¡Descarga Problemes molles y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity!
Problemas
- Un barco se balancea arriba y abajo y su desplazamiento vertical viene dado por la ecuación y = 1 , 2 cos^2 t + π 6 . Determinar la amplitud, frecuencia angular, constante de fase, frecuencia y periodo del movimiento. ¿Dónde se encuentra elbarco en t=1s?. Determinar la velocidad y aceleración en cualquier tiempo t y calcular la posición, velocidad y aceleración inicial. Comparando con la ecuación [1.8] concluimos que A= 1,2 m ω= 0,5 rad/s δ= π/6 rad La frecuencia y el periodo se deducen de las ecuaciones correspondientes ν= ω/2π= 0,0796 Hz T= 1/ν= 12,6 s Para t= 1 s la posición del barco viene dada por la ecuación y= 1,2cos(1/2+π/6)= 0,624 m
respecto al tiempoLa velocidad y la aceleración se obtiene derivando una y dos veces la posición v= -1,2sen(t/2+a= -0,6cos(t/2+ππ/6)1/2= -0,6sen(t/2+/6)1/2= -0,3cos(t/2+ππ/6)/6)
Y para t= 0 yv 0 = 1,04 m a^00 = -0,3 m/s= -0,26 m/s
- Un objeto oscila con frecuencia angularen x ω=8 rad/s. En t=0, el objeto se encuentra constante de fase para este movimiento y escribir x en función de t.^0 =4 cm con una velocidad inicial v^0 =-25 cm/s. Determinar la amplitud y la La posición y la velocidad inicial están relacionadas con la amplitud y constante de fase por las ecuaciones x 0 = Acosδ v 0 = -ωAsenδ Dividiendo estas dos ecuaciones obtenemos v 0 /x 0 = -ωtgδ y despejando la constante de fase δ= arctg0,78= 0,66 rad La amplitud viene dada por A= x 0 /cosδ= 5,06 cm Y la ecuación del movimiento, conocida amplitud y constante de fase x= 5,06 cos(8t+0,66)
- Un objeto de 3 kg conectado a un muelle oscila con una amplitud de 4 cm y unperiodo de 2 s. ¿Cuál es la energía total del objeto? ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto y en que posición se alcanza? ¿En que posición la velocidad es igual a al mitad de su valor máximo, y en cúal la energía potencial es igual a lacinética? Sabemos que la energía total de un MAS viene dada por la ecuación E=1/2kA^2 La constante de fuerza se relaciona con el periodo y la masa según k=mω^2 =4π^2 m/T^2 =29,6 N/m y la energía total es igual E=2,37x10-2^ J
valeLa velocidad máxima se alcanza cuando toda la energía es cinética, en x=0, y vmax= (2E/m)0,5=0,126 m/s Para una velocidad v=0,5vmax y aplicando la conservación de la energía tenemos E=0,5kA^2 =0,5m(0,5vmaz)^2 +0,5kx 12 Despejando la posición x 1 en la que tenemos una velocidad mitad de la del máximo x 1 =3,46 cm
las ecuacionesEn la posición x^2 en la que la energía cinética es igual a la potencial se cumplen 0,5mv 0,5mv 22 +0,5kx 22 =0,5kA^2 22 =0,5kx^22 Despejando de estas dos ecuaciones con dos incógnitas obtenemos x 2 =(A^2 /2)0,5=2,83 cm v 2 =(kA^2 /2m)0,
- Encontrar la ecuación resultante de la superposición de 2 MAS paralelos cuyasecuaciones son x rotantes y el movimiento resultante.^1 =2cos(ωt+π/3) y x^2 =3cos(ωt+π/3). Representar los vectores
- Encontrarcombinación la deecuación 2 MAS deperpendiculares la trayectoria cuyasdel movimientoecuaciones resultanteson x=4sen deω (^) t ela y=3sen(movimiento para cada casoωt+α) cuando α=0, π/2 y π. Representar la trayectoria y dirección de
- Un objeto de masa 2 kg está sujeto sobre un muelle vertical que está anclado enel suelo. La longitud del muelle sin deformar es de 8 cm y la posición de equilibrio del objeto sobre el muelle está a 5 cm desde el nivel del suelo. Cuando el objeto está en su posición de equilibrio, se le da un impulso hacia abajo con un martillo,de tal manera que la velocidad inicial es de 0,3 m/s.¿A qué máxima altura, respecto al nivel del suelo, se elevará el objeto?¿Cuánto tiempo tardará el objetoen alcanzar la máxima altura por primera vez? ¿Volverá el muelle a estar sin compresión? ¿Qué velocidad inicial mínima debe darse al objeto para que elmuelle no tenga compresión en un instante dado? Para calcular la máxima altura ( = 5cm + A) a partir de la velocidad, se requiereconocer w , que se puede calcular a partir del k del muelle y la masa. En el equilibrio muelle-masa:que baja el muelle con la masa) þ kx (^0) = k = mg/x mg. Por otro lado, x 0 = 8 - 5 = 3cms (lo ( k/m)1/2^ = ( g/x 0 )1/2^ = 18,07 rad/s.^0 = 2 x 9,8 / 0,03 =^ 653,3 N/m^ þ^ w= Como el movimiento empieza desde la posición de equilibrio, lo más lógico esdescribirlo con la función seno y fase ini cial = 0 (y tomando dirección de x positiva hacia abajo). Posición de equilibrio: x = 0 ; x = Asen wt. v = dx/dt = wA.cos wt. La altura máxima corresponderá a x = -A. Referido al nivel del suelo, será 5 + A. Hay que hallar A. En x = 0 y t = 0, v tendrá el venunciado: v (^) max = wA = 0,3 m/s yalor máximo, que es el que nos dan en el A = 0,3 / 18,07 = 1,66 cm. El objeto se eleva a 6,66 cm por encima del suelo. La máxima altura corresponde a x = -A = -1,66 cm. 1,66. sen (wt) = -1,66 þ sen (18,07t) = -1 þ (18,07t) = 3p/2 þ t = 0,26 s. c) No, ya que A<3cms (lógicamente baja el muelle con el peso) Tiene que ocurrir que A = 3 cms, y v0 min= wA = 18,07 x 0,03 = 0,54 m/s
- Un péndulo simple de longitud l=1 m se encuentra en un furgón de ferrocarril quese mueve horizontalmente con una aceleración a. El periodo de oscilación del péndulo que se mide en esta situación es de T=1,96 s. Determinar la aceleración a del ferrocarril. A partir del periodo de oscilación concluimos que el péndulo está sometido a unaaceleración g´ dada por g´= (2π/T)^2 L= 10,3 m/s^2 Está aceleración g´ resulta de la suma vectorial de la fuerza vertical del peso mgmás la fuerza horizontal –ma 0 debida a la aceleración del vagón; esto implica que g´=g-a 0 y en módulo g´2=g^2 +a^20 a 0 = 3,1 m/s
- Un pájaro de 30 g de masa se apoya en el extremo de una rama de 20 cm de longitud y 3 mm de diámetro. El módulo de Young de la madera es de 8x10^9 N/mque la relación entre el momento de la fuerza M y el radio de curvatura R es igual^2. Calcular la frecuencia de oscilación del pájaro en la rama. (Tener en cuenta a M=EI/R donde E es el módulo de Young del material e I=de inercia del cilindro) πr^4 /4 es el momento El desplazamiento vertical x de la rama en función de su radio de curvatura R es x= R-Rcosθ ≈R(1-1+θ^2 /2)=1/2RL^2 R-2=L^2 /2R donde el ángulo θ=l/R. El momento de la fuerza F es M=FL. Por tanto F=M/L=EI/RL F=2EIx/L^3 Tenemos por tanto una fuerza de la forma F=kx con una constante de fuerza k=2EI/L^3 y sustituyendo lo que vale el momento de inercia I de la rama k=2Eπr^4 /4L^3 y la frecuencia natural de oscilación ν=(2π)-1(2Eπr^4 /4mL^3 )0.5=2,6 Hz
- Un bloque descansa sobre un muelle y oscila verticalmente con una frecuenciade 4 Hz y una amplitud de 7 cm. Una pequeña bola se sitúa en la parte superior del bloque oscilante justo cuando éste alcanza su punto más bajo. ¿A qué distancia de la posición de equilibrio del bloque la bolita pierde el contacto con elbloque? ¿Qué velocidad posee la bolita al escapar del bloque? Consideramos y=0 la posición de equilibrio del muelle con la bolita. La ecuación del movimiento del bloque es por tanto y= -Acosωt con A= 0,07 m y ω=2πν=8π Las fuerzas sobre la bolita son su peso, mg, hacia abajo y la fuerza normal haciaarriba ejercida por el bloque. Cuando este se mueve hacia arriba desde la posición de equilibrio, su aceleración es hacia abajo y creciente en magnitud. Portanto en el momento que la aceleración del bloque sea –g, la fuerza normal sobre la bolita, suma de la reacción al peso y de la aceleración del bloque será cero, y ésta abandona el bloque. La aceleración del bloque viene dada por a= -ω^2 y= ω^2 Acosωt= -g cosωt= -g/ω^2 A El desplazamiento y en ese momento es igual a y= g/ω^2 = 1,55 cm y la velocidad v en ese momento es v= ωAsenωt= ωA(1 -cos^2 ωt)0, Para y=1,55 cm, v= 1,72 m/s
- Un objeto de 2 kg oscila sobre unconstante de amortiguamiento b=2 muelle de constante k=400 N/m con unakg/s. Está impulsado por una fuerza sinusoidal de valor máximo 10 N y frecuencia angular ω=10 rad/s. Calcular la amplitud de las oscilaciones y la frecuencia y amplitud de resonancia. La ecuación del movimiento en el estado estacionario es igual a
[ ]
γω β ω ω
ω ω γ ω β 2
02 2
(^20222212)
0
=^ −
arctg
m senwt
F
x
con γ ω=b/2m= 0,5 s- β=1,47 rad^0 =(k/m)0,5=14,14 rad/s y sustituyendo queda x = 0 , 05 sen ( 10 t + 1 , 47 ) con lo que la amplitud de oscilación es de A= 0,05 m La frecuencia de resonancia coincide con la frecuencia natural del oscilador ω 0 =(k/m)0,5=14,14 rad/s y la amplitud de oscilación en la resonancia es igual a Ar= 0,35 m
- Sea un péndulo consistente en una esfera de Al de 0,005 m de radio suspendidade una cuerda de 1 m de longitud. Determinar la amplitud y periodo de oscilación de este péndulo. Averiguar como afecta la viscosidad del aire a estos dos parámetros. (Considerar que la fuerza debido a la viscosidaduna esfera de radio R y velocidad v es igual a F=-6πηRv y para el aire a 20 ºC η que actúa sobre ηreduzca un 10% de la inicial?=1,78x10-5^ kg/ms). ¿Cúal es el tiempo necesario para que la amplitud se Introduciendo en la ecuación diferencial del movimiento del péndulo la fuerza de rozamiento debida a la viscosidad del aire obtenemos ddt^22 φ + 6 πηmRddtφ + L gφ = 0
Esta ecuación diferencial es matemáticamente idéntica a la del oscilador amortiguado y tiene como coeficiente de amortiguamiento, introduciendo la masa de la esfera como volumen por densidad ρ, 2 6 ,^431041 4 = 9 = x − s − R ρ γ η Por tanto la amplitud de oscilación es igual a φ = φ 0 e −^ γt^ = φ 0 e^ −^6 ,^43 x^10 −^4^ t Para una reducción de un 10% de la amplitud inicial
t x s utos
x t 1 , 6410 2 , 7 min
ln 0 , 9 6 , 42 104 = ≈
y la frecuencia ω (^) 1 = ω 02 − γ^2 y dado el pequeño valor del coeficiente de amortiguamiento frente a la frecuencia natural, ω 02 = 9,8 s-2, prácticamente no hay cambio en la frecuencia.
- Un objeto de masa 1,5 kg situado sobre un muelle de constante de fuerza 600N/m pierde el 3% de su energía en cada ciclo. El sistema viene impulsado por una fuerza sinusoidal con un valor máximo de F 0 =0,5 N. ¿Cuál es el valor de Q para este sistema y el valor de la frecuencia angular de resonancia y amplitud deresonancia? ¿Cuál es la amplitud de oscilación si la frecuencia impulsora es 19 rad/s? Diferenciando [1.50], la perdida de energía por ciclo viene dada por dE/E= 2γT= 2π/Q Q= 2π(dE/E)- Si la perdida de energía por ciclo es de un 3% Q= 2π/0,03= 209 La frecuencia angular de resonancia, igual a la frecuencia natural es ω 0 =(k/m)0,5=(600/1,5)0,5= 20 rad/s La amplitud para la frecuencia angular de resonancia es A= F 0 /bω 0 y la constante de amortiguamiento b= mω 0 /Q= 0,144 kg/s con lo que A= 0,174 m Para ω= 19 rad/s A=F 0 /(m^2 (ω 02 - ω^2 )^2 +b^2 ω^2 )0,5=8,54x10-3^ m
- Demostrar la ecuación Pm = vF ( t ) m = Fm^02 ( ω (^2) − ω 02 γω ) (^22) + 4 γ (^2) ω 2 (Nota: conocida la tangente de un ángulo es fácil conocer su seno ó coseno) Sabemos que la ecuación de movi miento de un oscilador armónico forzado en el estado estacionario viene dada por
[ ]
γω β ω ω
ω ω γ ω β 2
02 2
(^20222212)
0
=^ −
arctg
m senwt
F
x
Derivando obtenemos la velocidad
[( 202 )^2422 ] 12 cos( )
(^0) β ω ω γ ω
ω = (^) − + m wt +
F
v
y la potencia instantanea cedida por la fuerza impulsora será
[ ] wt t
P Fv F m β ω ω ω γ ω
ω ( 2 2 )^242212 cos( )^ cos 0
02 = = − + +
valor. Teniendo en cuenta la identidad cos(a+b)=cosacosb-senasenb queda^ La potencia media suministrada por la fuerza impulsora será el valor medio de este
〈 〉=〈 〉=〈 [( − ) + 4 ] (cos cos − cos )〉
2 (^20222212)
02 m wt sen tsen t
F
P Fv ω ω γ ω β ω β ω
ω
El valor medio de cos^2 a es un medio** y el promedio en un ciclo del segundo término es cero con lo que
[ ω ω γ ω ] β
ω (^22 )^2242212 cos 0
02 〈 〉=〈 〉= − + P Fv F m
Por otro lado sabemos que
- Demostrar que el cociente entre la anchurapotencia media entregada en la resonancia, para una resonancia aguda, y la ∆ω a la mitad del máximo de la frecuencia ω 0 del mismo es igual al valor inverso del factor Q La potencia media entregada viene dada por la ecuación
[ 02 2 2 2 2 ]
02 2 ( ω ω ) 4 γ ω
γω 〈 〉=〈 〉= − + P Fv F m
En la frecuencia de resonancia tenemos el máximo de potencia media entregada
[ ] m
P F m F ω ω γ ω γ
γω ( ω ) ( (^22) ) 2 4 2 2 402 0
02 2 〈 0 〉= − + =
Para que la potencia media cedida sea la mitad de este valor, la frecuencia de la fuerzaaguda y que w está cercana a aplicada debe cumplir ω que (asumiendo que tenemos una resonancia 0 )
[( ω 02 − ω^2 )^2 + 4 γ^2 ω^2 ] = 8 γ^2 ω 02
Usando la identidad (x^2 -y^2 )=(x+y)(x-y) y asumiendo de nuevo que tenemos una resonancia aguda y que ω está muy cercana a ω 0 (ω+ω 0 ≈ 2 ω 0 ) (^02) Q^0 ω − ω =± γ =±^ ω Con lo que las dos frecuencias en torno a la frecuencia de resonancia para las cuales la potencia media entregada por la fuerza aplicada es la mitad del máximoson
Q
Q
2 0 0
1 0 0 ω ω^ ω
ω ω ω = −
y la anchura de la resonancia
Q ∆ ω = ω 1 − ω 2 =^ ω^0
