Apunts Estructures Algebràiques, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Apunts Estructures Algebràiques y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

ESTRUCTURES ALGEBRAIQUES

Curs 2014-

Teresa Crespo

12 de desembre de 2014

• I Grups
• 1 Grups
  • 1.1 Definicions
  • 1.2 Grups de permutacions
  • 1.3 Morfismes de grups
  • 1.4 Teorema de Lagrange
  • 1.5 Subgrups normals. Grup quocient.
  • 1.6 Teoremes d’isomorfia
  • 1.7 Grups c´ıclics
  • 1.8 Subgrup generat per un conjunt
  • 1.9 Producte directe de grups
  • 1.10 Grup lliure generat per un conjunt
  • 1.11 Grups definits per generadors i relacions
  • 1.12 Grups diedrals
  • 1.13 Grups resolubles
  • 1.14 Grups simples
• 2 Accions d’un grup sobre un conjunt
  • 2.1 Definicions
  • 2.2 Exemples d’accions
  • 2.3 Equaci´o d’`orbites
  • 2.4 Teoremes de Sylow
• 3 Grups abelians finitament generats
  • 3.1 Bases
  • 3.2 Subgrup de torsi´o
  • 3.3 Estructura dels grups abelians finitament generats
  • 3.4 C`alcul efectiu dels factors invariants
• II Anells
• 4 Anells
  • 4.1 Definicions
  • 4.2 Ideals d’un anell
  • 4.3 Anell quocient
  • 4.4 Morfisme d’anells
  • 4.5 Ideals primers i maximals.
  • 4.6 Cos de fraccions d’un domini
  • 4.7 Anells de fraccions
• 5 Factorialitat
  • 5.1 Dominis euclidians
  • 5.2 Factoritzaci´o en un domini d’ideals principals
  • 5.3 Dominis de factoritzaci´o ´unica
  • 5.4 Factorialitat dels anells de polinomis

Part I

Grups

1 Grups

1.1 Definicions

Recordem que, si A ´es un conjunt no buit, una operaci´o bin`aria interna a A ´es una aplicaci´o de A × A en A. Indiquem la imatge de (a, b) per aquesta aplicaci´o per ab.

Definici´o 1.1. Un grup ´es un conjunt G dotat d’una operaci´o bin`aria interna que compleix

1. per a tots x, y, z ∈ G, (xy)z = x(yz) (Propietat associativa);

2. existeix e ∈ G tal que ex = xe = x, per a tot x ∈ G (e es diu element neutre de G);

3. per a tot x ∈ G, existeix x′^ ∈ G tal que x′x = xx′^ = e (x′^ es diu element sim`etric de x).

Diem que G ´es abeli`a si l’operaci´o de G ´es commutativa, ´es a dir xy = yx, per a tots x, y ∈ G.

Si l’operaci´o de G ´es producte, es posa 1 l’element neutre, el simetric de x es diu invers i s’indica per x−^1. Si G ´es abelia, l’operaci´o es denota com a suma, es posa 0 l’element neutre, el sim`etric de x es diu oposat i s’indica per −x.

Observaci´o 1.2. L’element neutre d’un grup ´es ´unic. En efecte, si e, e′^ ∈ G compleixen la propietat de ser neutre, tenim e = ee′^ = e′. L’element oposat d’un element x d’un grup ´es ´unic. En efecte, si x′, x′′^ ∈ G compleixen la propietat de ser oposats de x, tenim

x′′^ = ex′′^ = (x′x)x′′^ = x′(xx′′) = x′e = x′.

Exemples 1.3. 1) (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +), (Q \ { 0 }, ·), (R \ { 0 }, ·), (C \ { 0 }, ·), (Z/mZ, +), ((Z/mZ)∗, ·) s´on grups abelians.

Demostraci´o. L’implicaci´o a) ⇒ b) ´es evident. Provem b) ⇒ c). Per a x, y ∈ H, tenim y ∈ H ⇒ y−^1 ∈ H, per 2) i ara, x, y−^1 ∈ H implica xy−^1 ∈ H, per 3). Provem c) ⇒ a). Com H ´es no buit, existeix x ∈ H i aplicant c) a la parella x, x, obtenim e = xx−^1 ∈ H. Ara, per a qualsevol y ∈ H, aplicant c) a la parella e, y, obtenim y−^1 = ey−^1 ∈ H i, finalment, per a x, y ∈ H, tenim y−^1 ∈ H i, aplicant c) a la parella x, y−^1 , obtenim xy = x(y−^1 )−^1 ∈ H. 2

Proposici´o 1.6. Si H 1 , H 2 s´on subgrups d’un mateix grup G, aleshores H 1 ∩ H 2 ´es subgrup de G.

Exemples 1.7. 1) Tot grup G t´e com a subgrups G (subgrup total) i {e} (subgrup trivial);

1. (Z, +) ´es subgrup de (Q, +), (R, +) ´es subgrup de (C, +);

2. per a m ∈ N, mZ ´es subgrup de Z.

Proposici´o 1.8. Tot subgrup H de Z ´es igual a mZ, per a algun enter natural m.

Demostraci´o. Sigui H un subgrup de Z. Si H = { 0 }, aleshores H = mZ amb m = 0. Suposem H ̸= { 0 }. Com n ∈ H ⇒ −n ∈ H, H cont´e elements estr´ıctament positius. Sigui m l’enter estr´ıctament positiu m´es petit contingut a H. Tenim mZ ⊂ H. Vegem ara l’inclusi´o contr`aria. Si a ∈ H, fem la divisi´o entera de a entre m. Tenim a = mq + r, amb 0 ≤ r < m i r = a − mq ∈ H. Per tant r = 0 i a ∈ mZ. 2

1.2 Grups de permutacions

Donat un conjunt X, una permutaci´o de X ´es una aplicaci´o bijectiva de X en X. Posem SX el conjunt de permutacions de X. El conjunt SX amb la composici´o d’aplicacions ´es un grup. Per a n enter, n ≥ 1, posem Sn el grup de permutacions de { 1 , 2 ,... , n}. Es diu grup sim`etric de grau n. Si σ ∈ Sn, donem σ per

( 1 2 3... n σ(1) σ(2) σ(3)... σ(n)

´es a dir per una matriu de dues files on a la primera posem els elements 1 , 2 , 3 ,... , n en ordre creixent i a la segona posem σ(i) a sota de i, per a i = 1, 2 , 3 ,... , n. Clarament Sn t´e cardinal n!.

Exemples 1.9. S 1 = {Id}

S 2 =

Id =

S 3 =

Id =

, t 1 =

, t 2 =

t 3 =

, s 1 =

, s 2 =

Observem que t 1 t 2 = s 1 i t 2 t 1 = s 2 , per tant S 3 no ´es abelia. A Sn, podem considerar dues permutacions que operin sobre 1, 2 , 3 com t 1 i t 2 , respecti- vament, i deixin fixos els ´ındexs k &gt; 3. Com aquestes dues permutacions no commuten entre elles, podem dir que Sn ´es un grup no abelia per a n ≥ 3.

Donats r elements diferents dos a dos k 1 , k 2 ,... kr de { 1 , 2 ,... , n}, posem (k 1 , k 2 ,... , kr) la permutaci´o σ de Sn definida per

σ(k 1 ) = k 2 , σ(k 2 ) = k 3 ,... , σ(kr− 1 ) = kr, σ(kr) = k 1 , σ(p) = p, si p ̸∈ {k 1 , k 2 ,... , kr}.

Diem que (k 1 , k 2 ,... , kr) ´es un r-cicle. Amb aquesta notaci´o podem escriure els elements de S 3 com t 1 = (2, 3), t 2 = (1, 3), t 3 = (1, 2), s 1 = (1, 2 , 3), s 2 = (1, 3 , 2) i tenim que els elements de S 3 diferents de l’identitat s´on tres 2-cicles i dos 3-cicles. Gr`aficament, podem representar, per exemple, el cicle (1, 2 , 3) com

=  

==

==

^ @^ @





oo 2

i veiem que (1, 2 , 3) = (2, 3 , 1) = (3, 1 , 2). En general, la forma de representar un cicle no ´es ´unica. Un 2-cicle s’anomena tamb´e transposici´o. Tenim (k 1 , k 2 ,... , kr)−^1 = (kr, kr− 1 ,... , k 1 ) i l’invers d’una transposici´o ´es ella mateixa. Dos cicles (k 1 , k 2 ,... , kr), (h 1 ,... , hs) es diuen disjunts si ho s´on els con- junts {k 1 , k 2 ,... , kr} i {h 1 ,... , hs}. Clarament dos cicles disjunts commuten entre ells.

Lema 1.14. La identitat no ´es igual a un producte d’un nombre senar de transposicions.

Demostraci´o. Volem veure que la identitat no ´es producte de 2k + 1 trans- posicions, per a k enter ≥ 0, per inducci´o sobre k.

1. per a k = 0, ´es clar que Id no ´es una transposici´o.

2. suposem que la identitat no ´es producte de 2k − 1 transposicions i provem que tampoc no ho ´es de 2k + 1 transposicions. Posem Id = t 1 t 2... t 2 k+1, per a ti transposicions, 1 ≤ i ≤ 2 k + 1, i t 2 k+1 = (a, x). Com el producte de les t′ is ha de ser Id, ha d’haver algun factor de la forma (a, y). Pel lema 1.13, podem suposar t 2 k = (a, y). Si fos x = y, Id seria producte de 2k − 1 transposicions, que no pot ser per hipotesi d’inducci´o. Per tant x ̸= y. Ara y t´e imatge a pel producte t 2 kt 2 k+1 i per tant un dels altres factors ha de ser de la forma (a, z). Pel lema 1.13, podem suposar t 2 k− 1 = (a, z) i, per la hipotesi d’inducci´o, ha de ser z ̸= y i z ̸= x. Reiterant aquest raonament arribariem a que totes les ti s´on de la forma (a, v), amb tots els v′s diferents i per tant el seu producte no pot donar Id. 2

Proposici´o 1.15. Si t 1 ,... , tr, τ 1 ,... , τs s´on transposicions i

t 1... tr = τ 1... τs,

aleshores r ≡ s (mod 2).

Demostraci´o. t 1... tr = τ 1... τs ⇒ t 1... trτs... τ 1 = Id ⇒ r + s parell. 2

Definim la signatura d’una permutaci´o σ de Sn com ε(σ) = (−1)r, si σ ´es producte de r transposicions. La proposici´o 1.15 d´ona que la signatura est`a ben definida. Diem que σ ´es parella si ε(σ) = 1, senar si ε(σ) = −1. Clarament, per a dues permutacions σ, τ de Sn tenim ε(στ ) = ε(σ)ε(τ ).

Proposici´o 1.16. El conjunt de permutacions parelles de Sn ´es un subgrup de Sn. Es diu grup alternat de grau n i es denota per An.

Demostraci´o. Pel lema 1.14, ε(Id) = 1, per tant Id ∈ An; σ, τ ∈ An ⇒ στ ∈ An; σ ∈ An ⇒ σ−^1 ∈ An. 2

Exemple 1.17. La permutaci´o

t´e signatura −1.

1.3 Morfismes de grups

Si G i G′^ s´on grups, una aplicaci´o f : G → G′^ ´es un morfisme de grups si

f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ G.

Proposici´o 1.18. Si G i G′^ s´on grups, e l’element neutre de G, e′^ el de G′ i f : G → G′^ ´es un morfisme de grups, es compleix

1. f (e) = e′;

2. f (x−^1 ) = f (x)−^1 , ∀x ∈ G.

Demostraci´o.

1. f (e) = f (ee) = f (e)f (e) ⇒ f (e) = e′, aplicant la llei de simplificaci´o.

2. f (x−^1 )f (x) = f (x−^1 x) = f (e) = e′. 2

Exemples 1.19. Les aplicacions seg¨uents s´on morfismes de grups.

det : GL(n, R) → R∗; ε : Sn → {± 1 }; π : Z → Z/mZ, a 7 → [a].

Proposici´o 1.20. Si G, G′^ i G′′^ s´on grups, f : G → G′, g : G′^ → G′′^ s´on morfismes de grups, aleshores g ◦ f : G → G′′^ ´es morfisme de grups.

Per a un morfisme de grups f : G → G′^ definim el nucli de f com

Ker f = {x ∈ G|f (x) = e′}

i definim la imatge de f com

Im f = {f (x)|x ∈ G}.

Proposici´o 1.21. Si f : G → G′^ ´es morfisme de grups, Ker f ´es subgrup de G i Im f ´es subgrup de G′.

1.4 Teorema de Lagrange

Donat un grup G, diem que G ´es finit si el conjunt G ´es finit i, en aquest cas, diem ordre de G i indiquem per |G| el nombre d’elements del conjunt G.

Exemples 1.26. |Sn| = n!, |Z/mZ| = m, Z ´es infinit.

Donats un grup G i un subgrup H de G, definim a G les relacions D i E per

xDy ⇔ x−^1 y ∈ H, xEy ⇔ yx−^1 ∈ H.

Proposici´o 1.27. Les relacions D i E s´on relacions d’equival`encia.

Demostraci´o. Ho provem per D. Per E es faria de forma an`alega.

1. Per a x ∈ G, tenim xDx, ja que x−^1 x = e ∈ H
2. Per a x, y ∈ G, xDy ⇒ x−^1 y ∈ H ⇒ y−^1 x = (x−^1 y)−^1 ∈ H ⇒ yDx
3. Per a x, y, z ∈ G, xDy yDz

x−^1 y ∈ H y−^1 z ∈ H

⇒ x−^1 z = (x−^1 y)(y−^1 z) ∈ H ⇒ xDz. 2

Considerem ara les classes d’equival`encia per les relacions D i E. Tenim

xDy ⇔ x−^1 y ∈ H ⇔ y = xh per a algun h ∈ H.

Tenim doncs que la classe d’equivalencia de x ∈ G per la relaci´o D ´es el conjunt {xh|h ∈ H}. Escrivim aquest conjunt com xH i diem que ´es la classe de x per la dreta modul H. Posem G/D el conjunt quocient de G per la relaci´o D. An`alogament, tenim

xEy ⇔ yx−^1 ∈ H ⇔ y = hx per a algun h ∈ H.

Tenim doncs que la classe d’equivalencia de x ∈ G per a relaci´o E ´es el conjunt {hx|h ∈ H}. Escrivim aquest conjunt com Hx i diem que ´es la classe de x per l’esquerra modul H. Posem G/E el conjunt quocient de G per la relaci´o E. Observem que les aplicacions

H → xH H → Hx h 7 → xh h 7 → hx

s´on bijectives, per tant totes les classes d’equival`encia tant per D com per E tenen el mateix cardinal que H. Ara, per a x, y ∈ G, tenim y ∈ xH ⇔ y−^1 ∈ Hx−^1 , per tant y 7 → y−^1 indueix una bijecci´o de G/D en G/E.

Observaci´o 1.28. Si G ´es abeli`a, D = E.

Exemples 1.29. 1. Per a G = Z, H = mZ, tenim D = E = congruencia modul m.

1. Determinem ara els conjunts quocients G/D i G/E per a G = S 3 = {Id, t 1 , t 2 , t 3 , s 1 , s 2 }, H = {Id, t 1 }. Les classes per la dreta s´on

IdH = H, t 2 H = {t 2 , t 2 t 1 = s 2 }, t 3 H = {t 3 , t 3 t 1 = s 1 }.

I les classes per l’esquerra s´on

HId = H, Ht 2 = {t 2 , t 1 t 2 = s 1 }, Ht 3 = {t 3 , t 1 t 3 = s 2 }.

Tenim doncs que G/D i G/E s´on diferents.

Donats un grup G i un subgrup H de G, posem [G : H] i diem ´ındex de G en H el cardinal de G/D (que hem vist ´es igual al de G/E).

Exemples 1.30. [Z : mZ] = m, [S 3 : {Id, t 1 }] = 3.

Teorema 1.31 (Teorema de Lagrange). Donats un grup G i un subgrup H de G, el grup G ´es finit si i nom´es si H i [G : H] s´on finits. En aquest cas

|G| = |H| · [G : H].

En particular, |H| i [G : H] s´on divisors de |G|.

Demostraci´o. Les classes d’equivalencia per D formen una partici´o de G, ´es a dir G ´es reuni´o disjunta de les classes d’equivalencia i a cada classe d’equival`encia per D hi ha tants elements com a H. 2

1. ⇒ 4): Donats x, y, x′, y′^ ∈ G, volem veure que xDx′^ i yDy′^ implica xyDx′y′. Ara xDx′^ implica x′^ = xh, per a un cert h ∈ H i yDy′^ implica y′^ = yh′, per a un cert h′^ de H. Per tant x′y′^ = (xh)(yh′) = x(hy)h′. Ara, com Hy = yH, tenim hy = yh′′, per a algun h′′^ ∈ H. Tenim doncs x(hy)h′^ = x(yh′′)h′^ = (xy)(h′′h′), on h′′h′^ ∈ H, per tant (x′y′)D(xy) com vol´ıem.
2. ⇒ 3): Donats x ∈ G, h ∈ H, volem veure xhx−^1 ∈ H. Tenim

xhDx x−^1 Dx−^1

⇒ xhx−^1 Dxx−^1 = e ⇒ xhx−^1 ∈ H.

1. ⇒ 5): Donats x, y, x′, y′^ ∈ G, volem veure que xEx′^ i yEy′^ implica xyEx′y′. Ara xEx′^ implica x′^ = hx, per a un cert h ∈ H i yEy′^ impli- ca y′^ = h′y, per a un cert h′^ de H. Per tant x′y′^ = (hx)(h′y) = h(xh′)y. Ara, com Hx = xH, tenim xh′^ = h′′x, per a algun h′′^ ∈ H. Tenim doncs h(xh′)y = h(h′′x)y = (hh′′)(xy), on hh′′^ ∈ H, per tant (x′y′)E(xy) com vol´ıem.
2. ⇒ 3): Donats x ∈ G, h ∈ H, volem veure xhx−^1 ∈ H. Tenim

xEx hx−^1 Ex−^1

⇒ xhx−^1 Exx−^1 = e ⇒ xhx−^1 ∈ H.

2

Un subgrup H d’un grup G complint les condicions de la proposici´o 1.34 es diu subgrup normal de G. Posem H
G per indicar que H ´es subgrup normal de G. Si H ´es normal en G, posem G/H = G/D = G/E i l’anomenem grup quocient de G per H. Definim el morfisme de pas al quocient π : G → G/H que envia cada element de G a la seva classe en G/H. Es epimorfisme de´ grups amb nucli H.

Exemples 1.35. 1. Si G ´es abeli`a, tot subgrup de G ´es subgrup normal.

1. El subgrup {Id, t 1 } de S 3 no ´es normal.

Proposici´o 1.36. Si T ´es relaci´o d’equivalencia compatible amb l’operaci´o del grup G, H := {x ∈ G|xT e} ´es subgrup normal de G i la relaci´o d’equi- valencia associada a H coincideix amb T.

Demostraci´o. Veiem primer que H ´es subgrup normal de G. Per a x ∈ G, h ∈ H, hem de veure xhx−^1 ∈ H; equivalentment, per a x, h ∈ G, hem de veure

hT e ⇒ xhx−^1 T e. Com T ´es relaci´o d’equival`encia, tenim xT x i x−^1 T x−^1 i, com T ´es compatible amb l’operaci´o de G, xT x, hT e i x−^1 T x−^1 impliquen xhx−^1 T xex−^1 = xx−^1 = e. Com H ´es normal en G, les relacions D i E definides a partir de H s´on iguals. Vegem que D coincideix amb T. Per a x, y ∈ G, hem de veure xT y ⇔ xDy. Per definici´o de D i H, tenim xDy ⇔ x−^1 y ∈ H ⇔ x−^1 yT e. Hem de veure doncs

xT y ⇔ x−^1 yT e.

Si xT y, com T ´es relaci´o d’equivalencia, tenim yT x i x−^1 T x−^1 i, com T ´es compatible amb l’operaci´o de G, x−^1 yT x−^1 x = e. Rec´ıprocament, si x−^1 yT e, com T ´es reflexiva, tenim xT x i, com T ´es compatible amb l’operaci´o de G, y = x(x−^1 y)T xe = x que implica xT y, per ser T simetrica. 2

Proposici´o 1.37. Si f : G → G′^ ´es morfisme de grups, Ker f ´es subgrup normal de G.

Demostraci´o. Per a x ∈ G, h ∈ Ker f , tenim f (xhx−^1 ) = f (x)f (h)f (x−^1 ) = f (x)e′f (x)−^1 = f (x)f (x)−^1 = e′, per tant xhx−^1 ∈ Ker f. 2

Recordatori 1.38. Si A i A′^ s´on conjunts, f : A → A′^ una aplicaci´o, B′^ un subconjunt de A′, definim la imatge inversa de B′^ per f per

f −^1 (B′) = {a ∈ A|f (a) ∈ B′}.

Proposici´o 1.39. Sigui f : G → G′^ un morfisme de grups.

1. Si H ´es un subgrup de G, aleshores f (H) ´es subgrup de G′.

2. Si H′^ ´es un subgrup de G′, aleshores f −^1 (H′) ´es subgrup de G. A m´es, si H′^ ´es un subgrup normal de G′, aleshores f −^1 (H′) ´es subgrup normal de G.

Demostraci´o.

1. Siguin x′, y′^ ∈ f (H). Tenim x′^ = f (x), y′^ = f (y), per certs x, y ∈ H i, per ser f morfisme, x′y′−^1 = f (x)f (y)−^1 = f (xy−^1 ). Ara, per ser H subgrup de G, xy−^1 ∈ H i per tant, x′y′−^1 ∈ f (H).

tenim f = i ◦ f ◦ π, amb f isomorfisme de grups de G/ Ker f en Im f. Tenim doncs un diagrama commutatiu

G

f (^) //

π

 

G′

G/ Ker f f

∼ (^) //Im f

i

O O

Demostraci´o. Surt de la Proposici´o 1.40 i del fet que Im f = Im f. 2

Teorema 1.42 (Segon teorema d’isomorfia). Sigui φ : G → G′^ un epimor- fisme de grups. Sigui H′^ un subgrup normal de G′^ i H = φ−^1 (H′). Aleshores φ indueix un isomorfisme de G/H en G′/H′.

Demostraci´o. Considerem la composici´o π ◦ φ : G → G′/H′, on π : G′^ → G′/H′^ ´es el morfisme de pas al quocient. Tenim π ◦ φ exhaus- tiu i Ker(π ◦ φ) = H. Aplicant el primer teorema d’isomorfia 1.41, obtenim G/H ≃ G′/H′. 2

Corol·lari 1.43. Si G ´es grup i F i H s´on subgrups normals de G amb F ⊂ H, aleshores H/F ´es subgrup normal de G/F i el morfisme de pas al quocient G → G/F indueix un isomorfisme de G/H en (G/F )/H/F ).

Demostraci´o. Si [h] ∈ H/F, [x] ∈ G/F , tenim xhx−^1 ∈ H, per ser H normal en G, per tant [x][h][x]−^1 = [xhx−^1 ] ∈ H/F. Tenim doncs que H/F ´es subgrup normal de G/F. Considerem ara φ : G → G/F el morfisme de pas al quocient. Aleshores φ−^1 (H/F ) = H i aplicant el teorema 1.42, obtenim G/H ≃ (G/F )/(H/F ). 2

Teorema 1.44 (Tercer teorema d’isomorfia). Sigui G un grup, H i F sub- grups de G, amb H normal en G. Aleshores HF ´es un subgrup de G, F ∩ H ´es un subgrup normal de F i H ´es un subgrup normal de HF. A m´es la inclusi´o de F en HF indueix un isomorfisme de F/(F ∩ H) en (HF )/H.

Demostraci´o. Provem primer que HF ´es un subgrup de G. Clarament e ∈ HF. Sigui hf un element de HF amb h ∈ H, f ∈ F. Tenim (hf )−^1 = f −^1 h−^1 = (f −^1 h−^1 f )f −^1. Com H ´es normal a G, tenim f −^1 h−^1 f ∈ H, per tant (hf )−^1 ∈ HF. Siguin h 1 f 1 i h 2 f 2 elements de HF , amb h 1 , h 2 ∈

H, f 1 , f 2 ∈ F. Tenim (h 1 f 1 )(h 2 f 2 ) = h 1 (f 1 h 2 f 1 − 1 )f 1 f 2. Com H ´es normal a G, tenim f 1 h 2 f 1 − 1 ∈ H. Posem f 1 h 2 f 1 − 1 = h 3. Tenim ara h 1 (f 1 h 2 f 1 − 1 )f 1 f 2 = (h 1 h 3 )(f 1 f 2 ) ∈ HF , per tant (h 1 f 1 )(h 2 f 2 ) ∈ HF. Provem ara que F ∩H ´es un subgrup normal de F. Sigui x ∈ F ∩H, f ∈ F. Tenim f xf −^1 ∈ H, per ser H normal en G i f xf −^1 ∈ F , per ser F subgrup de G. Per tant f xf −^1 ∈ F ∩ H. Ara com H ´es subgrup normal de G, HF ´es subgrup de G i H ⊂ HF , H ´es subgrup normal de HF. Considerem ara la composici´o de la inclusi´o i de F en HF amb el mor- fisme de pas al quocient π de HF en (HF )/H. Veiem primer que π ◦ i ´es epimorfisme. Si tenim h ∈ H, f ∈ F , aleshores (hf )f −^1 = h ∈ H implica la igualtat [hf ] = [f ] a (HF )/H. Per tant [hf ] = π(hf ) = π(f ) = (π ◦ i)(f ), ´es a dir tot element de (HF )/H est`a a la imatge de π ◦i. Ara Ker(π ◦i) = F ∩H i el primer teorema d’isomorfia 1.41 implica F/(F ∩ H ≃ (HF )/H. 2

Si x ´es un element d’un grup G i n un enter, posem

xn^ :=

x... xn si n > 0 e si n = 0 x−1 (... x−n) −^1 si n < 0

Definim

fx : Z → G n 7 → xn

Clarament, fx ´es un morfisme de (Z, +) en G. L’imatge de fx ´es un subgrup de G. L’escrivim ⟨x⟩ i diem que ´es el subgrup de G generat per x. El subgrup ⟨x⟩ ´es el conjunt dels elements de G que s´on iguals a xn^ per a algun n ∈ Z. El nucli de fx ´es un subgrup de Z. Per la Proposici´o 1.8, tenim Ker fx = mZ, per a algun enter natural m. Pel teorema d’isomorfia 1.41, tenim ⟨x⟩ ≃ Z/mZ. Si m > 0, diem que m ´es l’ordre de x i posem ord x = m. Si m = 0, diem que x t´e ordre infinit i posem ord x = ∞. Clarament, x t´e ordre finit si i nom´es si existeix un enter natural n tal que xn^ = e i, en aquest cas, ord x ´es l’enter natural m m´es petit tal que xm^ = e i ⟨x⟩ = {e, x, x^2 ,... , xm−^1 }. Per tant, l’ordre de x ´es igual a l’ordre del subgrup ⟨x⟩. En s´ımbols, ord x = |⟨x⟩|. Pel teorema de Lagrange 1.31, si G ´es grup d’ordre finit, l’ordre de tot element x de G divideix l’ordre de G. Si x t´e ordre infinit, no existeix cap enter n ̸= 0 tal que xn^ = e.