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PRACTICA III: Estimacion, Inferencia y Prediccion (Fecha de Entrega: En la P´agina Web)
Problema 1. Supon que en una muestra de tama˜no 100 extraida de un pro- ceso AR(1) con media μ, φ = 0.6 y σ^2 = 2, obtenemos x 100 = 0.271. Construye un intervalo aproximado de confianza al 95% para μ. ¿Suguieren los datos que μ = 0?
Problema 2. Supon que en una muestra de tama˜no 100 extraida de un proceso MA(1) con media μ, θ = − 0 .6 y σ^2 = 1, obtenemos x 100 = 0.157. Construye un intervalo aproximado de confianza al 95% para μ. ¿Suguieren los datos que μ = 0?
Problema 3. Considera el siguiente proceso AR(2)
Xt − φXt− 1 − φ^2 Xt− 2 = Zt, Zt ∼ W N (0, σ^2 ).
- ¿Para qu´e valores de φ es ´este un proceso causal?
- Los siguientes momentos muestrales fueron computados tras observar X 1 , ..., X 200 :
ˆγ(0) = 6. 06 , ρˆ(1) = 0. 687 , ρˆ(2) = 0. 610
Encuentra estimaciones de φ y σ^2 resolviendo las ecuaciones de Yule- Walker. (Si encuentras m´as de una soluci´on, escoje la causal)
Problema 4. Doscientas observaciones de una serie temporal, X 1 , ..., X 200 , ofrecieron los siguientes estad´ısticos muestrales
media − muestral : ¯x 200 = 3. 82
varianza − muestral : ˆγ(0) = 1. 15 F AC − muestral : ρˆ(1) = 0. 427 , ρˆ(2) = 0. 475 , ρˆ(3) = 0. 169
- Bas´andonos en los estad´ısticos muestrales, ¿es razonable suponer que {Xt − μ} es ruido blanco?
- Asumid que {Xt − μ} puede ser modelizado como un proceso AR(2),
Xt − μ − φ 1 (Xt− 1 − μ) − φ 2 (Xt− 2 − μ) = Zt
donde Zt ∼ IID(0, σ^2 ), encuentra estimaciones de μ, φ 1 , φ 2 y σ^2.
- ¿Conclu´ırias que μ = 0?
- Construye intervalos de confianza al 95% para φ 1 y φ 2.
- Asumiendo que los datos fueron generados a partir de un modelo AR(2), deriva estimaciones de la FACP para todos los retardos h ≥ 1.
Problema 5. Supon que X 1 , X 2 ... es una serie estacionaria con media μ y FAC ρ(·). Muestra que el mejor predictor de Xn+h de la forma aXn + b se obtiene escogiendo a = ρ(h) y b = μ(1 − ρ(h)).
Problema 6. Supon que Xt, t = 0, ± 1 , ..., es un proceso estacionario que satisface las siguientes ecuaciones
Xt = φ 1 Xt− 1 + ... + φpXt−p + Zt
donde Zt ∼ W N (0, σ^2 ) y Zt no est´a correlacionado con Xs para s < t. Muestra que el mejor predictor lineal PnXn+1 de Xn+1 en t´erminos de 1, X 1 , ..., Xn, asumiendo que n > p, es
PnXn+1 = φ 1 Xn + ... + φpXn+1−p
¿Cu´al es el error cuadr´atico medio de PnXn+1?
Problema 7. Sea Xt un proceso estacionario definido por las ecuaciones
Xt = Zt − θZt− 1 ,t = 0, ± 1 , ...,
donde |θ| < 1 y Zt ∼ W N (0, σ^2 ). Muestra que el mejor predictor lineal P˜nXn+ de Xn+1 basado en Xj , −∞ < j ≤ n, es
P˜nXn+1 = −∞ j=1θj^ Xn+1−j.
¿Cu´al es el error cuadr´atico medio del predictor P˜nXn+1?
Problema 8. Si Xt se ha definido como en el problema 5 y θ = 1, encuentra el mejor predictor lineal PnXn+1 de Xn+1 en t´erminos de X 1 , ..., Xn. ¿Cu´al es su correspondiente error cuadr´atico medio?
Problema 9. Sean X 1 , X 2 , X 4 y X 5 observaciones del siguiente modelo MA(1) Xt = Zt + θZt− 1 , Zt ∼ W N (0, σ^2 ).
- Encuentra la mejor estimaci´on lineal del valor omitido X 3 en t´erminos de X 1 y X 2.
- Encuentra la mejor estimaci´on lineal del valor omitido X 3 en t´erminos de X 4 y X 5.
- Encuentra la mejor estimaci´on lineal del valor omitido X 3 en t´erminos de X 1 , X 2 , X 4 y X 5.
- Computa el error cuadr´atico medio de las estimaciones en los subapartados previos.
