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TEMA 1: OSCILACIONES. MOVIMIENTO ARMÓNICO.
1. Introducción.
Un sistema en equilibrio estable, si se perturba ligeramente de su punto de equilibrio, realiza oscilaciones en torno a este punto. Las oscilaciones tienen la característica de ser periódicas. Un movimiento se denomina periódico , si a intervalos de tiempo iguales de valor T, se repiten exactamente las características cinéticas y dinámicas del sistema. El tiempo T recibe el nombre de período.
Debe diferenciarse el movimiento oscilatorio del movimiento ondulatorio, aunque ambos está muy relacionados. Las ondas sonoras, por ejemplo, se pueden producir mediante las vibraciones de un instrumento musical. Un muelle o un péndulo, realizan un movimiento oscilatorio , al ser desplazados de su punto de equilibrio, alrededor de este punto. Las ondas sonoras, como perturbaciones del equilibrio de las moléculas de aire, se propagan en el espacio, alejándose del punto en el que fueron producidas. Ejemplos: Péndulos, cuerdas vocales, cuerdas de instrumentos musicales.
2. Movimiento armónico simple.
Es el caso más sencillo de movimiento oscilatorio o periódico. Puede definirse de muchas maneras:
Diremos que el movimiento de un punto material es armónico simple cuando está sometido a una fuerza restauradora, proporcional al desplazamiento de su posición de equilibrio. Figura 14.1.
(^1) Las figuras han sido tomadas en su mayor parte, del libro de P. Tipler. Consúltese la bibliografia del curso.
Figura 14.1^1 Cuerpo unido a un muelle → Movimiento armónico. El desplazamiento x es medido desde la posición de equilibrio, pudiendo ser positivo o negativo.
Fx = −K x Ley de Hooke
De la segunda ley de Newton deducimos:
x m
k dt
d x a dt
d x F kx ma m 2
2 2
2 x =− = = → = =−
x.Ecuación diferencial de segundoorden.(Ecuación 1) m
k dt
d x 2
2 = −
Siempre que la aceleración de un objeto sea proporcional al desplazamiento, en sentido opuesto, éste realiza un movimiento armónico simple (m.v.a.s.).
- El tiempo necesario para realizar una oscilación completa es el período T. La unidad en el sistema internacional es el segundo (s).
- La frecuencia f de las oscilaciones es la inversa del período, y se mide en el sistema internacional ( S.I****. ) en Hertz (que equivale a s -1^ ):
T
1 f =
Demostraremos, mediante la interpretación geométrica del m.v.a.s., que el desplazamiento de un objeto, sometido a un m.v.a.s., obedece a una ley sinusoidal (seno o coseno) de la forma:
x Acos( t ) Asin( t '), con '= +
π = ω +δ= ω +δ δ δ
Ecuación del movimiento armónico simple.(Ecuación 2)
Donde:
- El desplazamiento máximo A recibe el nombre de Amplitud de las oscilaciones,
- El argumento de la función sinusoidal se denomina fase : ( ω t +δ). La fase caracteriza unívocamente el estado dinámico del oscilador.
- La fase inicial es δ, es decir es la fase para t=0.
- El desplazamiento instantáneo del punto de equilibrio es x, que recibe el nombre de elongación.
Un ciclo completo del movimiento conlleva obviamente, un incremento en la fase de 2π y un incremento temporal de T, que es el período→ Fase(t+T)=Fase(t) + 2π
ω
π ω + +δ=ω +δ+ π→ =
(t T) t 2 T
Una característica importante del m.a.s. es que su período (o frecuencia) es independiente de la amplitud A del movimiento, como se ilustra en la figura 14.4. Esta propiedad es importante en música, de modo que el tono de las notas musicales es independiente de su intensidad.
3. Interpretación geométrica.
Una partícula se mueve sobre una circunferencia de radio A, con velocidad angular ω constante; la velocidad lineal vale v = ωr. Queremos demostrar que la proyección x de este punto sobre un diámetro fijo, realiza un movimiento armónico simple. De la figura 14.5, deducimos:
θ =wt+ δ x = Acosθ=Acos(wt+δ) c.q.d.
El punto proyectado sobre un diámetro de una partícula que se mueve con movimiento circular uniforme realiza un movimiento armónico simple.
La interpretación geométrica del m.v.a.s. da significado a la frecuencia angular ω.
Figura 14.4 Ecuaciones horarias para un muelle con distintas amplitudes. Observad como los dos movimientos llegan a sus posiciones de equilibrio simultáneamente, independientemente de su amplitud.
Figura 14.5 Interpretación geométrica del m.v.a.s. La proyección x del punto material sobre el diámetro describe un movimiento armónico.
4. Energía del movimiento armónico simple.
Queremos demostrar que:
La energía mecánica del movimiento armónico simple es proporcional al cuadrado de su amplitud.
Supondremos por simplicidad que tenemos un muelle de constante recuperadora k, que realiza oscilaciones de amplitud A, no sometido a ningún tipo de fricción. Se trata pues de un sistema que conserva la energía mecánica:
- La energía potencial es: kx. 2
1 U =^2
- La energía cinética es: mv. 2
1 E (^) c =^2
Como no hay fricción, el sistema es conservativo → Etot es constante.
2 2 2 tot c kA 2
mv 2
kx 2
E = U+E = + = hay que demostrarlo!
En la figura 14.9 representamos la energía mecánica (constante) de un m.v.a.s. y la energía potencial (parábola). Los puntos de corte de las dos curvas se denominan puntos de retroceso , en los que se anula la energía cinética de la partícula y es máxima la energía potencial. Desde estos puntos, el móvil se desplaza aumentando su energía cinética a expensas de la energía potencial, hasta que llega al punto de equilibrio, en el que la energía cinética es máxima y la potencial nula.
4.1 Demostración:
Vamos a demostrar explícitamente que la energía mecánica del m.v.a.s. es constante.
Figura 14.9 Energía potencial y mecánica de un muelle. Observad la energía cinética k (Ec). Los puntos x=±A se denominan puntos de retroceso, dado que el objeto no puede ir más allá, con la energía mecánica de que dispone.
aceleración angular es proporcional al desplazamiento de el ángulo φ, es decir, se trata de un m.v.a.s. en esta variable. La constante de proporcionalidad es obviamente, el cuadrado de la frecuencia angular ω y la solución, que representa la ecuación del movimiento del péndulo es:
φ = φ 0 cos(ωt + δ )
El período toma el valor:
g
L
T = π ω
π
expresión que nos permite medir de forma simple la aceleración de la gravedad g.
Oscilaciones de gran amplitud: Observamos que el período de las oscilaciones pendulares es independiente de la masa, aunque la fuerza sí que dependa de la masa, resultando independiente de ella la aceleración. El período y la frecuencia son independientes de la amplitud, como se requiere en el m.v.a.s. Ahora bien, si la hipótesis de amplitudes pequeñas no es válida, ya no se puede considerar un m.v.a.s. y el período depende de la amplitud. En este caso, el movimiento continúa siendo periódico con un período que depende de la amplitud en la forma:
φ
sin 4
sin 2
T = T 1 4 0
2 2
2 0 (^02)
Figura 14.14 Péndulo simple, y las fuerzas que actúan sobre él.
Ejercicio: Mediante el análisis dimensional demostrad que el período del péndulo no puede depender de su masa 3.
6. Péndulo físico.
Un sólido rígido colgado de cualquier punto, diferente de su C.d.G. constituye un péndulo físico, y por tanto, separado de su posición de equilibrio oscilará alrededor de este punto. Figura 14.17: las variables que definen el problema son la masa M, la distancia D, y el ángulo φ.
Aplicando el teorema del momento angular:
τ = , L = Iω , τ = −MgD sin φ → dt
dL
= − φ
φ α = MgDsin dt
d I I 2
2
Si el desplazamiento del punto de equilibrio φ^ es pequeño, se trata de un m.v.a.s., ya que si sinφ ≅φ obtenemos la ecuación y el período:
MgD
I
T
I
MgD dt
d (^2) 2
2 = π ω
π =− φ=−ω φ → =
φ
La ecuación anterior puede usarse para obtener el momento de inercia de un cuerpo respecto de un eje, dejando oscilar el cuerpo respecto del eje y midiendo el período de las oscilaciones. Observad que el período de las oscilaciones es independiente de la masa: para demostrarlo usad la definición de radio de giro.
(^3) Ver P. Tipler, página 416.
Figura 14.17 Péndulo físico, con las variables que intervienen.
Este análisis es conveniente hacerlo desde el punto de vista de la energía potencial U, asociada a la fuerza que actúa sobre el objeto. La figura14.10. representa la función energía potencial correspondiente a la fuerza de la figura anterior. El mínimo (máximo) es un punto de equilibrio estable (inestable). Si hacemos un desarrollo en serie de Taylor, alrededor del mínimo, como la primera derivada, por tratarse de un punto de equilibrio se anula, y la segunda derivada es positiva, podremos escribir, quedándonos en el segundo término:
2
U =A+B(x−x 1 )
donde B es una constante positiva. La energía potencial, en las proximidades del punto de equilibrio puede aproximarse a una parábola, y por tanto el movimiento del punto material será m.v.a.s, por lo que:
= − =− 2 B(x−x )=−k ε dx
dU Fx (^1)
Obsérvese que el período de las oscilaciones se relaciona B, derivada segunda de la función potencial (coeficiente B de la parábola), y por tanto, con cuan cerrada (abierta) sea la parábola.
9. Oscilaciones Amortiguadas.
En el mundo macroscópico, los sistemas oscilantes van perdiendo progresivamente energía, por la que no se puede obviar la fricción. Se dice que el movimiento es amortiguado. La característica de un movimiento oscilatorio sometido a amortiguación (débil) es que la amplitud de las oscilaciones va disminuyendo en el tiempo de forma exponencial como se ve en la figura 14.20.
La representación más sencilla de una fuerza amortiguada viene dada por una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad del punto material, pero opuesta a la velocidad:
Figura 14.10 Energía potencial del ejemplo anterior.
Fv = − bv dt
dv →−kx −bv=max =m
donde b es una constante que caracteriza el amortiguamiento del objeto en el medio ( con fricción) en el que se desplaza. La fuerza de amortiguamiento del oscilador se opone al movimiento del oscilador en todo instante (signo menos), y realiza en consecuencia un trabajo negativo: esta es la razón de que disminuya la energía del sistema.
La ecuación anterior es en realidad una ecuación diferencial de segundo orden (de coeficientes constantes), de fácil resolución, si bien esto es materia de próximos cursos. Avancemos la solución de la ecuación diferencial 4 :
x 0 x A e cos( t ) m
k dt
dx m
b dt
d x t 2 o
2
donde la constante λ se relaciona con la viscosidad y la frecuencia angular
ω (^) del oscilador amortiguado con la ω 0 = m
k del oscilador libre como:
2 2 0
,^2
2 m
b λ= ω =ω −λ
La amplitud A 0 y la fase inicial δ^ de la solución, son las constantes de integración de la ecuación diferencial, determinables mediante las condiciones iniciales del problema.
(^4) La comprobación de la solución aquí usada puede verse en el libro de Fishbane, página 396.
Figura 14.20. Oscilador amortiguado. (Con amortiguación débil)
Q
T 2 2
E
E
E(t)dt
E e dt
dE 0
t/ 0
π
ω τ
π
τ
τ
τ
= − − τ
( )ciclo Eciclo
E
E/E
Q
10. Movimiento armónico forzado.
Para mantener constante (o incrementar) la energía de un oscilador sometido a una fuerza viscosa, es necesario suministrarle energía desde una fuente exterior. Por ejemplo, en un péndulo o en un columpio podemos suministrar energía a golpes de frecuencia constante. Si la frecuencia de la fuente de energía exterior es parecida a la del columpio, nuestra experiencia nos dice que la amplitud de sus oscilaciones puede hacerse muy grande, mientras que si es muy diferente, la transmisión de energía desde la fuente exterior al sistema oscilante es muy pequeña. Ejemplo del columpio.
Supongamos un sistema oscilante en reposo, que comienza a ser excitado por una fuente de energía exterior: a medida que la amplitud de las oscilaciones aumenta, se incrementa también la velocidad del objeto y por tanto la energía disipada en la fricción viscosa, por lo que cabe esperar que finalmente se alcance un estado estacionario en el que la energía disipada por fricción se iguale con la energía recibida por parte de la fuente exterior. En consecuencia, la energía que finalmente alcanzará el sistema depende de la amplitud de la fuerza exterior y también de su frecuencia.
Se denomina frecuencia propia (o natural) del oscilador a la que exhibe cuando no hay viscosidad ni fuerza exterior, es decir:
m
k ω 0 =
Ocurre que cuando frecuencia de la fuerza exterior es igual a la propia, la amplitud de las oscilaciones (y por tanto la energía) que alcanza el oscilador es máxima. Este fenómeno recibe el nombre de resonancia , (y la frecuencia a la que aparece este fenómeno: frecuencia de resonancia ).
Planteemos el problema del oscilador forzado con una fuerza sencilla, como por ejemplo un armónico de frecuencia ω, siendo ω 0 =(k/m) 1/2^ la frecuencia propia del oscilador. Tendremos: Fext = Focosω t
∑ = − − + ω =^ →
dt
dv F kx bv F 0 cos t m i
cos t m
F x dt
dx m
b dt
d x (^20) 2 0
2
La solución general de esta ecuación diferencial es la combinación de una solución transitoria, que decrece exponencialmente con el tiempo hasta dejar de ser importante, y que incluye las dos constantes de integración de la ecuación diferencial, determinables por condiciones iniciales, (oscilador amortiguado) y una solución estacionaria que permanece constante en el tiempo, y que corresponde al equilibrio entre la energía recibida y la disipada por parte del sistema oscilante.
La solución de tipo estacionaria (no lo demostraremos), comentada antes, se escribe de la forma 5 :
x = Acos (wt − δ)=Asin ( ωt + ϕ)
donde la frecuencia ω de las oscilaciones forzadas coincide totalmente con la de la frecuencia de la fuerza exterior. El oscilador forzado vibra con la frecuencia de la fuerza exterior.
La fase δ^ de la solución estacionaria, representa el desfase existente entre la fuerza exterior y la respuesta (desplazamiento) del oscilador:
m^ (^202 )
b tg ω −ω
ω δ=
10.1 Resonancia.
La amplitud de las oscilaciones estacionarias tiene la propiedad notable de la resonancia y toma un valor:
2 2 2 2 2 0
2
0 m ( ) b
F
A
ω −ω + ω
que será máxima (resonancia) cuando la frecuencia de la fuerza exterior se haga coincidir con la propia del oscilador. De hecho, el máximo de la amplitud (resonancia) aparece para frecuencias menores a la propia (calculadlo!)^6 :
(^5) La amplitud y la fase de la solución estacionaria del oscilador forzado dependen de las características físicas del oscilador y la fuerza exterior, no de las condiciones iniciales del problema. (^6) La condición de amplitud máxima es equivalente a la de denominador mínimo. Para calcular el máximo derivad respecto de ω^2.
