¡Descarga Problemes de Equacions Algebraiques y más Ejercicios en PDF de Álgebra solo en Docsity!
Exercici 1. Sigui f (X) = a 0 + a 1 X + · · · + anXn^ ∈ Z[X], a 0 ,... , an ∈ Z, un polinomi. Suposem que existeix p ∈ Z primer tal que
p|ai, i = 0,... , n − 1 , p - an, p^2 - a 0.
Demostreu que f ´es irreductible en Q[X]. Si, a m´es a m´es, f ´es primitiu, aleshores tamb´e ´es irreductible en Z[X].
Exercici 2 (Criteri d’Eisenstein). Siguin A un domini de factoritzaci´o ´unica, K el seu cos de fraccions i f (X) = a 0 + a 1 X + · · · + anXn^ ∈ A[X], a 0 ,... , an ∈ A, un polinomi. Suposem que existeix p ∈ A primer tal que
p|ai, i = 0,... , n − 1 , p - an, p^2 - a 0.
Demostreu que f ´es irreductible en K[X]. Si, a m´es a m´es, f ´es primitiu, aleshores tamb´e ´es irreductible en A[X].
Exercici 3. Siguin A, B dominis i f : A −→ B un morfisme d’anells. Denotem per f^ e : A[X] −→ B[X] el morfisme d’anells donat per
f^ e (
i
aiXi) =
i
f (ai)Xi, ai ∈ A.
(a) Suposem que A ´es un domini de factoritzaci´o ´unica. Demostreu que si p(X) ∈ A[X] ´es un polinomi primitiu, i fe (p(X)) ∈ B[X] ´es irreductible i del mateix grau que p(X) ∈ A[X], aleshores p(X) ´es irreductible en A[X].
(b) Suposem que f : A −→ B ´es un isomorfisme d’anells. Demostreu que p(X) ∈ A[X]
´es irreductible si, i nom´es si, fe (p(X)) ´es irreductible en B[X].
(c) Donat a ∈ A, el polinomi p(X) ∈ A[X] ´es irreductible si, i nom´es si, p(X + a) ´es irreductible.
Exercici 4 (Criteri de reducci´o). (a) Siguin A, B dominis d’integritat, L el cos de frac- cions de B, i f : A −→ B un morfisme qualsevol d’anells. Anomenem tamb´e f^ e : A[X] −→ B[X] el morfisme d’anells que s’obt´e en aplicar f als coeficients dels poli- nomis de A[X]. Sigui p(X) ∈ A[X] un polinomi tal que fe (p(X)) ∈ B[X] ´es del mateix grau que p(X) ∈ A[X]. Llavors, si fe (p(X)) ´es irreductible en L[X], p(X) no admet cap factoritzaci´o en A[X] de la forma p(X) = q(X)r(X) amb q(X), r(X) ∈ A[X], gr(q(X)) ≥ 1 i gr(r(X)) ≥ 1.
(b) Demostreu que els polinomis X^2 + aX + b, X^3 + aX + b i X^4 + aX + b, amb a, b ∈ Z senars, s´on irreductibles en Z[X] i en Q[X].
Exercici 5. (a) Demostreu que el polinomis X^4 − 10 X^2 + 1, X^4 + 1 s´on irreductibles en Z[X].
(b) Demostreu que aquests polinomis factoritzen en Z/pZ[X], per a tot nombre primer p.
Exercici 6. (a) Demostreu que els polinomis X^5 − 4 X + 2, 3X^5 − 15 i 2X^10 − 21 s´on irreductibles en Q[X].
(b) Demostreu que el polinomi X^6 + X^3 + 1 ´es irreductible en Q[X].
(c) Demostreu que, per a tot nombre natural n ≥ 1, si m ̸= ±1 ´es un nombre enter lliure de quadrats, el polinomi Xn^ − m ´es irreductible en Q[X].
Exercici 7. Trobeu les arrels de cadascun dels polinomis seg¨uents:
(a) X^3 + 6X^2 + 11X + 6, en Z/ 12 Z;
(b) 3X^3 − 4 X^2 − X + 4, en Z/ 5 Z;
(c) 5X^4 + 2X^2 − 3, en Z/ 7 Z;
(d) X^3 + X + 1, en Z/ 2 Z.
Exercici 8. Determineu quins dels polinomis seg¨uents s´on irreductibles sobre Q i doneu la factoritzaci´o en polinomis irreductibles d’aquells que no ho siguin:
(a) X^4 − 2 X^3 + 2X^2 + X + 4;
(b) X^4 − 5 X^3 + 3X − 2;
(c) 3X^5 − 4 X^3 − 6 X^2 + 6;
(d) 5X^5 − 6 X^4 − 3 X^2 + 9X − 15;
(e) X^6 + 12X^5 + 49X^4 + 96X^3 + 99X^2 + 54X + 15;
(f) X^5 + X^4 + 2X^3 + 2X^2 + 2X + 3.
Exercici 9 (F´ormules de Cardano). Siguin K un cos de caracter´ıstica diferent de 2 i de 3 i f (X) = X^3 + bX^2 + cX + d ∈ K[X], b, c, d ∈ K, un polinomi de grau 3.
(a) Demostreu que existeix m ∈ K tal que g(X) = f (X − m) = X^3 + pX + q ∈ K[X], p, q ∈ K. Expresseu els coeficients p, q en funci´o de b, c, d i determineu la relaci´o entre les arrels de f i les de g.
(b) Demostreu que, si se substitueix X per U + V en l’equaci´o g(X) = 0, s’obt´e l’equaci´o (U 3 + V 3 ) + (3U V + p)(U + V ) + q = 0. Observeu que si ara se substitueix V per −p/(3U ) s’obt´e una equaci´o que nom´es cont´e U 3 com a incognita. Comproveu que Z = U 3 satisfa l’equaci´o de segon grau
Z^2 + qZ − p^3 /27 = 0.
(c) Siguin z 1 i z 2 les solucions de l’equaci´o anterior. Fixem una arrel c´ubica u de z 1 i posem v = −p/ 3 u. Comproveu que v ´es una arrel c´ubica de z 2 i que u^3 + v^3 = −q. Demostreu que u + v ´es una soluci´o de l’equaci´o X^3 + pX + q = 0.
(d) Comproveu que ω = (−1 +
3 i)/2 ´es una arrel c´ubica de la unitat i dedu¨ıu que les tres solucions de l’equaci´o X^3 + pX + q = 0 s´on:
ωk^
3
q 2
27 q^2 + 4p^3 108
3
q 2
27 q^2 + 4p^3 108
, k = 0, 1 , 2 ,
on la segona arrel c´ubica es pren de forma que el producte de les dues arrels c´ubiques sigui −p/3.
Exercici 17. Sigui α un element algebraic de grau senar sobre un cos K. Demostreu que K(α) = K(α^2 ) i expresseu α com a funci´o racional de α^2.
Exercici 18. Sigui Q := {α ∈ C : α ´es algebraic sobre Q}. Proveu que tot nombre algebraic α ∈ Q es pot escriure de manera ´unica en la forma α = a + bi, amb a, b ∈ R ∩ Q.
Exercici 19. (a) Donats dos elements algebraics α i β sobre un cos K, siguin f (X) = Irr(α, K)(X) i g(X) = Irr(β, K)(X) els seus polinomis irreductibles sobre K. De- mostreu que si el grau de f (X) i el de g(X) s´on primers entre si, aleshores f (X) ´es irreductible en K(β)[X].
(b) Siguin K un cos i L 1 |K i L 2 |K extensions finites contingudes en un cos K. Proveu la desigualtat [L 1 L 2 : K] ≤ [L 1 : K][L 2 : K] i que si els graus [L 1 : K] i [L 2 : K] s´on primers entre si, aleshores se satisf`a la igualtat.
Exercici 20. Siguin k un cos, θ un element algebraic sobre k i K ⊆ k(θ) qualsevol subc`os de k(θ) que contingui k. Sigui K 0 el cos generat sobre k pels coeficients del polinomi Irr(θ, K)(X). Demostreu que K = K 0.
Exercici 21. Demostreu que el cos de descomposici´o de X^4 − 2 sobre Q ´es Q( 4
2 , i). Calculeu [Q( 4
2 , i) : Q].
Exercici 22. Descriviu els cossos de descomposici´o dels polinomis seg¨uents:
(a) X^2 + 2 sobre Q, Q(i), Q(
2), Q(
(b) X^2 − 9 sobre Q.
(c) X^3 − 5 sobre Q, Q(i), Q(
−3), Q( 3
(d) X^5 − 7 sobre Q.
(e) X^2 + X + 1 sobre Q, Q(i), Q(
(f) Xp^ − 1, p primer, sobre Q.
(g) Xp 6 − 1, p primer, sobre Fp.
Exercici 23.∪ Siguin K un cos i k ⊆ K un subc`os qualsevol. Proveu la igualtat K =
F ⊆K, F finit
k(F ), on F recorre els subconjunts finits de K i, si F ´es el conjunt {θ 1 ,... , θn},
k(F ) denota el cos k(θ 1 ,... , θn).
Exercici 24. Siguin k un cos qualsevol, i k, K 1 , K 2 , subcossos de k tals que k ⊆ K 1 ∩ K 2. Suposem que l’extensi´o K 1 K 2 |k ´es finita i que [K 1 K 2 : k] = [K 1 : k][K 2 : k]. Proveu la igualtat K 1 ∩ K 2 = k.
Exercici 25. Siguin L|K una extensi´o algebraica de cossos i G := Gal(L|K) el seu grup de Galois. Demostreu que per a tot subgrup H ⊆ G, el conjunt
LH^ := {x ∈ L : h(x) = x, per a tot h ∈ H}
´es un subc`os de L que cont´e K. Diem que LH^ ´es el cos fix de L per H.
Exercici 26. Siguin k un cos, θ un element algebraic sobre k, i G el grup de Galois de k(θ)|k. Demostreu que, si H ⊆ G ´es un subgrup, aleshores
Irr(θ, k(θ)H^ )(X) =
σ∈H
(X − σ(θ)).
Dedu¨ıu que [k(θ) : k(θ)H^ ] = #H.
Exercici 27. Sigui ζ 7 una arrel setena primitiva de la unitat. Justifiqueu que el grup de Galois de Q(ζ 7 )|Q ´es c´ıclic d’ordre 6 i determineu-ne un generador, σ. Demostreu que:
(a) Q(ζ 7 )⟨σ⟩^ = Q.
(b) Q(ζ 7 )⟨σ
(^2) ⟩ = Q(
(c) Q(ζ 7 )⟨σ (^3) ⟩ = Q(ζ 7 + ζ 7 − 1 ).
Calculeu el grau de l’extensi´o Q(ζ 7 )|Q(
−7) i determineu el seu grup de Galois.
Exercici 28. Determineu el grup de Galois de l’extensi´o Q(
3)|Q. Determineu-ne tots els subgrups i doneu generadors de cadascun dels corresponents cossos fixos.
Exercici 29. Siguin ζ := ζ 5 una arrel cinquena primitiva de la unitat, α := 5
2, K 0 :=
Q(ζ), K 1 := Q(α) i L := Q(ζ, α). Determineu el grau i el grup de Galois de cadascuna de les extensions seg¨uents:
K 1 |Q, K 0 |Q, L|K 1 , L|K 0 , L|Q.
Exercici 30. Siguin ζ := ζ 6 una arrel sisena primitiva de la unitat, α := 6
−3, K 0 :=
Q(ζ), K 1 := Q(α) i L := Q(ζ, α). Determineu el grau i el grup de Galois de les extensions seg¨uents:
L|K 0 , L|K 1 , K 0 |Q, L|Q.
Exercici 31. a) Sigui K un cos de caracter´ıstica diferent de 2. Proveu que tota extensi´o de cossos L/K de grau 2 ´es de la forma L = K(
a), per a a ∈ K, a no quadrat a K.
b) Proveu que tota extensi´o de cossos de grau 2 ´es normal.
Exercici 32. Siguin α, β ∈ C nombres complexos tals que α^4 = −5 i β^4 = −1.
(a) Proveu que les extensions Q(α)|Q(α^2 ), Q(α^2 )|Q, Q(β)|Q(β^2 ), Q(β^2 )|Q, s´on normals.
(b) Proveu que l’extensi´o Q(α)|Q no ´es normal.
(c) Proveu que l’extensi´o Q(β)|Q ´es normal.
(d) Es normal l’extensi´´ o Q(α, β)|Q?
Exercici 33. Sigui K un cos de caracter´ıstica p > 0 i a ∈ K. Sigui α una arrel del polinomi f (X) = Xp^ − X − a ∈ K[X].
a) Proveu que α + 1 ´es arrel de f i expresseu totes les arrels de f en funci´o de α.
b) Determineu un cos de descomposici´o de f sobre K.
(e) Esbrineu el sentit de la frase “els coeficients d’un polinomi s´on polinomis sim`etrics en les seves arrels”.
Exercici 39 (F´ormules de Vi`ete). Siguin A un anell, T , X 1 ,... , Xn, indeterminades, i a un element de A. Considerem l’anell de polinomis [X 1 ,... , Xn][T ]. Com en l’exercici 38, considerem el polinomi f (X 1 ,... , Xn)(T ) := a(T − X 1 ) · · · (T − Xn) ∈ A[X 1 ,... , Xn][T ]. Demostreu que, si posem
f (X 1 ,... , Xn)(T ) =
∑^ n
k=
bkT k,
amb bk ∈ A[X 1 ,... , Xn], llavors
bk = (−1)n−kasn−k(X 1 ,... , Xn), (1)
on s 0 (X 1 ,... , Xn) = 1, i
s 1 (X 1 ,... , Xn) = X 1 + · · · + Xn, s 2 (X 1 ,... , Xn) =
1 ≤i<j≤n
XiXj ,
s 3 (X 1 ,... , Xn) =
1 ≤i 1 <i 2 <i 3 ≤n
Xi 1 Xi 2 Xi 3 ,
... sn− 1 (X 1 ,... , Xn) =
1 ≤i 1 <···<in− 1 ≤n
Xi 1 · · · Xin− 1 ,
sn(X 1 ,... , Xn) = X 1 · · · Xn
s´on els anomenats polinomis simetrics elementals en X 1 ,... , Xn. Les f´ormules (1) s’ano- menen f´ormules de Viete.
Exercici 40 (Teorema de Waring). Amb les notacions dels exercicis 38 i 39, demostreu que B[X 1 ,... , Xn]Sn^ = B[s 1 (X 1 ,... , Xn),... , sn(X 1 ,... , Xn)].
En altres paraules, per a tot polinomi sim`etric f (X 1 ,... , Xn) ∈ B[X 1 ,... , Xn]Sn^ , existeix un polinomi P (Y 1 ,... , Yn) ∈ B[Y 1 ,... , Yn] tal que
f (X 1 ,... , Xn) = P (s 1 (X 1 ,... , Xn),... , sn(X 1 ,... , Xn)).
O sigui, “tot polinomi simetric ´es un polinomi en els polinomis simetrics elementals”. Demostreu, encara m´es, que si el grau total del polinomi f (X 1 ,... , Xn) ´es m ≤ n, es pot prendre P (Y 1 ,... , Ym) ∈ B[Y 1 ,... , Ym] tal que
f (X 1 ,... , Xn) = P (s 1 (X 1 ,... , Xn),... , sm(X 1 ,... , Xn)).
Exercici 41 (F´ormules de Newton). Siguin T , X 1 ,... , Xn indeterminades. Per a tot nombre enter m ≥ 1, posem
tm = tm(X 1 ,... , Xn) :=
∑^ n
i=
Xim ,
la suma de les potencies m-esimes de les indeterminades i considerem els polinomis sim`etrics elementals, sm = sm(X 1 ,... , Xn), com a l’exercici 39.
Posem, tamb´e, f (T ) := (T − X 1 ) · · · (T − Xn) i gi(T ) :=
f (T ) T − Xi
, 1 ≤ i ≤ n.
(a) Demostreu que Df (T ) = g 1 (T ) + · · · + gn(T ) (el polinomi derivat de f (T ), com a polinomi en T ).
(b) Per a 1 ≤ i ≤ n, calculeu els coeficients de gi(T ) en funci´o de Xi, s 1 , s 2 ,... , sn (feu la divisi´o pel m`etode de Ruffini).
(c) Dedu¨ıu dels dos apartats anteriors les f´ormules
tm − tm− 1 s 1 + tm− 2 s 2 − · · · + (−1)m−^1 t 1 sm− 1 + (−1)mmsm = 0, 1 ≤ m ≤ n − 1.
(d) Demostreu les f´ormules
tm − tm− 1 s 1 + tm− 2 s 2 − · · · + (−1)ntm−nsn = 0, m ≥ n.
(e) Sigui k un cos de caracter´ıstica no divisor de n!. Demostreu que tot polinomi sim`etric p(X 1 ,... , Xm) ∈ k[X 1 ,... , Xn]Sn^ , i de grau total m, es pot escriure com un polinomi, de coeficients en k, en t 1 ,... , tm, si m ≤ n, i en t 1 ,... , tn, si m ≥ n.
Exercici 42. (a) Com s´on els coeficients d’un polinomi m`onic de grau 2 en funci´o de les seves arrels?
(b) Calculeu la suma de les pot`encies cinquenes de les arrels del polinomi
X^8 − 15 X^6 + X^5 − 31 X^4 − 12 X^3 + 14X^2 − 13 X + 1.
(c) D’un polinomi monic de grau 5, sabem que per a les seves arrels α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 , se satisfa que
∑^5
i=
αi = 0,
∑^5
i=
α^2 i = 10,
∑^5
i=
α^3 i = 0,
∑^5
i=
α^4 i = 34,
∑^5
i=
α^5 i = 0.
Quin ´es el polinomi?
Exercici 43. Sigui L|K una extensi´o de cossos i α ∈ L. Sigui f ∈ K[X] un polinomi de grau > 0 (no necess`ariament irreductible) tal que f (α) = 0. Proveu que si f ′(α) ̸= 0, aleshores α ´es separable sobre K.
Exercici 44. Sigui L|K una extensi´o finita separable i N una clausura normal de L sobre K. Proveu que l’extensi´o N |K ´es separable.
Exercici 45. Determineu el grup de Galois de cadascuna de les extensions donades pels cossos de descomposici´o de l’exercici 22.
Exercici 46. Determineu els grups de Galois de les extensions de l’exercici 36 i de les seves clausures normals.
Exercici 47. Demostreu que l’extensi´o Q(
5 , i)|Q ´es Galois, de grau 4, i calculeu el seu grup de Galois.
Exercici 48. Considereu les extensions seg¨uents de cossos, on T ´es una indeterminada.
(a) Q(
a,
b)|Q, on a i b s´on nombres enters.
(e) Escriviu el reticle de subcossos de K i poseu de manifest un element primitiu de cada subc`os.
Exercici 54. Siguin f (X) := X^8 − 2, Qf el cos de descomposici´o de f (X) sobre Q, i G = Gal(Qf |Q) el grup de Galois.
(a) Demostreu que [Qf : Q] = 16 i doneu una base de Qf com a Q-espai vectorial.
(b) Expliciteu els elements de G.
(c) Siguin α una arrel real de f (X) i ζ una arrel primitiva vuitena de la unitat. Demostreu que existeix un ´unic element σ de G tal que σ(α) = ζα i σ(i) = i. Calculeu l’ordre de σ.
(d) Determineu les subextensions de Qf |Q seg¨uents:
Q<σ>f , Q<σ
(^2) > f ,^ Q
<σ^4 > f.
Exercici 55. Sigui f (X) := (X^3 − 1)(X^8 − 1) ∈ Z[X]. Denotem per Qf el cos de descomposici´o de f (X) sobre Q.
(a) Demostreu que Qf = Q(
3 , i) i calculeu el grau [Qf : Q].
(b) Expliciteu els elements del grup de Galois Gal(Qf |Q) i calculeu els seus ordres.
(c) Expliciteu tots els subcossos de Qf de grau 2, i tamb´e els de grau 4, sobre Q.
Exercici 56. Siguin f (X) = X^9 − 1 ∈ Q[X], K el cos de descomposici´o de f (X) sobre Q, i G := Gal(K|Q).
(a) Expresseu K com a extensi´o simple de Q. Calculeu [K : Q] i doneu una base de K sobre Q.
(b) Proveu que G ´es c´ıclic d’ordre 6 i doneu-ne un generador.
(c) Trobeu els subgrups de G i el corresponent reticle de subcossos.
(d) Expresseu cada cos intermedi diferent de Q i de K com una extensi´o simple de Q i trobeu el polinomi irreductible del generador sobre Q.
Exercici 57. Sigui f (X) := X^24 − 1 ∈ Z[X]. Denotem per Qf el cos de descomposici´o de f (X) sobre Q.
(a) Doneu un element primitiu de Qf |Q i calculeu el grau [Qf : Q].
(b) Expliciteu els elements del grup de Galois Gal(Qf |Q) i calculeu els seus ordres.
(c) Expliciteu tots els subcossos de Qf de grau 4 sobre Q.
Exercici 58. Sigui f (X) := X^8 −X^4 +1 ∈ Z[X]. Denotem per Qf el cos de descomposici´o de f (X) sobre Q.
(a) Doneu un element primitiu de Qf |Q i calculeu el grau [Qf : Q].
(b) Expliciteu els elements del grup de Galois Gal(Qf |Q) i calculeu els seus ordres.
(c) Expliciteu tots els subcossos de Qf de grau 2 sobre Q.
Exercici 59. Sigui L|Q una extensi´o de Galois de grup de Galois isomorf al grup diedral D 2 · 4. Demostreu que L ´es el cos de descomposici´o d’un polinomi de la forma X^4 +aX^2 +b, per a certs a, b ∈ Z.
Exercici 60. Sigui K|Q una extensi´o de Galois de grup de Galois isomorf al grup de Klein V 4. Demostreu que K ´es el cos de descomposici´o d’un polinomi de la forma X^4 + aX^2 +b^2 , per a certs a, b ∈ Z.
Exercici 61. Sigui K|Q una extensi´o de Galois de grup de Galois isomorf al grup C 4 , c´ıclic d’ordre 4. Demostreu que K ´es el cos de descomposici´o d’un polinomi de la forma X^4 + aX^2 + b, per a certs a, b ∈ Z, amb b no quadrat i b(a^2 − 4 b) quadrat.
Exercici 62. Descriviu el reticle de les subextensions de Q(ζ)|Q, on ζ ´es una arrel pri- mitiva p-`esima de la unitat, amb p = 13. Expresseu cadascun dels subcossos de Q(ζ) com una extensi´o simple de Q i doneu el polinomi irreductible sobre Q del generador.
Exercici 63. Sigui ζ := ζ 16 ∈ C una arrel setzena primitiva de la unitat.
(a) Comproveu que f (X) := X^8 + 1 ´es irreductible en Q[X] i que ζ n’´es arrel.
(b) Calculeu els automorfismes de Q(ζ).
(c) Demostreu que Q(ζ) t´e exactament tres subcossos de grau 2 i tres subcossos de grau 4 sobre Q.
(d) Descriviu el reticle de subcossos.
(e) Observeu que cos
( 2 π 16
i sin
( 2 π 16
pertanyen a Q(ζ) i expresseu per radicals aquestes raons trigonom`etriques.
Exercici 64. Siguin f = (X^12 − 16)(X^2 − 3) ∈ Q[X] i K el cos de descomposici´o de f sobre Q.
(a) Proveu que K = Q( 3
3 , i) i que [K : Q] = 12.
(b) Siguin G := Gal(K|Q) i ω :=
3 i 2
. Justifiqueu que existeixen ρ i σ ∈ G tals que ρ( 3
- = ω 3
2 , ρ(
3 , ρ(i) = −i, σ( 3
2 , σ(
3 , σ(i) = −i, i doneu els seus ordres.
(c) Comproveu que σρσ = ρ^5 i dedu¨ıu que G ´es isomorf al grup diedral D 2 · 6.
(d) Trobeu, per a cada k ∈ { 2 , 3 , 4 , 6 }, algun subc`os de K de grau k sobre Q.
(e) Trobeu els subgrups de G que corresponen als subcossos donats a l’apartat anterior.
Exercici 65. Siguin f (X) := X^6 + 4X^3 + 1 ∈ Z[X] i K el cos de descomposici´o de f sobre Q.
(a) Proveu que f admet una arrel real α, determineu totes les arrels de f , i comproveu que K = Q(α, ρ), on ρ ´es una arrel c´ubica primitiva de la unitat.
Exercici 70. Nombre de polinomis irreductibles sobre Fq. Sigui Fq el cos finit de q elements. Demostreu les afirmacions seg¨uents:
(a) Si fd(X) ∈ Fq[X] ´es un polinomi m`onic irreductible de grau d, llavors fd(X) divideix Xq n − X si, i nom´es si, d divideix n.
(b) Per a tot nombre natural n ≥ 1, se satisf`a la identitat
Xq
n − X =
d|n
fd
fd(X),
on, en el segon producte, fd recorre tots els polinomis m`onics irreductibles de grau d de Fq[X].
(c) Si ψq(d) designa el nombre de polinomis m`onics irreductibles de grau d de Fq[X], llavors, per a tot nombre natural n ≥ 1 es t´e que
qn^ =
d|n
dψq(d).
(d) Per a tot nombre natural n ≥ 1, ´es
ψq(n) =
n
d|n
μ(d)qn/d,
on μ ´es la funci´o de M¨obius.
(e) Si mcd(q, n) = 1, llavors el nombre de polinomis m`onics irreductibles de grau n de Fq[X] ´es m´ultiple de q.
Exercici 71. Demostreu que tot element del cos finit Fpn^ , p primer, n ≥ 1, admet una ´unica arrel p-`esima en Fpn.
Exercici 72. Considerem el cos finit F 13 de cardinal 13, un cos de descomposici´o L del polinomi X^2 − 5 ∈ F 13 [X] i una arrel α del polinomi X^2 − 5 a L.
(a) Calculeu el grau de l’extensi´o L|F 13.
(b) Proveu que el polinomi X^2 − 7 ∈ F 13 [X] ´es irreductible sobre F 13 i descompon sobre L. Expresseu una arrel β de X^2 − 7 a L com una expressi´o polin`omica en α, de coeficients en F 13.
(c) Calculeu f (X) := Irr(α + β, F 13 )(X) i g(X) := Irr(α · β, F 13 )(X) (totes les possibili- tats).
Exercici 73. Sigui K un cos de 1024 elements i sigui α un generador del grup multiplicatiu K∗^ de K. Descriviu tots els subcossos de K en funci´o de l’element α.
Exercici 74. Considerem els polinomis f (X) = X^3 + X^2 + 2 i g(X) = X^3 + 2X + 1 de F 3 [X].
a) Comproveu que f i g s´on irreductibles.
b) Siguin K i L els cossos de descomposici´o sobre F 3 de f i g, respectivament, i siguin α una arrel de f a K, β una arrel de g a L. Trobeu l’ordre d’α a K∗^ i el de β a L∗.
c) Doneu un isomorfisme entre K i L.
Exercici 75. Proveu que en qualsevol cos finit tot element es pot escriure com a suma de dos quadrats.
Exercici 76. Sigui K un cos finit. Definim inductivament una successi´o de cossos (Kn)n∈N en la forma seg¨uent. Posem K 1 = K. Suposant que hem definit Kn− 1 , sigui fn el producte dels polinomis m`onics de grau ≤ n amb coeficients a Kn− 1. Definim Kn com el cos de descomposici´o de fn.
a) Proveu que K :=
n≥ 1 Kn^ ´es un cos algebraicament tancat i que^ K/K^ ´es una extensi´o algebraica.
b) Proveu que si L/K ´es una extensi´o algebraica i L ´es un cos algebraicament tancat, aleshores L ´es K-isomorf a K. Indicaci´o: Constru¨ıu inductivament un K-morfisme φn de Kn en L que estengui φn− 1.
Exercici 77. Sigui ζ una arrel primitiva onzena de la unitat.
(a) Proveu que l’extensi´o Q(ζ)|Q ´es c´ıclica i doneu un generador del seu grup de Galois.
(b) Demostreu que hi ha una ´unica subextensi´o quadr`atica K|Q de Q(ζ)|Q.
(c) Doneu un element primitiu de K|Q i el polinomi irreductible d’aquest.
(d) Proveu, utilitzant els apartats anteriors, que K = Q(
Exercici 78. Sigui n > 1 un enter, ζn una arrel primitiva n-esima de la unitat, ζ 2 n una arrel primitiva 2n-esima de la unitat. Proveu que Q(ζn) = Q(ζ 2 n) si n ´es senar i que Q(ζ 2 n) ´es una extensi´o de grau 2 de Q(ζn) si n ´es parell.
Exercici 79. Determineu els polinomis ciclot`omics Φn(X), per a n ≤ 20.
Exercici 80. Siguin M/K una extensi´o finita de cossos, L i F cossos intermedis d’aquesta extensi´o, LF el compost de L i F en M. Suposem que L/K ´es de Galois. Proveu que LF/F i L/(F ∩ L) s´on extensions de Galois amb grups de Galois isomorfs entre ells.
Exercici 81. Per a tot nombre natural k ≥ 1, sigui ζk una arrel primitiva k-`esima de la unitat. Siguin r, s nombres enters positius i considerem m := mcm(r, s), d := mcd(r, s). Demostreu que Q(ζr, ζs) = Q(ζm) i que Q(ζr) ∩ Q(ζs) = Q(ζd).
Exercici 82. Siguin K un cos, K una clausura algebraica de K i L/K una extensi´o algebraica. Proveu que existeix un K-morfisme de L en K.
Exercici 83. Sigui K ⊆ C el subconjunt format pels nombres complexos α ∈ C per als quals existeix una successi´o finita d’elements θ 1 , θ 2 ,... , θn ∈ k, tals que α ∈ Q(θ 1 ,... , θn), i θ^2 i ∈ Q(θ 1 ,... , θi− 1 ), per a tot i, 1 ≤ i ≤ n. Demostreu que K ´es un cos i que se satisfan les propietats seg¨uents.
(a) L’extensi´o K|Q ´es algebraica.
(d) Demostreu que existeix un polinomi ∆n(Y 0 ,... , Yn) ∈ Z[Y 0 ,... , Yn] tal que, per a tot A i tot f (X) ∈ A[X] de grau n, ´es ∆(f ) = ∆n(a 0 ,... , an); dedu¨ıu que ∆(f ) ∈ A.
(e) Per a a ∈ K i f (X) ∈ K[X], definim g(X) := f (X + a) ∈ K[X]. Demostreu que ∆(f ) = ∆(g).
Es defineix el discriminant del polinomi f (X) com ∆(f ). Acabem de veure que ´es inva- riant per translaci´o. Noteu que el discriminant d’un polinomi s’anul·la si, i nom´es si, el polinomi t´e alguna arrel m´ultiple.
Exercici 86. Siguin K un cos i f (X) := aX^2 + bX + c ∈ K[X], a, b, c ∈ K, a ̸= 0. Calculeu el discriminant de f com a polinomi en a, b, c.
Exercici 87. Sigui K un cos.
(a) Calculeu el discriminant del polinomi c´ubic f (X) := aX^3 + bX^2 + cX + d, a, b, c, d ∈ K, a ̸= 0, com a polinomi en a, b, c, d.
(b) Dedu¨ıu-ne l’expressi´o del discriminant de f (X) := X^3 + pX + q ∈ K[X], p, q ∈ K, com a polinomi en p i q.
Exercici 88. Sigui K un cos. Comproveu que el discriminant del polinomi f (X) := Xn^ + a, a ∈ K, ´es donat per ∆(Xn^ + a) = (−1)n(n−1)/^2 nnan−^1.
Exercici 89. Proveu que els polinomis de coeficients enters 2X^5 − 10 X +5 i 3X^5 − 15 X + no s´on resolubles per radicals.
Exercici 90. Siguin K un cos, f ∈ K[X] un polinomi m`onic de grau n ≥ 2, α 1 , α 2 ,... , αn les arrels de f en un cos de descomposici´o L de f sobre K. Posem tk = tk(α 1 , α 2 ,... , αn) = αk 1 + αk 2 + · · · + αkn. Sigui A = (aij ) la matriu n × n amb coeficients a L definida per aij = ti+j− 2. Proveu que ∆(f ) = det A. Indicaci´o. Considereu la matriu de Vandermonde M = (αj i −^1 ) 1 ≤i,j≤n.
Exercici 91. Sigui f = X^3 − 3 X + 1 ∈ Q[X] i sigui L un cos de descomposici´o de f sobre Q.
a) Determineu Gal(L|Q).
b) Proveu que L|Q no ´es extensi´o radical.
Exercici 92. Sigui L|K una extensi´o finita de cossos, n = [L : K]. Donat un element α ∈ L, definim l’aplicaci´o
fα : L → L x 7 → αx. Proveu que fα ´es endomorfisme de L com a K-espai vectorial. Definim la norma NL|K (α) i la tra¸ca T rL|K (α) de α respecte de l’extensi´o L|K per
NL|K (α) = det(fα), T rL|K (α) = T r(fα). Per a α, α′^ ∈ L, λ ∈ K, proveu
a) NL|K (α) = 0 si i nom´es si α = 0.
b) NL|K (αα′) = NL|K (α)NL|K (α′).
c) NL|K (λ) = λn.
d) T rL|K (α + α′) = T rL|K (α) + T rL|K (α′).
e) T rL|K (λα) = λT rL|K (α).
f) T rL|K (λ) = nλ.
g) Si Irr(α, K) = Xr^ +a 1 Xr−^1 +· · ·+ar i s = n/r, NL|K (α) = (−1)nasr, T rL|K (α) = −sa 1. Indicaci´o: Observeu que, si β 1 ,... , βs ´es una base de L com a K(α)-espai vectori- al, β 1 , αβ 1 ,... αr−^1 β 1 ,... , βs, αβs,... , αr−^1 βs ´es base de L com a K-espai vectorial i escriviu la matriu de fα en aquesta base.
Exercici 93. Sigui L|K una extensi´o de cossos finita i separable, n = [L : K]. Sigui N una clausura normal de L|K. Sabem que existeixen exactament n K-morfismes de L en N , els denotem per σ 1 ,... , σn. Sigui α ∈ L. Proveu
a) NL|K (α) =
∏n i=1 σi(α) i^ T rL|K^ (α) =^
∑n i=1 σi(α).
b) Si E ´es un cos intermedi de l’extensi´o L|K, NE|K (NL|E (α)) = NL|K (α).
Exercici 94. Siguin K un cos de caracter´ıstica zero, f (X) ∈ K[X] un polinomi irreduc- tible de grau 3, i ∆ ∈ K el discriminant de f (X). Sigui G(f ) el grup de Galois de f (X) sobre K.
(a) Demostreu que G(f ) ∼= A 3 o b´e G(f ) ∼= S 3.
(b) Demostreu que G(f ) ∼= A 3 si, i nom´es si, ∆ ´es el quadrat d’un element de K.
Exercici 95. Siguin K un cos de caracter´ıstica zero, f (X) ∈ K[X] un polinomi irreduc- tible de grau 4, α 1 , α 2 , α 3 , α 4 les seves arrels. Sigui g(X) = (X − θ 1 )(X − θ 2 )(X − θ 3 ), on
θ 1 = (α 1 + α 2 )(α 3 + α 4 ), θ 2 = (α 1 + α 3 )(α 2 + α 4 ), θ 3 = (α 1 + α 4 )(α 2 + α 3 ).
(a) Proveu ∆(f ) = ∆(g).
(b) Siguin G(f ) i G(g) els grups de Galois de f i g sobre K, identificats amb subgrups dels grups de permutacions S 4 de {α 1 , α 2 , α 3 , α 4 } i S 3 de {θ 1 , θ 2 , θ 3 }, respectivament. Proveu que l’acci´o de G(f ) sobre {θ 1 , θ 2 , θ 3 } indueix un epimorfisme de G(f ) en G(g) amb nucli V 4 ∩ G(f ).
(c) Demostreu que
(1) G(f ) ∼= S 4 si, i nom´es si, G(g) ∼= S 3. (2) G(f ) ∼= A 4 si, i nom´es si, G(g) ∼= A 3. (3) G(f ) ∼= V 4 si, i nom´es si, G(g) ∼= { 1 }. (4) si G(f ) ∼= C 4 o b´e G(f ) ∼= D 2. 4 , aleshores G(g) ´es d’ordre 2.
