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MECÁNICA CLÁSICA Tema 1 1. El movimiento de una partícula de masa m está dado por r(2) = vo! cos €, + (vol sena: —g1?/2) e3. a) Cal- cular la fuerza a la que está sometida la partícula. b) Calcular su posición y su velocidad en £ = 0. c) Comprobar explícitamente que se cumple la ley de variación del momento angular, 2. Hallar las componentes del vector aceleración a en coordenadas polares planas. 3. Sea s la longitud de arco a lo a lo largo de la trayectoria seguida por una partícula. Probár que v = ds/ di y expresar la componente tangencial de la aceleración en función de s y sus derivadas temporales. 4. Una partícula se mueve con velocidad de módulo constante (y = const.) sobre la curva plana r = k(1+cos 0). Calcular 6, a, y [a] en función de 0, v y k. 5. Indicar cuáles de los siguientes campos de fuerzas son conservativos y, en su caso, calcular la energía potencial correspondiente (a, b y c son constantes): a) F = (ayz + bx + cz) e1 + (axz + bz) e2 + (axy + by) es. b)F =-ze7*e1 +logz €e2 + (e7* + y/2)e3. c)F=ar/r?, 6. Una partícula está sometida a una fuerza F(2,r,F) dependiente de la velocidad que verifica la condición $¿E - dr = 0 para toda trayectoria €. a) Dar un ejemplo físico de una fuerza de este tipo. b) ¿Es F necesa- riamente conservativa? c) ¿Se conserva la energía de la partícula? 7. Un monopolo magnético es un (hipotético) campo magnético de la forma B = br/r?, donde b es una constante que mide la supuesta carga magnética. a) Escribir las ecuaciones de Newton para el movimiento de una partícula de carga q y masa m en presencia del monopolo y de un campo central con potencial V(r) = —k/r. b) Comprobar que el momento angular L no se conserva. c) Hallar un vector conservado de la forma L— f(r)r. 8. Una partícula de masa 7n que se lanza verticalmente hacia arriba con velocidad inicial vy está sometida a un campo gravitatorio constante dirigido hacia abajo y a una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad. Calcular la velocidad que tiene la partícula al volver a su punto de partida. 9. Una partícula de masa sm se mueve sobre el eje x sometida únicamente a una fuerza de rozamiento proporcional a yv. Si la partícula parte del origen de coordenadas con velocidad inicial vg > 0, calcular su posición en todo instante £ > 0. 10. Una partícula de masa m se mueve en una dimensión sometida a la fuerza F(x) = k(x2 —a2), con k,a constantes positivas. Si x(0) = —a y Xx(0) = vg, describir cualitativamente el movimiento de la partícula en función de su velocidad inicial vp. 11. Una partícula de masa »m se mueve en una dimensión sometida a una fuerza F(x) = —kx + kx3/a2, donde k y a son constantes positivas. Calcular la energía potencial correspondiente con la elección V(0) = 0 y discutir cualitativamente el movimiento de la partícula. ¿Qué ocurre si E = ka?/4? 12. Una partícula de masa unidad se mueve en una dimensión sometida al potencial V(x) = sen? x (en unidades apropiadas). Si la partícula se halla inicialmente en el origen con velocidad 4/2, describir cualitativamente el movimiento para 2 > 0 y hallar su ley horaria. 13. Una partícula de masa m sometida al potencial unidimensional V(x) = kx*(3a — 2x) (con k,a > 0) se halla inicialmente en el punto x = 4/2 con velocidad vy. Determinar para qué valores de vg el movimiento es no acotado, y si en tal caso es finito o infinito el tiempo empleado por la partícula en alcanzar el infinito, 14. Una partícula de masa m obligada a moverse sobre una curva en un plano vertical describe un movimiento armónico simple de período Y = 2x1 /1/ g (donde / es una constante con dimenstones de longitud) independiente de la amplitud. Hallar las ecuaciones paramétricas de la curva en cuestión. 15. Hallar la dependencia en la amplitud y la energía del período de las oscilaciones alrededor de x = 0 de una partícula de masa m que se mueve sometida al potencial V(x) = k|x]”,conk > 0 yn e N. 16. Una partícula de masa »m se mueve en el plano sometida al potencial V(x, y) = k(x? + 4y?)/2, con k > 0. Sabiendo que r(0) = (a, 0) y v(0) = (0, vo), con a > 0 y vo > 0, calcular el movimiento de la partícula y dibujar aproximadamente su órbita. 17. Un electrón de masa m y carga —e < O se mueve en un campo eléctrico uniforme E = Ee, y un campo magnético también uniforme B = Bez. En el instante inicial r(0) = 0 y v(0) = voe. Sabiendo que E > O, B > 0 y vo > 0, calcular la trayectoria del electrón y dibujarla aproximadamente en los siguientes casos: a) vo = E/QB); b) vo = E/B; e) vo =2E/B; d) vo =4E/B. 13. Una partícula de masa mm y carga q se mueve en un plano sometida a un campo eléctrico rotatorio de amplitud constante E(+) = Eofcos ot, senwt) (con Ey > 0). Si la partícula se encuentra inicialmente en reposo en el origen, determinar su movimiento y dibujar aproximadamente su trayectoria. 19. La fuerza entre dos partículas está dada por Fa =k[12 11 —Ar(t2 0], donde k y A son constantes positivas y y = |rz — r1]. Calcular el par interno del sistema y explicar por qué no se anula. ¿Es conservativo el sistema formado por las dos partículas? 20. El campo magnético creado por una partícula de carga q que se mueve a lo largo de una trayectoria x(t) está dado por — og O) (rx) O Op (se supone que |x| < c y |r— x]|i] << c?). Estudiar si la fuerza electromagnética entre dos partículas cargadas en movimiento verifica la tercera ley de Newton. 21. Demostrar que el momento angular de un sistema de dos cuerpos se puede escribir en la forma L=MRxR+purxit, donde M = m1] + m2, 4 = mim2/(m1 + m2), r = r2—rj y R es el vector de posición del centro de masas del sistema. 
