22

αα 32º32º

AnalíticaAnalítica.. SeSe determinandeterminan laslas componentescomponentes segúnsegún xx y segúny según yy de cada una de las fuerzas. A partir dede cada una de las fuerzas. A partir de

estos valores se obtiene la resultante y el ángulo que forma con el ejeestos valores se obtiene la resultante y el ángulo que forma con el eje xx. Las componentes de las fuerzas. Las componentes de las fuerzas

son:son:

FF

11

== 129.9129.9 ii ++ 75.075.0 jj ;; FF

22

== −− 173.2173.2 ii + 100.0+ 100.0 jj

FF 33 == −− 40.040.0 ii −− 69.269.2 jj ;; FF 44 == 127.3127.3 ii −− 127.3127.3 jj

La resultante es:La resultante es: FF == ΣΣ FF

ii ==

44.044.0 ii −− 21.521.5 jj ⇒⇒ FF = 49.0= 49.0 NN ;; αα == −− 26º26º

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

FF== 513513 ii++ 5151 .. 55 jj ⇒⇒ FF== 515515 ,, 55 NN ;; == 5,7º5,7º

SOLUCIÓNSOLUCIÓN

Representación gráfica de las fuerzasRepresentación gráfica de las fuerzas

De la ley del seno aplicada al triángulo definido por las tres fuerzas se tieneDe la ley del seno aplicada al triángulo definido por las tres fuerzas se tiene

Problema 4Problema 4 Determinar la resultante de las fuerzas representadas en la figura adjunta. Dar su móduloDeterminar la resultante de las fuerzas representadas en la figura adjunta. Dar su módulo

y el ángulo que forma con el ejey el ángulo que forma con el eje (^) xx..

Problema 5Problema 5 DescomponerDescomponer unauna fuerzafuerza FF de mde móduloódulo 2800 N2800 N en dosen dos componentescomponentes FF

11

yy FF

22 talestales queque

FF

11

forme conforme con FF unun ánguloángulo dede 20º20º yy queque susu diferencia dediferencia de módulosmódulos FF

11

– – FF

22 sea igsea igual aual a 10001000 N.N.

Determinar sus módulos y el ángulo que forman.Determinar sus módulos y el ángulo que forman.

80 N80 N

xx

yy 260 N260 N

150 N150 N

120 N120 N

70º70º

20º20º

40º40º

50º50º

100 N100 N

FF

FF

11

FF

22

20º20º

αα

SOLUCIÓN

Representación gráfica de las fuerzas

SOLUCIÓN

Representación gráfica de las fuerzas

2 2 2

0

F ai bj ck

a b c

F

Problema 7 Descomponer una fuerza F de 20 kN en dos componentes F

1

y F

2 tales que formen

entre sí un ángulo de 50 º y sus módulos estén en la relación 2 : 5. Calcular la magnitud de las

componentes y los ángulos (^) α 1 y (^) α 2

que forman con F.

Problema 8 En las diagonales de un paralelepípedo rectangular de aristas a,b,c, actúan tres fuerzas

del mismo módulo F 0

. Calcular la resultante F.

F 2 F = 15,45 kN ; (^) = 13,8º 1 = 6,18 kN ; (^) α = 36,2º ;

F

F

1

50º

α

β

a

b

c

O

A

C B

D

E

F 1

F 2

x^ F 3

y

z

Problemas de Estática. J. Martín

SOLUCIÓN

Expresando las fuerzas en componentes y sumando se obtiene la resultante

F = 3 i+ 5 j+ k

SOLUCIÓN

El vector unitario en la dirección y sentido de la fuerza es u = (− i+j +k)

La fuerza en componentes es F = 10 ( − i + j + k )

Problema 9 El cubo representado en la figura adjunta tiene de arista 2 m El origen O y los extremos

de las fuerzas F

1

y F

2 están en el punto medio de los lados. Los módulos de las fuerzas son F 1

kN ; F 2 = 2,45 kN ; F 3 =3,0 kN. Determinar la resultante F.

Problema 10 Una fuerza de 17,32 k está dirigida a lo largo de la recta que va del punto de

coordenadas (4,2,0) hasta el punto de coordenadas (1,5,3) tal como se muestra en la figura adjunta.

Los valores de las coordenadas están dados en metros. Determinar el momento de F respecto del

origen O y los momentos de F respecto de los ejes x, y, z.

x

y

z

(4, 2, 0)

(1, 5, 3)

F

P

°

°

y

x

z

O

F

1 F 2

F 3

Problemas de Estática. J. Martín

El par resultante está formado por las fuerzas F y − F separadas una distancia (^) h. Su momento es un

vector M perpendicular al plano definido por F y − F, plano que forma con la horizontal un ángulo

θ, figura b).

(b)

Para calcular la distancia h, brazo del par resultante, aplicando la ley del coseno al triángulo ABC se tiene

h = 7 = 2,645 m luego el momento del par resultante es

M = 105,8 k - m

Para calcular el ángulo θ, aplicando la ley del seno al triángulo ABC se tiene que θ = 79,2 º

SOLUCIÓN

Problema 12 Una barra horizontal de 4 m de largo está sometida a una fuerza vertical hacia abajo de

12 kg aplicada en su extremo B. Demostrar que es equivalente a una fuerza de 12 kg hacia abajo

aplicada en su extremo A y a un par de sentido horario de 48 kg-m.

M

60º

h

θ

A

C

3 m

1 m B

F

B

A

2 m

2 F

2 F

F

B

A

4 m

Equilibrio del punto

SOLUCIÓN

Condición de equilibrio

sen( 47 º )

780

sen 47 º

F

sen

460 2

• α

= =

α

α = 35 , 8 º ; F 575 N

2

=

Problema 13 Determinar el valor del módulo y la dirección de la fuerza^ F 2 de la figura adjunta para

que el bloque de 780 N de peso se encuentre en equilibrio si el módulo de la fuerza F

1 es de 460 N.

F 1

F 2

α

P

47º

P

F 1

F 2

α

47º

SOLUCIÓN

Equilibrio en el punto B Equilibrio en el punto C

BC

BA T

sen 30 º

T

sen 60

2450

= = ; T

BC

= T

CB

sen 80

T

sen 70 º

T

sen 30

T CD CB CE = =

Operando queda

T

BA

= 1414 N ; T

BC

= T

CB

= 2829 N ; T

CD

= 1505 N ; T

CE

= 2965 N

Problema 15 Un cuerpo de masa m = 250 kg está unido al sistema de cables indicado en la figura y

se mantiene en equilibrio en la posición indicada. Determinar las tensiones en los cables.

P

A

D

B

C

60º

40º

E

30º

TBC

TBA

P

T

CE

T

CD

TCB

Problemas de Estática. J. Martín

SOLUCIÓN

Tensión en el cable 1 ⇒ F 1

= 132 N

Tensión en el cable 2 ⇒ F 2

= 128,8 N

Tensión en el cable 3 ⇒ F 3

= 84,8 N

SOLUCIÓN

h = 1 ,5 tg α ; 120 sen α = 80 ⇒ h = 1,34 m

Problema 16 En el esquema de la figura adjunta, un bloque de 60 N de peso está unido a tres cables

dos de ellos contenidos en un plano horizontal. Determinar las tensiones en los cables.

Problema 17 En el esquema de la figura adjunta los tres cuerpos unidos por cables están en

equilibrio. Los bloques A y B pesan 60 N cada uno y el bloque C pesa 80 N. Determinar el valor de

h

4 m

4 m

3 m

8 m

5 m

A

D

C

B

1

2

3

3 m

A

h

B

C

α

Problemas de Estática. J. Martín

Condición gráfica de equilibrio

Para que los dos cables estén tensos, la magnitud de la fuerza aplicada F ha de satisfacer la condición

326,2 N ≤ F ≤ 750 N

b) Para el valor F^ = 500 N, las tensiones en los dos cables son distintas de cero. En el punto C

concurren cuatro fuerzas, luego para que este en equilibrio su resultante a de ser cero.

Condición gráfica de equilibrio

F B

= 184.5 N ; F

A

= 230.9 N

F 2

= 750 N

P F 2

FB

α

sen 90º sen

F P

=

P

F A

α

F B

F

60º

SOLUCIÓN

Equilibrio en el punto A Equilibrio en el punto B

Aplicando la ley del seno se tiene

1

A P

sen

N

cos

T

=

α

=

α

; 2

B P

cos

N

sen

T

=

α

=

α

Operando queda

α = 33,69º ; T = 1630.8 N ; N A

= 1087,2 N ; N

B

= 2446,2 N

Problema 19 Dos cuerpos puntuales de pesos P 1 = 1960 N y P 2 = 2940 N están unidos mediante

un cable y se apoyan sobre una superficie cilíndrica lisa tal como se ve en la figura adjunta.

Determinar la tensión del cable, las normales en los apoyos y el ángulo de equilibrio.

P

2

T

N

B

α

P 1

T

N

A

α

P

1

P 2

α

(^90) − α

A

B

90 − α α

Equilibrio del sólido sin rozamiento

SOLUCIÓN

Sobre la barra actúan cuatro fuerzas : El peso P, las normales en los apoyos N

A

, N

B y la fuerza

aplicada en el extremo A.

Diagrama del sólido libre

Condición de equilibrio

Tomando momentos respecto de A N B

l − P l cos 30º = 0

Operando queda N B

= 86,6 N ; N

A

= 156,7 N ; F = 75 N

Problema 22 Una barra homogénea de 200 N de peso y longitud l se apoya sobre dos superficies

lisas tal como se muestra en la figura adjunta. Determinar : a) el valor de la fuerza F para mantener la

barra en equilibrio en la posición indicada ; b) las reacciones en los apoyos.

A

B

F

F

N

A

NB

P

NA +^ NB sen 30º =^ P

N B cos 30º = F

Sistema de dos ecuaciones

con tres incógnitas

P

G

A

B

F

NB

N

A

Problemas de Estática. J. Martín

SOLUCIÓN

Sobre la barra actúan cuatro fuerzas : El peso P, las normales en los apoyos N A

, N

B y la fuerza

aplicada en el extremo A.

Diagrama del sólido libre

Condición de equilibrio

Tomando momentos respecto de B − N A l cos 30º + P l cos 30º = 0

Operando queda NA = P ; ; F = P sen 60º^ ; ∆ l = =^26 cm

k

F

Problema 23 Una barra homogénea de 300 N de peso y longitud l se apoya sobre dos superficies

lisas tal como se muestra en la figura adjunta. Se mantiene en equilibrio bajo la acción que le ejerce

un muelle unido a su extremo B de constante k = 500 N/m. Determinar el alargamiento del muelle.

A

B

P

G

N A

• F sen 60º + N B sen 30º + = P

F cos 60º = NB cos 30º

Sistema de dos ecuaciones

con tres incógnitas

P

G

A

B

F

N

B

F

N

A

N

B

P

60º

N

A